第十章重积分高等教育微积分_高等教育-微积分.pdf

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1、第十章 重积分 教学目的：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中 值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。,1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积

2、设有一立体.它的底是 xOy 面上的闭区域 D.它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线 平行于 z轴的柱面.它的顶是曲面 z=f（x y）.这里 f（x y）_0 且在 D 上连续，这种立体叫做曲顶 柱体，现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先.用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域-1、匕匚 2 .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线.作母线平行于 Z 轴的柱面.这些柱面把原来的曲顶 柱体分为 n 个细曲顶柱体.在每个.-：Ci 中任取一点（】.i）.以 f（i.i）为 高而底为厶 G的平顶柱体的体积为 f（1 宀）AQ（i=1.2.n）,这个平顶柱体体积之和 n V 八 f（i,i W

3、 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值.将分割加密.只需 取极限.即 n V=lim、f（i,i）口,JO i 月 其中，是个小区域的直径中的最大值.2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D.它在点（x.y）处的面密度为“x.y）.这里二（x y）0且在 D 上连续 现在要计算该薄片的质量 M.用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 厶；1.厶；2.-zCn,把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：i.i)各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值：n M二(，i).G i討 将分割加细.取极限.得到平面薄片的质量 n M=lim、珥 i,ipc

4、i,._0冷 其中，是个小区域的直径中的最大值.定义 设 f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数.将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 厶；1.)；2.Vn.其中丄一表示第 i个小区域.也表示它的面积，在每个厶门上任取一点(i.).作和 n V f(i，iP-i i丄，如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数 f(x”f(x,y)db y)在闭区域 D 上的二重积分.记作D.即 n!f(x,y)d=lim v f(.)口 D 叽 f(x y)被积函数.f(x y)dc 被积表达式.d；面积元素 x y 积分变量 D 积分区域.积分和 直角坐标系中的面

5、积元素：如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D.那么除了包含边界点的一些 小闭区域外.其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域.1G 的边长为和冷、.则:口*:y.因此在直角坐标系中.有时也把面积元素 d 二记作 dxdy.而把二重积分记作.f(x,y)dxdy D 其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性：当 f(x y)在闭区域 D 上连续时积分和的极限是存在的.也就是说 函数 f(x y)在D 上的二重积分必定存在.我们总假定函数 f(x y)在闭区域 D 上连续.所以 f(x y)在 D 上的二重积分都是存在的，二重积分的几何意义：如果 f(x.y)%

6、：被积函数 f(x.y)可解释为曲顶柱体的在点(x.y)处的 竖坐标.所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 .如果 f(x.y)是负的.柱体就在 xOy 面的 下方.二重积分的绝对值仍等于柱体的体积.但二重积分的值是负的.二.二重积分的性质 性质 1 设 C1、C2为常数.则 Hcif(x,y)C2g(x,y)d；：，Ci H f(x,y)d二 c!g(x,y)d-直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与

7、性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限性质 2 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域.则在 D 上的二重积分等于 在各部分闭区域上的二重积分的和，例如 D 分为两个闭区域 Di与 D2.则!f(x,y)d-：I f(x,y)d一亠,f(x,y)d二 D

8、 Dt D2 II1 d；-d二-；性质 3 D D 为 D 的面积)性质 4 如果在 D 上 f(x y)_g(x y).则有不等式 f(x,y)d二乞 g(x,y)d二 D D 特殊地有|H f(x,y)d；m f(x,y)d-D D 性质 5 设 M、m 分别是 f(x y)在闭区域 D 上的最大值和最小值.匚为 D 的面积.则有 m；：_ f(x,y)d；：_M；：D _ 性质 6(二重积分的中值定理)设函数 f(x.y)在闭区域 D 上连续.二为 D 的面积.则在 D 上至少存在一点.)使得 f(x,y)d；=f(,)二 D 9,2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X

9、型区域 D：i(x)吗一 2(x).a_a_b.Y 型区域：D：1(x)_y_ 2(x).c_y_d.混合型区域：设 f(x y)-Q.D=(x y)|1(x)y 2(x).a 仝乞 b,f(x,y)d 二 此时二重积分D 在几何上表示以曲面 z=f(x.y)为顶.以区域 D 为底的曲顶柱 体的体积，对于 xo：=a b.曲顶柱体在XK的截面面积为以区间1(X0)2(xo)为底、以曲线 z=f(xo.y)为曲边的曲边梯形.所以这截面的面积为 A(Xo)=.；x：)f(Xo,y)dy 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法.得曲顶柱体体积为 b b 2(x)V=A(x)dx=aLQ(x)f(x)

