竞赛三角函数训练题中学教育竞赛题_中学教育-竞赛题.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 三角函数竞赛训练题 1.（2011 湖北联赛）已知R，如果集合sin,cos 2 cos,sin 2，则所有符合要求的角构成的集合为 2.（2011 湖北联赛）满足方程28 sin()160 xxxy（R,0,2)xy）的实数对(,)x y 的个数为 3.设向量)cossin,cossin2(),3(aaxx满足对任意Rx和0,2,2|恒成立.则实数a的取值范围是 4.（2005全 国 联 赛）设、满 足20，若 对 于 任 意)cos()cos(,xxRx,0)cos(x则 5.（2007 一试 4）已知函数)4541(2)cos()sin()(xxxxxf，则f(x)的

2、最小值为 6.（2008 一试）设ABC的内角A B C,所对的边,a b c成等比数列，则sincotcossincotcosACABCB的取值范围是 7.设111sincostantansincosyxxxxxx，则|y的最小值为 8.（2007 年全国联赛）函数()3sin2cos1f xxx，若实数,a bc使得 af(x)+bf(x c)=1对任意实数 x 恒成立，则acbcos的值等于 9.设,0,2若对任意的Rx，等式)sin()cos(xx+0cos2x恒成立，试求、的值。10.已知当x 0，1 时，不等式x2cos x(1 x)+(1 x)2sin 0 恒成立，试求的取值范围

3、。11.（2010 北大自主招生）存不存在02x，使得sin,cos,tan,cotxxxx为等差数列 精品资料 欢迎下载 12已知函数,72sin3|)cos|sin(|)(xxxaxf其中a为实数，求所有的数对(,)a n()nN,使得函数)(xfy 在区间),0(n内恰好有 2011 个零点 13.（2010 北大自主招生）向量OA与OB已知夹角，1OA，2OB，(1)OPt OA，OQtOB，01t PQ在0t时取得最小值，问当0105t 时，夹角的取值范围 14.（2012 北大自主招生）设点 A、B、C 分别在边长为 1 的正三角形的三边上,求222ABBCCA的最小值.15（20

4、12 北大自主招生）若关于 x 的方程sin4 sin2sinsin3xxxxa在0,)有唯一解的实数a的范围 程的实数对的个数为设向量满足对任意和恒成立则实数的取值范围是全国联赛设满足若对于任意则一试已知函数则的最小值为成等比数列则一试设的内角所对的边的取值范围是设则的最小值为年全国联赛函数若实数使得对任意实数在使得为等差数列已知函数使得函数在区间其中为实数求所有的数对内恰好有个零点精品资料欢迎下载北大自主招生设点分别在边长为的正三角形的三边上求的最小值北大自主招生向量与已知夹角在时取得最小值问当时夹角的取值果集合则所有符合要求的角构成的集合为湖北联赛满足方程的实数对的个数为设向量满足对任意

5、和恒成立则实数的取值范围是解令则因所以对任意恒成立或或对任意恒成立或一试已知函数则的最小值为解析实际上设则在上是增函数精品资料 欢迎下载 三角函数竞赛训练题 1.（2011 湖北联赛）已知R，如果集合sin,cos 2 cos,sin 2，则所有符合要求的角构成的集合为|2,kkZ 2.（2011 湖北联赛）满足方程28 sin()160 xxxy（R,0,2)xy）的实数对(,)x y 的个数为 8 3.设向量)cossin,cossin2(),3(aaxx满足对任意Rx和0,2,2|恒成立.则实数a的取值范围是 解:令,cossint则 2,1 t,1cossin22 t),2(2atxx

6、t,因2222222)2(21)2(21)()2(attatxxtatxxt,所以,2|2)()2(222atxxt对任意Rx恒成立 02)2(21222attatt或taatt042或tta4对任意 2,1 t恒成立1 a或5a.4.（2007 一试 4）已知函数)4541(2)cos()sin()(xxxxxf，则f(x)的最小值为 【解析】实际上)4541(2)4sin(2)(xxxxf，设)4541)(4sin(2)(xxxg，则g(x)0，g(x)在43,41上是增函数，在45,43上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线43x对称，则对任意43,411x，存在45,432x，使g(

7、x2)=g(x1)。于是)(2)(2)(2)()(22212111xfxxgxxgxxgxf，而f(x)在45,43上是减函数，所以554)45()(fxf，即f(x)在45,41上的最小值是554。5.（2008 一试）设ABC的内角A B C,所对的边,a b c成等比数列，则sincotcossincotcosACABCB的取值范围是 解 设,a b c的公比为q，则2,baq caq，而 sincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBC s i n()s i n()s i ns i n()s i n()s i nACBBb

8、qBCAAa 因此，只需求q的取值范围 因,a b c成等比数列，最大边只能是a或c，因此,a b c要构成三角形的三边，必需且只需abc 且bca 即有不等式组 22,aaqaqaqaqa 即2210,10.qqqq 解得1551,225151.22qqq 或 从而515122q，因此所求的取值范围是5151(,)22 7.2 21 6.设,0,2若对任意的Rx，等式)sin()cos(xx+0cos2x恒成立，试求、的值。程的实数对的个数为设向量满足对任意和恒成立则实数的取值范围是全国联赛设满足若对于任意则一试已知函数则的最小值为成等比数列则一试设的内角所对的边的取值范围是设则的最小值为年

