同济版第四章向量组的线性相关性的教案高等教育微积分_高等教育-微积分.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第一节 向量组及其线性组合 一.教学重点：线性表示，向量组等价的充要条件 二.教学目标：熟练掌握相关定义，定理。三.教学过程：1.定义 1：n 个有次序的数1n所组成的数组称为 n 维向量 说明几个问题：111)nn T列向量，行向量。1212(,),Tnnxx xxx xxRnn2)n 维向量的全体所组成的集合 R称为 维向量空间。121 1223)(,)1Tnnnnnxx xxa xa xa xbRn维向量的集合叫的维超平面。14)nmnnma111nm1若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量组aa例如A=称为 个 维列向量的全体。a 定义 2：给定向量组1111,.m

2、mmmikkRkkAk A:称为 的一个线性组合。称为系数。11221mmmbkkk 若称b能被线性表示。11()(,)mmR ARbTh1.b 能由A:线性表示 证明：1mb能由A:线性表示11122mmmkkbkkk 则存在使得 即 AX=b有解R(A)=R(A,b)定义 3：若向量组 A 与 B 能相互表示则称向量组 A 与 B 等价。若 B 的每一个向量都可以由 A 表示，则称向量组 B 能由 A 线性表示。线性表示的系数矩阵 11:mLABBA令若 能由 线性表示 学习必备 欢迎下载 1112212(1,2)jjjjmjmmjkbkkkjLk m LijK=(k)称为线性表示的系数矩

3、阵即 B=AK 由此可得 11:LmBATh2.能由线性表示R(A)=R(A,B),7()(,)BAKThR AR A B78证明：能由 线性表示则存在使B=AK 即AX=B 有解,由P可得 推论：,()()(,)A BR AR BR A B等价 23232311111210,21432301,(,)bBA b 111例1 设证明：向量b能由线性表示，并求出表达式。分析：只要证A=与的秩相等即可。231111103212100121()(),2143000023010000rBR AR B 1证明：b能由线性表示 32322121,10cxcccc 可取任意值。2323,(32)(21)xcc

4、c 11从而得表示式 b=2232231321311011,1110213120,bbb b 1111例2，b 证明：向量组，和b等价。关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢

5、迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 1321313213110110211111102000001312000000()2,(.)202()()(,)rR AR ABBR AR BR A B 证明：(A,B)=可见容易看出矩阵 中有不等于 的 子阶故R(B)2,又R(B)R(A,B)=2,R(B)=2因此 1113.:)LmLThBA设向量组能由线性表示，则R(1()mR 说明几个问题 12m 例3 设n维的向量组A:构成的nm 的矩阵12)m A=(，1 2)nne

6、een阶单位矩阵E=(的列向量叫做 维单位坐标向量。1 2().nne eeAR An证明：维单位坐标向量组能由向量组 线性表示 证明：由定理 2 向量组1 2ne ee能由向量组 A 线性表示的R(A)=R(A,E)而 R(A,E)R(E)=n.又矩阵(A,E)含 n 行，知 R(A,E)n,合起来有R(A,E)=n,因此 R(A)=R(A,E)就有 R(A)=n.说明几个问题 1.nXEn m本例用方程的语言可叙述为 A有解R(A)=n.n mQn m2.本例用矩阵的语言可叙述为，对矩阵 A，存在矩阵,()R Amm使AQ=E()n mR Ann m对矩阵A，存在矩阵P,使PA=En 3.

7、mn当时，P,Q就是A的逆矩阵，上述结论可看作是逆矩阵概念的推广。5.本课小结：本节课的定义定理较多，要求同学们熟练掌握并学会应用 6.作业：108，3 1 2121.:LmB bbbA 向量组能由向量组线性表示有矩阵K,使B=AK有解。2.以上的各定理之间的对应是向量组与矩阵的对应。关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩

8、阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 第二节 向量组的线性相关性 一.教学重点：线性相关的定义，性判断向量组的线性相关性。二.教学目标：用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能够判断向量组的线性相关性 1212112122mnnmmmmmmBAb TH5 1)若向量组A:线性相关，则B:也线性相关，