10、dydx 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分

11、割加密只需取极限!f(x,y)dc D=fdxf(x)a-!(x)f(x,y)dy 例 1 计算 ffxD D 是由直线 y=1、x=2 及 y=x 所围成的闭区域 解：画出区域 D 方法一、可把 D 看成是 X-型区域：1 攵立.1 合致,于是 2 x 口 xydu=1 1 xydydx D 2 丿2(xjdx马倍 2 i 2 4 JJ xyd 口=1 dxf xydy=xdxj ydy 注：积分还可以写成 D 解法 2,也可把 D 看成是丫-型区域：1 专空.y 致空“于是 2 2.xyd二=计yxydxdy D I iy J x2-y2d匚 例 2.计算D.其中 D 是由直线 y=1、X

12、-1及 y 二 x 所围成的闭区域 解 画出区域 D.可把 D 看成是 X型区域：-1 乞 1.x 勻勺.于是 2 2 彳 3+x-y dy=-*：(1+x2-y2)3dx=3：(|x|3-1)dx b%(x)f(x,y)d；=r f(x,y)dydx 即 V=D 1 可记为 类似地.如果区域 D 为丫一一型区域 D:”(x)_y_ 2(x)c_y_d.则有 d 屮2(y)f(x,y)d c dy,_i(y)f(x,y)dx D 1 也可 D 看成是丫-型区域：-1叨勺.-1 01 x2 _ y2dx D.xyd 二 例 3 计算D.其中 D 是由直线 y 刁-2 及抛物线 y2次所围成的闭区

13、域 解 积分区域可以表示为 D=D1+D2.其中D：0乞x乞1,_ x乞y _、x.D2:1乞x乞4,2乞 y _ x 于是 x 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点

14、以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限xyd一/y2 xydx=；手 y：22dy 6 3 2丄2计55 _ 6 8=2；y(y 2)2-y5dy V=8、R2-x2d二 D R=8(R _x2)dx=16 R 1 vx 4 vx xyd二=dx xxydy 1 dx x/ydy D 积分区域也可以表示为 D：_1 勻工 2.y2竺乞 y：；2,于 2 y42 4 1 r y 4 3 y 2y 2 4 3 讨论积分次序的选择，例 4 求两个底圆半径都等于 1 的直交圆柱面所围成的立体的体积，解 设

15、这两个圆柱面的方程分别为 X24y2=P 2 及 X24Z2=P2.利用立体关于坐标平面的对称性.只要算出它在第一卦限部分的体积 Vi.然后再乘以 8 就行 了，第一卦限部分是以 D g(x y)|0曲R2-X2,o 汰汀 为底 以 Z=$R2-X2顶的曲顶柱体 于是 R R2 y2 _ R=8 dx JR2x2dy=8 JR2-x2 y0R dx.利用极坐标计算二重积分 有些二重积分.积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便.且被积函数用 极坐标变量、二表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.f(x,y)d 二 D n.f(x,y)d二=lim-f(按二重积分的定

16、义 D ,下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点 0 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D 分为 n 个 小闭区域.小闭区域的面积为：*广1(心2 -2平心冷(2f可 其中：i表示相邻两圆弧的半径的平均值 在.詬内取点(*i i)设其直角坐标为(n i).则有 1=】i cosi iiSini 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积

17、设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限f（cosv,sinv）d于是 l ie _y dxdy=讥 fe PdPd9=卜-Ode 因为 2 e 1 I D 2 2.e 瘁y dxdy 二 R 2 R oeXdxdy=（R 2 c、ex dx）.ey2dxd（veR2 2.e 舟-y D2 dxdy

