小升初培优之“牛吃草”问题含答案小学教育小学考试_小学教育-小学考试.pdf

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1、第 39 周“牛吃草”问题 一、知识要点 牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供 10 头牛吃 3 天，供 6 头牛吃几天？”这题很简单，用 3X 10 十 6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草 的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问 题。解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不 变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。二、精讲精练【例题 1】一片青草地，每天都匀速长出青

2、草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量 即原来 的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草 虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不 变的。假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份，那么 27 头牛 6 周需要吃 27X6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23 头牛 9 周需吃 23X9=207（份），此时 新草与原有的草也均被吃完。而 162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数 量的总和；207 份是

3、原有的草的数量与 9 周新长出的草的数量的总和，因此每周 新长出的草的份数为：（207-162）-（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15 X 6=72（份）。这片草地每周新长草 1 5 份相当于可安排 15 头牛专吃新长 出来的草，于是这片草地可供 21 头牛吃 72-（21-15）=12（周）练习 1 1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24 头牛吃 6 天，20 头牛吃 10 天，那么可供 19 头牛吃几天？2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或者可供 15 头牛吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？3、牧场上的青草每

4、天都在匀速生长，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头 牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？【答案】1.每天长草量：（20X 10-24 X 6）-（10-6）=14（份）原有草量：24 X 6-14 X 6=60（份）可吃天数：60-（19-14）=12（天）2.每天长草量：（20 X 10-15 X 10）-（20-10）=5（份）原有草量：（10-5）X 20=100（份）可吃天数：100-（25-5）=5（天）3.每天长草量：（23X9-27X6）-（9-6）=15（份）原有草量：（27-15）X 6=72（份）可吃时间：72-（21-15）=12（周）【例题 2

5、】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度 在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天。照此计 算，可供多少头牛吃 10 天？与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可以利用与例 1 类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份，20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6 天吃 90 份，100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场 1 天减少青草 10 份，也就是 寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”，再

6、加上寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛同时在吃草，所以原有草两有（20+10）X 5=150（份），由 150-10=15 知道，牧场原有的 草可供 15 头牛吃 10 天。由寒冷导致的原因占去 1 0 头牛吃的草，所以可供 5 头牛吃 10 天。练习 2：1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几 天？2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草 可供33 头牛吃 5 天或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天？3、

7、经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展 的需要，地球最多能养活多少亿人？简单用十天如果把一堆草换成一片正在生长的草地问题就不那么简单了因为草每天走在生长草的数量在不断变化这类工作总量不固定均匀变化的问题就是牛吃草问题解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量牧场上原有的长出的草问题就容易解决了二精讲精练例题一片青草地每天都匀速长出青草这片青草可供头牛吃周或头牛吃周那么这片草地可供头牛吃几周这片草地上的草的数量每天都在变化解题的关键应找到不变量即原来的草的数量因为总草量的数量也

8、是不变的假设头牛一周吃的草的数量为那么头牛周需要吃此时新草与原有的草均被吃完头牛周需吃此时新草与原有的草也均被吃完而是原有的草的数量与周新长出的草的数量的总和是原有的草的数量与周新长出的草的数量【答案】1.每天减少量：（20X 5-16 X 6）-（6-5）=4（份）原有草量：（20+4）X 5=120（份）可吃天数：120-（11+4）=8（天）2.每天减少量：（33 X 5-24 X 6）-（6-5）=21（份）原有草量：（33+21）X 5=270（份）牛的数量：270-10-21=6（头）3.（80X300-100X100）-（300-100）=70（亿）【例题 3】自动扶梯以均匀速度

9、由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯 上楼。已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶，结果男孩用 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台 阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自 动扶梯的速度。男孩 5 分钟走了 20X5=10（0 级），女孩 6 分钟走了 15X6=9（0 级），女孩比男孩少走了 10090=10（级），多用了 6 5=1（分钟），说明电梯 1 分钟 走 10 级。因男孩 5

10、 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之 和。所以，扶梯共有（20+10）X 5=150（级）练习 3：1、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分 钟走 25 级台阶，小红每分钟走 20 级台阶，结果小明用 5 分钟，小红用了 6 分钟 分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27 级台阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到 达另一端，该扶梯共有多少级台阶？3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只 蜗牛白天爬行的速度是不同的。

11、一只每天白天爬 20 分米，另一只爬 15 分米。黑 夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜 到达井底，另一只蜗牛恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？【答案】1.扶梯每分钟上行：(25X 5-20 X 6)-(6-5)=5(级)扶梯共有台阶数：(25+5)X 5=150(级)简单用十天如果把一堆草换成一片正在生长的草地问题就不那么简单了因为草每天走在生长草的数量在不断变化这类工作总量不固定均匀变化的问题就是牛吃草问题解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量牧场上原有的长出的草问题就容易解决了二精讲精练例题一片青草地每天都匀速长出青草这片青草

12、可供头牛吃周或头牛吃周那么这片草地可供头牛吃几周这片草地上的草的数量每天都在变化解题的关键应找到不变量即原来的草的数量因为总草量的数量也是不变的假设头牛一周吃的草的数量为那么头牛周需要吃此时新草与原有的草均被吃完头牛周需吃此时新草与原有的草也均被吃完而是原有的草的数量与周新长出的草的数量的总和是原有的草的数量与周新长出的草的数量2.扶梯每分钟上行：24X(180-20)-27X(120-20)-(3-2)=54(级)扶梯共有台阶数：27X(120-20)-54 X 2=54(级)3.每夜下滑：(20X 5-15 X 6)-(6-5)=10(分米)井深：(20+10)X 5=150(分米)=15

