《用向量法求异面直线所成的角》教案中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、第一讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求异面直线所成的角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理

2、念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点 求解异面直线所成的角的向量法.教学难点 求解异面直线所成的角的向量法.教学过

3、程 、复习回顾 一、回顾有关知识：1、两异直线所成的角：（范围：2,0(）（1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线 a与 b 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线 a、b 的方向向量分别为a和b，问题 1：当a与b的夹角不大于 90时，异面直线 a、b 所成 的角与a 和b 的夹角的关系？问题 2：a与b的夹角大于 90时，异面直线 a、b 所成的角 与a 和b的夹角的关系？两向量数量积的定义：bababa,cos|ObaObaba,ba,a b O 往学生学习立体几何时主要采取形到形

4、的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中现了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几的兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对线线角的求法进行总结教学目标使学生学会求异面直线两向量夹角公式：|,cosb

5、ababa 结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosbababa 2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）、典例分析与练习 思考：在正方体1111DCBAABCD 中，若1E与1F分别为11BA、11DC的四等分点，求异面直线1DF与1BE的夹角余弦值？（1）方法总结：几何法；向量法（2）11

6、,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例 1 如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和1CB所成的角.分析：建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。AxDCB1Azy1D1C1B1E1Fx y Z AyxCB1AD1B1C往学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中现了数形结合的思想并且引入向量对于某些立

7、体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几的兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对线线角的求法进行总结教学目标使学生学会求异面直线2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)2,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11aaBaaCaaaCA )2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1aaaCB

8、即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC 1AC和1CB所成的角为3 总结:（1）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？点拨 求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角。两异面直线所成角的范围是0,2，两向量的夹角的范围是 0,。当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角。练习 1：在Rt AOB中，AOB=90，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取

9、A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设1OA,则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，F1(21,0,1)，D1(21,21,1)往学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中现了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要

10、研究用向量法解决立体几的兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对线线角的求法进行总结教学目标使学生学会求异面直线)1,0,21(1AF)1,21,21(,1BD 103023451041|,cos111111BDAFBDAFBDAF 所以，异面直线 BD 与 AF 所成的角的余弦值为1030.练习2：在正方体ABCDAB C D中，M是AB的中点，求对角线DB与CM所成角的余弦值.解：建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，

11、1)，M1，12，0.DB1(1，1，1)，CM1，12，0，cos DB1，CMDB1CM|DB1|CM|123521515.异面直线DB1与CM所成角的余弦值为1515.、小结与收获 1、异面直线所成的角的余弦值：|,cos|cosbababa；2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤.、课后练习 1、如图，在棱长为的正方体1111ABCDABC D中，E、F 分别是棱1111,AD AB的中点 往学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无

12、策高中现了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几的兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对线线角的求法进行总结教学目标使学生学会求异面直线求异面直线1DEFC与所成的角.2、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点.求异面直线1AC与CB1所成角的余弦值 往学生学习立体几何时主要采取形到形的综合推理方法即根据题设条件将空间图形转化为平面图形再由线线线面等关系确定结果这种方法没有一般规律可循对人的智力形成极大的挑战技巧性较强致使大多数学生都感到束手无策高中现了数形结合的思想并且引入向量对于某些立体几何问题提供通法免了传统立体几何中的技巧性问题因此降低了学生学习的难度减轻了学生学习的负担体现了新课程理念为适应高中数学教材改革的需要需要研究用向量法解决立体几的兴趣从而达到提高学生解题能力的目的利用向量法求空间角不需要繁杂的推理只需要将几何问题转化为向量的代数运算方便快捷空间角主要包括线线角线面角和二面角下面对线线角的求法进行总结教学目标使学生学会求异面直线