《用向量法求二面角的平面角》教案中学教育高中教育_中学教育-教学研究.pdf

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1、第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念

2、。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目标 1使学生会求平面的法向量；2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点 求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法.教学难点

3、求解二面角的平面角的向量法.教学过程、复习回顾 一、回顾相关公式：1、二面角的平面角：（范围：,0）结论：或 统一为：2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几1nl 2n21,nn21,coscosnn21,coscosnn1nl 2n21,nn21,nn 21,nn 212121,coscosnnnnnn学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种

4、方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中新了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几何兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对二面角的求法进行总结教学目标使学生会求平面的法向量何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和

5、夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）、典例分析与练习 例 1、如图，ABCD是一直角梯形，90ABC，SA面ABCD，1BCABSA，21AD，求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值.分析 分别以,BA AD AS所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量1n，平面SBA法向量2n，利用12,n n夹角 求平面SCD与平面SBA的夹角余弦值。解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)1,0,0(),0,21,0(),0,1,1(),0,0,0(SDCA 易知面SBA的法向量为)0,21,0(1ADn，)1,21,0()

6、,0,21,1(SDCD 设面SCD的法向量为),(2zyxn，则有0202zyyx，取1z，得2,1 yx，)1,21,1(2n 36|,cos212121nnnnnn 又1n方向朝面内，2n方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为36.ABCDxzyS学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中新了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学

7、习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几何兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对二面角的求法进行总结教学目标使学生会求平面的法向量点拨 求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。练习 1：正方体1111DCBAABCD的棱长为 1，点E、F分别为

8、CD、1DD的中点.求二面角DAEF的余弦值。解：由题意知，)0,1,21(),21,1,0(EF，则)21,1,0(AF)0,1,21(,AE 设平面AEF的法向量为),(zyxn，则 02102100yxzyAEnAFn，取1y，得2zx )2,1,2(n 又平面AED的法向量为)1,0,0(1AA 32132|,cos111AAnAAnAAn 观察图形知，二面角DAEF为锐角，所以所求二面角DAEF的余弦值为32 练习 2：如图，三棱柱中，已知 A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形BBAA 是矩形，。平面平面ABCDBBAA 试问：当AA 的长度为多少时，二面角ACAD的大小为？6

9、0 解：如图建立空间坐标系Axyz，则(1,0,)DAa(0,1,0)DC 设面DAC的法向量为1(,1)nx y 则1100DA nDC n 得1(,0,1)na 易得面AAC的法向量2(1,1,0)n 向量12,n n的夹角为60 ABxDC1Bzy1A1D1CEF学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中新了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负

10、担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几何兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对二面角的求法进行总结教学目标使学生会求平面的法向量由12122121cos,2|12n nan nnna 得 1a 当AA 时，二面角ACAD的大小为60 设计说明：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况 练习 3：正三棱柱111ABCABC的所有棱长均为，是侧棱1AA上任意一点 当11BCB P时，求二面角1

11、1CB PC的平面角的余弦值 解：如图建立空间坐标系Oxyz，设APa 则1,A C B P的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a,1(3,1,2)BC 由11BCB P，得110BC B P 即22(2)0a 1a 又11BCBC 11BCCB P面 1(3,1,2)BC 是面1CB P的法向量 设面11C B P的法向量为(1,)ny z，由11100B P nBCn得(1,3,2 3)n,设二面角11CB PC的大小为，则116cos4|BC nBCn 、小结与收获 1、二面角的平面角的正弦值弦值：2、求平面法向量的方法.、课后练习 212121,cos

12、cosnnnnnn学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中新了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几何兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对二面角的求法进行总结教学目

13、标使学生会求平面的法向量1、如图,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,90ABCBCD,2ABBCPBPCCD,侧面PBC 底面ABCD.求二面角PBDC的大小.2、如图,已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长均相等,点 D是 BC上一点,ADC1D.求二面角 CAC1D的大小.学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中新了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几何兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对二面角的求法进行总结教学目标使学生会求平面的法向量