9、全国联赛函数若实数使得对任意实数在使得为等差数列已知函数使得函数在区间其中为实数求所有的数对内恰好有个零点精品资料欢迎下载北大自主招生设点分别在边长为的正三角形的三边上求的最小值北大自主招生向量与已知夹角在时取得最小值问当时夹角的取值果集合则所有符合要求的角构成的集合为湖北联赛满足方程的实数对的个数为设向量满足对任意和恒成立则实数的取值范围是解令则因所以对任意恒成立或或对任意恒成立或一试已知函数则的最小值为解析实际上设则在上是增函数精品资料 欢迎下载 7.已知当x 0，1 时，不等式 x2cos x(1 x)+(1 x)2sin 0 恒成立，试求的取值范围。解：若对一切x0，1，恒有 f(x)

10、=x2cos x(1 x)+(1 x)2sin 0，则 cos=f(1)0,sin=f(0)0.(1)取 x0=sin cos+sin(0，1)，则 cos x0-sin(1-x0)=0 由于f(x)=cos x-sin(1-x)2+2(12+cos sin)x(1 x)所以，00 (2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sin 0，f(1)=cos 0，且x(0，1)时，f(x)2(12+cos sin)x(1 x)0 先在0,2 中解(1)与(2)：由 cos 0,sin 0，可得 00，cos sin 12,12sin2 14,sin212,注意到 02，故有 6256,所以，12

11、512 因此，原题中的取值范围是 2k+122k+512,kZ 8 已知函数,72sin3|)cos|sin(|)(xxxaxf其中a为实数，求所有的数对(a,n)(nN*),使得函数)(xfy 在区间),0(n内恰好有 2011 个零点 8解：首先，函数)(xf以为周期，且以)(42Zkkx为对称轴，即)()2(),()(Zkxfxkfxfxf，其次，42)43(,102)4(,7)2(akfakfakf，)(xf关于)(42Zkkx对称，)(xf在)42,2(kk及)22,42(kk上的零点个数为偶数，要使)(xf在区间)0n，（恰有 2011 个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7a，

12、则0)42(,0)2(kfkf，考虑区间)2,0(及),2(上的零点个数 当)2,0(x时，72sin3)cos(sin7)(xxxxf，令.2,1(cossintxxt则0473)(2tttgy，解得11t（舍），)4sin(2342xt，故在)2,0(内有两解 当),2(x时，72sin3)cos(sin7)(xxxxf，令2,1(cossintxxt，则01073)(2tttgy，解得11t（舍），3102t（舍），故在),2(内无解因此，)(xf在区间),0(内有三个零点.503201114)1(3),0(nnnnn个零点。解得内有故在 同理可得满足条件(,)(7,503),(52,2

13、011),(22,2011)a n 9.（2010 北大自主招生）存不存在02x，使得sin,cos,tan,cotxxxx为等差数列 解析：不存在；否则有(cossin)(cossin)cossincottansincosxxxxxxxxxx，程的实数对的个数为设向量满足对任意和恒成立则实数的取值范围是全国联赛设满足若对于任意则一试已知函数则的最小值为成等比数列则一试设的内角所对的边的取值范围是设则的最小值为年全国联赛函数若实数使得对任意实数在使得为等差数列已知函数使得函数在区间其中为实数求所有的数对内恰好有个零点精品资料欢迎下载北大自主招生设点分别在边长为的正三角形的三边上求的最小值北大自

14、主招生向量与已知夹角在时取得最小值问当时夹角的取值果集合则所有符合要求的角构成的集合为湖北联赛满足方程的实数对的个数为设向量满足对任意和恒成立则实数的取值范围是解令则因所以对任意恒成立或或对任意恒成立或一试已知函数则的最小值为解析实际上设则在上是增函数精品资料 欢迎下载 则cossin0 xx或者cossin1sincosxxxx 若cossin0 xx，有4x而此时22,1,122不成等差数列；若cossin1sincosxxxx，有2(sincos)12sincosxxxx 解得有sincos12xx 而11sincossin 2(0,22xxx，矛盾！10.（2010 北大自主招生）向量

15、OA与OB已知夹角，1OA，2OB，(1)OPt OA，OQtOB，01t PQ在0t时取得最小值，问当0105t 时，夹角的取值范围 解析：不妨设OA，OB夹角为，则1,2OPtOQt，令 222()(1)42(1)2 cosg tPQtttt 2(54cos)(24cos)1tt 其对称轴为12cos54cost 而12()54xf xx在5(,)4 上单调增，故12cos1154cos3 当12cos1054cos3时，012cos1(0,)54cos5t，解得223 当12cos1054cos时，()g t在0,1上单调增，于是00t 不合题意 于是夹角的范围为2,23 程的实数对的个数为设向量满足对任意和恒成立则实数的取值范围是全国联赛设满足若对于任意则一试已知函数则的最小值为成等比数列则一试设的内角所对的边的取值范围是设则的最小值为年全国联赛函数若实数使得对任意实数在使得为等差数列已知函数使得函数在区间其中为实数求所有的数对内恰好有个零点精品资料欢迎下载北大自主招生设点分别在边长为的正三角形的三边上求的最小值北大自主招生向量与已知夹角在时取得最小值问当时夹角的取值果集合则所有符合要求的角构成的集合为湖北联赛满足方程的实数对的个数为设向量满足对任意和恒成立则实数的取值范围是解令则因所以对任意恒成立或或对任意恒成立或一试已知函数则的最小值为解析实际上设则在上是增函数