13、(米)【例题 4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经 进了一些水。如果用 1 2 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时 才能舀完。现在要想 2 小时舀完，需要多少人？已漏进的水，加上 3 小时漏进的水，每小时需要(12X 3)人舀完，也就是 36 人用 1 小时才能舀完。已漏进的水，加上 10 小时漏进的水，每小时需要(5 X 10)人舀完，也就是 50 人用 1 小时才能舀完。通过比较，我们可以得出 1 小 时内漏进的水及船中已漏进的水。1 小时漏进的水，2 个人用 1 小时能舀完：(5X 1012X 3)-(10 3)=2 已漏进的水：(122

14、)X 3=30 已漏进的水加上 2 小时漏进的水，需 34 人 1 小时完成：30+2X 2=34 用 2 小时来舀完这些水需要 17 人：34-2=17(人)练习 4：1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，用 15 部相同的抽水机 1 0 小时可以把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小 时可以把水抽干？2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同 时打开后，如果每小时注水 30 立方分米，7 小时可以注满水箱；如果每小时注 水 45 立方分米，注满水箱可少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立 方分米的水（设每小时

15、排水量相同）？3、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3 台抽 水机来抽水，36 分钟可以抽完；如果使用 5 台抽水机，20 分钟抽完。现在 12 分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？简单用十天如果把一堆草换成一片正在生长的草地问题就不那么简单了因为草每天走在生长草的数量在不断变化这类工作总量不固定均匀变化的问题就是牛吃草问题解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量牧场上原有的长出的草问题就容易解决了二精讲精练例题一片青草地每天都匀速长出青草这片青草可供头牛吃周或头牛吃周那么这片草地可供头牛吃几周这片草地上的草的数量每天都在变化解题的关键应找到不变量即原来的草的数量

16、因为总草量的数量也是不变的假设头牛一周吃的草的数量为那么头牛周需要吃此时新草与原有的草均被吃完头牛周需吃此时新草与原有的草也均被吃完而是原有的草的数量与周新长出的草的数量的总和是原有的草的数量与周新长出的草的数量【答案】1.每小时涌出水：（10X 20-15 X 10）-（20-10）=5（份）原有泉水：（10-5）X 20=100（份）抽干需要：100-（25-5）=5（时）2.30 X 7-45 X（7-2.5）-2.5=3（立方分米）1 3.每小时涌出水（3X 36-5 X20）-（36-20）=（份）2 1 原有泉水：（3-）X 36=90（份）2 抽干需要抽水机：（90+丄X 12）

17、-12=8（台）2【例题 5】有三块草地，面积分别为 5,6,和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛 吃 14 天。问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同 的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即 5，6，8=120 这样，第一块 5 公顷可供 11 头牛吃 10 天，120-5=24,变为 120 公顷草地 可供11X 24=264（头）牛吃 10 天 第二块 6 公顷可供 12 头牛吃 14 天，120-6=20,变为 120 公

18、顷草地可供 12 X 20=240（头）牛吃 14 天。120-8=15。问题变成：120 公顷草地可供 19X 15=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供 264 头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 14 天，那么可供 285头牛齿及天？即 每天新长出的草：（240X 14264X 10）-（1410）=180（份）草地原有草：（264 180）X 10=840（份）可供 285 头牛吃的时间：840-（285180）=8（天）答：第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。练习 5：简单用十天如果把一堆草换成一片正在生长的草地问题就不那么

19、简单了因为草每天走在生长草的数量在不断变化这类工作总量不固定均匀变化的问题就是牛吃草问题解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量牧场上原有的长出的草问题就容易解决了二精讲精练例题一片青草地每天都匀速长出青草这片青草可供头牛吃周或头牛吃周那么这片草地可供头牛吃几周这片草地上的草的数量每天都在变化解题的关键应找到不变量即原来的草的数量因为总草量的数量也是不变的假设头牛一周吃的草的数量为那么头牛周需要吃此时新草与原有的草均被吃完头牛周需吃此时新草与原有的草也均被吃完而是原有的草的数量与周新长出的草的数量的总和是原有的草的数量与周新长出的草的数量1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅

20、客人数一样多。从 开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检 票口需 20分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？2、快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的 速度分别是嵋小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中 车追上自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用多少小时？3、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 17 头牛吃 30 天，或 供 19 头牛吃 24 天。现有一群牛吃了 6 天后卖掉 4 头，余下的牛又吃了 2 天将草 吃完。这群牛原来有多少头？【答案】1.每小时旅客

21、增加：（4X 30-5 X 20）（30-20）=2（份）原有旅客：（4-2）X 30=60（份）需要时间：60-（7-2）=12（分钟）2.货车速度：（20X 10-24 X 6）-（10-6）=14（千米/时）三车出发时货车距 A 地：（24-14）X 6=60（千米）慢车追上货车的时间：60-（19-14）=12（时）3.青草每天长出：（17X 30-19 X 24）-（30-24）=9（份）原有青草：（17-9）X 30=240（份）假设 4 头牛不卖，一共吃掉青草：240+9X（6+2）+4X 2=320（份）这群牛原来有：320-（6+2）=40（头）简单用十天如果把一堆草换成一片正在生长的草地问题就不那么简单了因为草每天走在生长草的数量在不断变化这类工作总量不固定均匀变化的问题就是牛吃草问题解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量牧场上原有的长出的草问题就容易解决了二精讲精练例题一片青草地每天都匀速长出青草这片青草可供头牛吃周或头牛吃周那么这片草地可供头牛吃几周这片草地上的草的数量每天都在变化解题的关键应找到不变量即原来的草的数量因为总草量的数量也是不变的假设头牛一周吃的草的数量为那么头牛周需要吃此时新草与原有的草均被吃完头牛周需吃此时新草与原有的草也均被吃完而是原有的草的数量与周新长出的草的数量的总和是原有的草的数量与周新长出的草的数量