18、二;（1-eR2）n n lim 二 f（i,i）.：G=lim 二 f（AcosT,iSi 门玩）右.需.：刁 于是 J0 i A 0 i 11 f（x,y）d；-f（，c o s,，s i n）-d-dv 即 D D 若积分区域D可表示为 P 隅 iif（cosv,sin）d：dv-dv.-i）D 讨论如何确定积分限？JJ f（Pcos日,PsinT）PdAdT=jd日 f（Pcos,Psin日）PdP D 一 2兀 臥日）JJf（Pcos日，Psin日）化戸4日=d日 0 f（Pcos日，Psin）PdP D 2 2-y dxdy 例 5.计算D.其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的

19、圆周所围成的闭区域 解 在极坐标系中.闭区域 D 可表示为 1 o2 2二.o2 （1e）o d（1一护）n n e y2dxdy.e-y dxdy 注：此处积分D 也常写成x2 y2也2.2 2 2 今 dxdy(1-r)严 利用X2 丁2印2 计算广义积分-0e dx:2 2 2 设 D1=(x.y)|x y R x_0 y_0.D2=(x.y)|x2 y2堂 R2.x_0.y_0.S 珂(x.y)|0 致虫.0 习汆,2 2 显然 D1 S D2.由于 e t 0.从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 又应用上面已得的结果有 2 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐

20、标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限于是上面的不等式可写成 于是-(eR2(fe2d

21、x)2 壬(仁6曲2)4 0 4 edx=令 R 上式两端趋于同一极限 4.从而-0 2 例 6 求球体 x2 y2 z2a2被圆柱面 x2“=2ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的 体积，解 由对称性.立体体积为第一卦限部分的四倍.V=4 11；4a2-X2-y2dxdy D 其中 D 为半圆周y=2ax-x2及 x 轴所围成的闭区域 在极坐标系中 D 可表示为 00 0_：_2a cos 2.V=4Jjj4a2_P2PdFdT=4命日 广剧J4a2 _ P2 PdP D=32a2(1-sin3d 卄a2(2)3 o 3 2 3 9 3 三重积分 一、三重积分的概念 定义设 f(x y

22、z)是空间有界闭区域 门上的有界函数.将任意分成 n 个小闭区域-V1=V2 .vn 其中.讷表示第 i个小闭区域.也表示它的体积，在每个上任取一点作乘积f(i.n 区 fCi厂i)Avi m,G)也 Vi(i=1.2.,n)并作和i m,如果当各小闭区域的直径中的最大值 7 趋于 零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数 f(x.y.z)在闭区域 I上的三重积分.记作.f(x,y,z)dv 0,即 n!f(x,y,z)dv=lim、f(i,i,i)V 0i d 川 三重积分中的有关术语：-1-积分号.f(x.y.z)-被积函数.f(x.y.z)dv-被 积表达式.dv 体积元素.x y z

23、积分变量.门一一积分区域.在直角坐标系中.如果用平行于坐标面的平面来划分 贝LWXi.lyiAz.因此也把体 积元素记为 dv=dxdydz.三重积分记作 ill f(x,y,z)dv 二 f(x,y,z)dxdydz Q Q 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这

24、种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限f(x,y,z)dzd 二 b y2(x),z2(x,y)二 f(X,y,z)dvadXy1(x)dy z“y)f(X,y,z)dz D:y*x)_y_ y2(x).a_x_b.它是闭区域l 在 xOy 面上的投影区域.n im送f尙2)也w 当函数 f(x y z)在闭区域 11 上连续时.极限卩 3 是存在的.因此 f(x y z)在门上的三重积分是存在的.以

25、后也总假定 f(x y z)在闭区域上是连续的.三重积分的性质：与二重积分类似，比如 i.i.ici f(x,y,z)_C2g(x,y,z)dv ill f(x,y,z)dv_C2 iii g(x,y,z)dv Q Q Q f(x,y,z)dv 二 f(x,y,z)dv f(x,y,z)dv J-.2 1 A i n dv 二V Q.其中 v 为区域0的体积,二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算：三重积分也可化为三次积分来计算，设空间闭区域门可表为 Z1(x.y)_z_z2(x y)y1(x)_y _y2(x).a_x_b Z2(x,y)f(x,y,z)dv.Q D

