四年级奥数第二讲 图形的计数问题含答案中学教育中考_中学教育-初中教育.pdf

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1、第二讲 图形的计数问题 一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯 二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成4 个基本角，那么 AOB内总共有多少个角呢？首先有这 4 个基本角，其次是包含有 2 个基本角组成的角有 3

2、 个（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有 3 个基本角组成的角有 2 个（即AOC3、C1OB），最后是包含有 4 个基本角组成的角有 1 个（即AOB），所以AOB内总共有角：432110（个）解：432110（个）答：图中总共有 10 个角。练一练：数一数右图中总共有多少个角？答案:总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（个）例（2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC、上各有 2 个分点，各分成3 条基本线段，再看 BC、MN、GH这 3 条线段上各有 3 个分点，各分成 4 条基本线段.所以图中总共有线

3、段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，先看在AGH 中，在 GH上有 3 个分点，分成基本小三角形有 4 个.所以在AGH 中共有三角形 4+3+2+1=10（个）.在AMN 与ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）3=103=30（个）解：在ABC中共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）在ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（个）答：在ABC中共有线段 60 条，共有三角形 30 个。练一练：共有多少个三角形？答案:18 准确计数就需要一些智慧了

4、实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在例（3）数一数图中

5、长方形的个数 分析：AB 边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.解：共有长方形：（5+4+3+2+1）（3+2+1）=15 6=90（个）答：共有长方形 90 个。练一练：数一数图中长方形的个数 答案:90 例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为 1 个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为 1 个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.以一条基本线段为边的正方形个数共有：6 5=30（个）.以二条基本线段为边的正方形个数共有：5 4=20（个）.C D A B 准确计数就需要一些智慧了实际上图形计

6、数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在 以三条基本线段为边的正方形个

7、数共有：4 3=12（个）.以四条基本线段为边的正方形个数共有：3 2=6（个）.以五条基本线段为边的正方形个数共有：2 1=2（个）.解：正方形总数为：6 5+54+43+32+21 =30+20+12+6+2=70（个）答：练一练：下图共有几个正方形?答案:10 例（5）数一数图中三角形的个数 分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.以一条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W 上=1+2+3+4=10（个）.尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：aa 准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原

8、始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在 W 下=1+2+3=6（个）.以两条基本线段为边的三

9、角形：尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W 上=1+2+3=6（个）.尖朝下的三角形只有一个，记为 W 下=1（个）.以三条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W 上=1+2=3（个）.尖朝下的三角形零个，记为 W 下=0（个）.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W 上=1（个）.解：所以三角形的总数是 10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。练一练：数一数图中三角形的个数 答案：24 例（6）数一数图中一共有多少个三角形？准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一

10、列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形 ABCD 可分为四个相同的小矩形：AEO

11、H、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如ABD、ADC、ABC、DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以 4 就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：.在小矩形 AEOH 中：由一个三角形构成的有 8 个.由两个三角形构成的三角形有 5 个.由三个或三个以上三角形构成的三角形有 5 个.这样在一个小矩形内有 17 个三角

12、形.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形 AEGD，共有 5 个三角形.由三个小矩形占据的部分图形中，如ABC，共有 2 个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：（8+5+5+5+2）=254=100（个）答：图中一共有 100 个三角形。练一练：数一数图中一共有多 答案：35 个 准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成

13、的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在模拟测试（2）一、填空题 （每小题 5 分）1、.下列图形各有几条线段 ()条 ()条 ()条 2、一条直线上共有 50 个点,可以数出()条线段.3、数一数下图共有()条线段.()条.()条.4、下图中各有（）个三角形.5、数一数下图有（）个长方形.6、右图一共有()个长方形?B A C D 准确计数就需要

14、一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在7、右图

15、一共有()个正方形？8、下图共有()个平行四边形.9、一共有()个梯形.10、下图共有()个三角形.二、简答题 (每小题 10 分)1、右图的图形中一共有多少个三角形?准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本

16、线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在2、下图共有几个正方形?3、下图共有多少个长方形?4、下图中一共有多少个三角形?5、下图共有几个三角形?.模拟测试（2）解答 一、填空题 1、a有 10 条,b有 15 条,c有 21 条.2、50492=1225(条).3、36;27.4.33;准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复

17、杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在5、30 个.图中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段:2+1=3(条),把AB 上的每一条线段作为长,BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组

18、成一个长方形,所以图中共有长方形为:(4+3+2+1)(2+1)=103=30(个).6、一共有 64 个.7、一共有 18 个.解:分三类计算,边长是 1 的正方形有 2+4=13(个),边长为 2 的正方形有4(个),边长为 3 的正方形有 1 个.因此,图中共有正方形 13+4+1=18(个).8、315 个 3151521)256()267(个)9、45 个 最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)10、126

19、个 .尖朝上的三角形有五种:(1)W上=8+7+6+5+4=30(2)W上=7+6+5+4=22(3)W上=6+5+4=15(4)W上=5+4=9(5)W上=4 尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个).尖朝下的三角形有四种:(1)W下=3+4+5+6+7=25(2)W下=2+3+4+5=14(3)W下=1+2+3=6(4)W下=1 尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46(个)80+46=126个.准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较

20、复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在二、简答题 1、解：单个三角形有 6 个.两个图形组成的有 4 个.三个图形组成的有 1 个.四个图形组成的有 2 个.八个图形组成的有 1 个.答：一共有:6+4+1+

21、2+1=14 个.2、解：一共有正方形 52+42+32+22+12 =25+16+9+4+1=55(个).答：一共有正方形 55 个。3、解：在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)(3+2+1)=60(个);在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)(3+2+1)=60(个);在与中重复的长方形有:1+2=3(个);两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)(2+2)+1(2+2)=16(个).图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).答：共有长方形有 133 个。4、解：基本的三角形有:49=36(个).由两个基本的三角形组成的三角形有:49=36(个).由四个基本的三角形组成

22、的三角形:432=24(个).由九个基本的三角形组成的三角形:42=8(个).由八个基本的三角形组成的三角形:44=16(个).由十八个基本的三角形组成的三角形:准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再

23、看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在 4(个).答：共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).5、解：一个三角形构成的有 12 个.两个三角形构成的有 12 个.三个三角形构成的有 6 个.四个三角形构成的有 6 个.六个三角形构成的有 1 个.答：一共有:12+12+6+6+1=37(个).准确计数就需要一些智慧了实际上图形计数问题通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言它是指把所要计数的对象一一列举出来以保证枚举时无一重复无一遗漏然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题有助于培条角分线分成个基本角那么内总共有多少个角呢首有这个基本角其次是包含有个基本角组成的角有个即然后是包含有个基本角组成的角有个即最后是包含有个基本角组成的角有个即所以内总共有角个解个答图中总共有个角练一练数线段上各有个分点各分成条基本线段再看这条线段上各有个分点各分成条基本线段所以图中总共有线段是条要数有多少个三角形先看在中在上有个分点分成基本小三角形有个所以在中共有三角形个在与中三角形有同样的个数所以在