26、 b y2(x)Z2(x,y)i dx f(x,y,z)dzdy a y(x)L Z(x,y)b y2(x)Z2(x,y)二 dx dy f(x,y,z)dz a M(x)7 z(x,y)即 其中 提示 设空间闭区域 可表为 zi(x.y)ziz2(x y).yi(x)乞 y 2(x).a 纵兰 b!f(x,y,z)dv 计算11.基本思想：对于平面区域 D：yi(x)与玄 y2(x).ax 玄 b 内任意一点(x y).将 f(x y z)只看作 z 的函数.在区间 zi(x.y).Z2(x.y)上对 z 积分.得到一个二元函数 F(x.y).z2(x,y)F(x,y)=j(、f(x,y,z

27、)dz 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割

28、加密只需取极限然后计算 分.zi(xy).F(x.y)在闭区域 D 上的二重积分.这就完成了 f(x.y.z)在空间闭区域 门上的三重积 z2(x,y)仟皿響1(心城。衣加0脚直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把

29、原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限!f(x,y,z)dv=卜 D Z2(x,y)召(xy)f(x,y，z)dz”y2(x)Z2(x,y)=-adxyi(x),(x,y)f(x，y，z)dzdy b y2(x)Z2(x,y)f(x,y,z)dz(x,y)y2(x)=adxy1(x)dy.即 其中 D b y2(x)Z2(x,y)f(x,y,z)d adxy(x)dy,(x,y)f(x，y，z)dz:yi(x)Wy 兰 y2(x).ag 呦，它是闭区域

30、。在 xOy 面上的投影区域,in xdxdydz 1 计算三重积分 I】.其中 I 为三个坐标面及平面 x2yz=1 所围成的闭区域 作图.区域门可表示为：1 0兮今(1-X)0 殳 M-x-2y.2 gMI,1.2y xdz 1 xdxdydz 0dx0 2 dy 0 Q 1=0 xdx02(1-x-2y)dy 讨论：其它类型区域呢？有时.我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分.设 空间闭区域；=(x.y.z)|(x.y)Dz.c1乞 z_C2.其中 Dz是竖坐标为 z 的平面截空间闭区域 门所 得到的一个平面闭区域.则有 C2 j(z)dV=C1dzDzf(x

31、,y 如 3 例 区域 解.z2dxdydz x!工.z!=1 2 计算三重积分 门.其中门是由椭球面 a2 b2 c2 所围成的空间闭 空间区域I可表为：x2 y2 z2 1 a2 b2 c2.-c_z_c 曰 是 练习 HIz2dxdydz=J z2dz 丨丨dxdy Q Dz 1，将三重积分 I 二 f(x,y,z)dxdydz Q 化为三次积分.其中直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二

32、重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限例 3 利用柱面坐标计算三重积分 成的闭区域.64 JI 2 2(1)1】是由曲面 z=1_x_y.z=0 所围成的闭区域，(2)1】是双曲抛物面xy=z及平面 xy_1=O.z=0 所围成的闭区域，其中门是由曲面 z=x22y2及z

33、=2-X2所围成的闭区域，I：iijf(x,y,z)dxdydz 2.将三重积分 11 化为先进行二重积分再进行定积分的形式.其中 I】由曲面 z=1 孑2y2 zd0 所围成的闭区域，2.利用柱面坐标计算三重积分 设 M(x y.z)为空间内一点.并设点 M 在 xOy 面上的投影 P 的极坐标为 P(匚 r).则这样 的三个数人，、z 就叫做点 M 的柱面坐标.这里规定入、z 的变化范围为：0*：:.0*：一 2 z：,坐标面：=：0 J-V 0.ZW0 的意义 点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系：x cos y=sin v I x=：cos 羽=：心 nv.z=z,zz 柱面坐标系中的体

34、积元素：dv=】d：d Tdz.简单来说 dxdy=d:d v.dxdydz=dxdy dz=d-d dz 柱面坐标系中的三重积分：in f(x,y,z)dxdydz 二 f(cos,s in r,z):dd dz Q Q HIzdxdydz Q.其中。是由曲面 z=x2+y2与平面 z=4 所围 解闭区域门可表示为 i n zdxdydz 二 z;?d;?dz Q Q 2-2 4 2-2.=0 叫 PdP$zdz=1 L 叫 P(16-門dP 3.利用球面坐标计算三重积分 设 M(x.y.z)为空间内一点.则点 M 也可用这样三个有次序的数 r、二来确定.其中?r 为原点 O 与点 M 间的

35、距离.：为OM与 z 轴正向所夹的角：为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时 f 针方向转到有向线段 OP的角.这里 P 为点 M 在 xOy 面上的投影.这样的三个数 r 叫 做点 M 的球面坐标.这里 r、二的变化范围为 0 台鈕.0 爭兀.0 的 W2 兀.坐标面 r 0 -0的意义 点M的直角坐标与球面坐标的关系：x=rs in cos y=rsin:sin v x=rsin 吒 osT.yrsin申 sin8.z=rcos,Z-rcos 2 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二

36、重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限；心訂叮0$r2sin dr 球面坐标系中的体积元素：dv=r sin drd d.球面坐标系中的三重积分：in f(x,y,z)dv=f(r

37、sincosv,rsin:sinr,rcos:)r2sin d r ddv Q Q 例 4 求半径为 a 的球面与半顶角：为的内接锥面所围成的立体的体积 解该立体所占区域可表示为：0 弐玄 acos 护.0 如、0 曲立兀.于是所求立体的体积为 V 二 dxdydz二 r2sindrddr Q Q a 2 acos tp=2兀 sin d r 2dr 二1 cos3 sin d=穿(1-coa)3 o 3、提示：球面的方程为 x2 y2(z-a)2 a2.即 x2 y2，z2=2az,在球面坐标下此球面的方程为 r=2arcos.即 r=2acos,9,4 重积分的应用 元素法的推广：有许多求

38、总量的问题可以用定积分的元素法来处理.这种元素法也可推广到二重积分 的应用中.如果所要计算的某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性(就是说.当闭区域 D 分成许 多小闭区域时.所求量 U 相应地分成许多部分量.且 U 等于部分量之和).并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭区域 d；时.相应的部分量可近似地表示为 f(x.y)d 二的形式.其中(x.y)在 d；二内.则称 f(x.y)d 二为所求量 U 的元素.记为 dU.以它为被积表达式.在闭区域 D 上积分：U Hf(x,y)d 二 D 这就是所求量的积分表达式.一、曲面的面积 设曲面 S 由方程 zh(x y)给出 D 为曲面 S 在

39、 xOy 面上的投影区域.函数 f(x y)在 D 上具 有连续偏导数 fx(x.y)和 fy(x y).现求曲面的面积 A.在区域 D 内任取一点 P(x.y).并在区域 D 内取一包含点 P(x.y)的小闭区域 d；二其面积 也记为 d二在曲面 S 上点 M(x.y.f(x.y)处做曲面 S 的切平面 T.再做以小区域 d 二的边界曲线 为准线、母线平行于 z 轴的柱面.将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块 曲面面积的近似值.记为 dA.又设切平面 T 的法向量与 z 轴所成的角为.贝 U dA-1 f?(x,y)f：(x,y)d匚 cos 这就是曲面 S 的面积元素 直角坐

40、标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限

41、所以 其中 Dyz是曲面在 yOz 面上的投影区域.Dzx是曲面在 zOx 面上的投影区域 x2y2田2 R 7RCxCy2 dxdjR：。：rdr R2-r2 1(32(B2:x:y R-R2 _x2 _ y2 于是曲面 S 的面积为 A=J fx2(x,y)fy2(x,y)d；D A二 J(:z)2(：z)2dxdy 或 D；x-y.设 dA 为曲面 S 上点 M 处的面积元素 dA 在 xOy 面上的投影为小闭区域 d 匚 M 在 xOy 面上的投影为点 P(x.y).因为曲面上点 M 处的法向量为 n=(_fx._fy.1).所以 dA=|n|d二1 f；(x,y)f：(x,y)d匚

42、提示:dA 与 xOy 面的夹角为(n A k)dAcos(n A k)=d:.n k=|n|cos(n A k)=1.cos(n A k)=|n|讨论：若曲面方程为 x=g(y z)或 y=h(z x).则曲面的面积如何求？A=W嚼2嚨)皿 yz A,1()2(抄如 Dzx 例 1 求半径为 R 的球的表面积 解上半球面方程为zrR-X-y.x2y2_R2,因为 z 对 x 和对 y 的偏导数在 D x2 yR2上无界.所以上半球面面积不能直接求出 此先求在区域D1：x2/a2(a:R)上的部分球面面积.然后取极限，=2：R(R-、，R2-a2)于是上半球面面积为 整个球面面积为 提示 li

43、m 2“：R(R7R2-a2)=2；R2 a)R 2 A=2A1*R.r l、.2 _-x _ ：z=-y _ ：x、.R2-x2-y2 为.R2-x2-y2 解球面的面积 A 为上半球面面积的两倍 上半球面的方程为Zf、R2-x2-y2.而 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面

44、这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限2 二 Rsin、；R 严。：R2R-2 Rsin：2):只2冷(15)36 106 _ R=WRJR2 P2 =4rR2 例 2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星.距地面的高度为 h=36000km.运行的角速度与地 球自转的角速度相同，试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径 R-6400km),解 取地心为坐标原点.地心到通讯卫星中

45、心的连线为 z 轴.建立坐标系，通讯卫星覆盖的曲面匕是上半球面被半顶角为 的圆锥面所截得的部分二的方程为 z=JR2x2y2.X2勺g2sin20(”于是通讯卫星的覆盖面积为 A=J(：Z)2(B2dxdy=.i.i2R22 dxdy Dxy：X DxyR2X2-y2 其中 Dxy=(x.y)|x2+y2乐2sin2a是曲面工在 xOy 面上的投影区域”利用极坐标.得 亠十 co=-5 由于 R h.代入上式得 A=2二R2(1-一)=2：R2 R+f R+h,由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 2 _2(R h)一 2(36 6.4)106 42.5%2兀 由以上结果可知.卫星覆

46、盖了全球三分之一以上的面积.故使用三颗相隔 3 角度的通 讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面，二、质心 设有一平面薄片.占有 xOy 面上的闭区域 D.在点 P(x y)处的面密度为x y).假定 l(x y)在 D 上连续.现在要求该薄片的质心坐标.在闭区域 D 上任取一点 P(xy).及包含点 P(x y)的一直径很小的闭区域 d 门其面积也记 为 d；).则平面薄片对 x 轴和对 y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 dMx=y(x y)d 二.dlMyXx y)d-.平面薄片对 x 轴和对 y 轴的力矩分别为 Mx=.y(x,y)d二 M y：i!x(x,y)d二 D D 设平面薄片的质

47、心坐标为(x,y).平面薄片的质量为 M.则有 x M M y y M=Mx 直角坐标极坐标计算方法掌握计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之

48、和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限My x(x,y)d二 D 7x,y)d 二 D Mx=.y(x,y)d；My D 二 x(x,y)d 二 D 设平面薄片的质心坐标为(x，y).平面薄片的质量为 M.则有 x(x,y)d 匚 乙性二 _ M JJ%x,y)db D:将 P(x y)点处的面积元素 提示 P(x.y).及包含的一直径很小的闭区域 力矩(仅考虑大小)元素分别为 JJ y(x,y)d 】2sin 和-4sin之间的均匀薄片的质心 例 3 求位于两圆 解因为闭区域 D 对称于 y 轴.所以质心C(x，y)必位于 y 轴上.于是 x=0

49、,I iyd 匚-；?2sin vdd v 因为 D D 二 4sinh。亦妒公心d7二 yd-D d-T=7 3-_3 所以 D.所求形心是 c(0,3)HyA(x,y)d R)处的单位质量的质点的引力.解 设球的密度为 5.由球体的对称性及质量分布的均匀性知 Fx=Fy=0,所求引力沿 z 轴 的分量为 R 90/z-ajdz x2紗2密2 r R 2兀宀：R2 PdP 二G：oz-a)dzo d R 1 1=2G、o(z-a)(土-2 1 2)dz a-z JR22az+a2=2G0-2R 右；(z-a)d、.R2-2az a2 =-G43R3.-t=-GM2 直角坐标极坐标计算方法掌握

50、计算三重积分的直角坐标柱面坐标球面坐标计算方法会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积体积重心转动惯量引力等教学重点二重积分的计算直角坐标极坐标三重积分的直角坐标柱面坐标球用中的引力问题二重积分的概念与性质一二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体它的底是面上的闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面它的顶是曲面这里且在上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论于轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体在每个中任取一点以为高而底为厶的平顶柱体的体积为宀这个平顶柱体体积之和八可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限其中 4R3 3 0