9、反之，若 无关，则 也无关。）个 维的向量组成的向量组，当维数 小于向量个数 时一定线性相关，特别地n+1个n维的向量一定线性相关。3）设向量组A:线性无关。而向量组B:线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示。且表示式是唯一的。证明：略 1234231234123例4.设向量组线性相关,向量组线性无关证明：1）能由线性表示。2）不能由线性表示.4232312312341231234234235Th证明：1）线性无关线性无关线性相关由能由线性表示.2)假设能由线性表示.又能由线性表示则能由线性表示，线性相关。矛盾。5.课堂小节 用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能

10、够判断向量组的线性相关性 第三节 向量组的秩 一.教学重点：极大无关组的定义和它的等价定义，向量组的秩，矩阵的秩。二.教学目标：会求矩阵的秩和列（行）向量组的一 个极大无关组。00.1:2rrAAAA111.定义：设在向量组A中，选取r个向量满足）线性无关。）向量组 中任意r+1个向量线性相关，称为 的一个最大无关组。说明几个问题 1）向量组 A 的秩，就是最大无关组所含向量的个数即 R(A)=r 关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列

11、向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 2)最大无关组不是唯一的123122313102011()27000,R 102例 1241503)2AA定义中的第 条等价于 中的任意向量都可由线性表示从而得最大无关组的

12、等价定义。0,:2rrrAAA10112.等价定义：设在向量组A中选取r个向量满足1）A线性无关）中的任意向量都可由线性表示称 为 的极大无关组。3.向量组的秩，矩阵的秩nn11若A中向量的个数是有限个则它们可以构成矩阵（）很容易得到。Th6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩（行也一样）。,nnn例1.全体n维向量构成的向量组记为 R 求R的一个极大无关组及 R的秩。52)11nneThnen1n1解：E:e线性无关的，由知R中的任意个向量都线性相关，由定义，e即是R的一个极大无关组秩为n 2341241234220230570 xxxxxxxxxx 1s例2.设齐次线性方程组x的全体解向量构成的

13、向量组为s,求R 解：1342341212103434230101232311570000 xxxAxxx 3142,xc xc令得通解 12121 1223434231001xxccccxx 即x=1 1221212,2sccc cRR知s=x x=而不成比例线性无关由等价定义 说明几个问题 1)()(2ssR ARn nR是自由未知量的个数）自由未知量的个数=未知量的个数-R(A)关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定

14、义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 3.向量组的秩和矩阵的秩8561422ThThThp ThTh93由可以把上一节的推广过来与p等价,),),BAA BBBA BcRABBARRRRRRA BA（AA（例10 B能由A线

15、性表示，且R证明 与 等价。证明：能由 线性表示而R，所以R从而等价。12112144622436979A2-1-1例11 设矩阵A=求矩阵 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组表示。24242424312244124124124124140111030001300000()30021246223679ARRkkkkkkkkkkkkkkk 1111111-2解：A方法：取三个非零行的非零首元所在列111011（）线性无关。00101241124212441243252421121462203679433kkkkkkkkkkkkkkk 11同理 关定义定理三教学过

16、程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢

17、迎下载 第四节 线性方程组的解结构 一.教学重点：用向量组线性相关的理论来讨论线性方程组的解 二.教学目标：熟练掌握求齐次，非齐次线性方程组的通解的一般方法和步骤 三.1)0nAX 个未知数的齐次线性方程组有非零解R(A)n.2)()(.)nnAXbR AR Abrn 有唯一解个未知数的非齐次线性方程组有解有无限多解2.用线性相关的理论讨论线性方程组的解 1122111 12211211112211110(1)()(1)0(2)0,(1)(2)nnTnnnnnnnnnxa xa xXxxAXa xa xa xxxxx 11ij）齐次的a设A=(a若为的解。为的解向量。222211,(2)(2)

18、()0(2),(2)00 xxAXAAAkRk 111111性质1.若x=为的解，则也是的解。证明：性质2.若x=为的解，则x=k 也是的解。证明：A(k)=kA 1220(2)ttAXkkx1结论：把的全体解所成的集合记为 S，可用S的极大无关组表示 S,由性质1.2=k这就是的通解。关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数

19、矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 定义1.基础解系 齐次线性方程组解集的极大无关组结论：要求通解只需求基础解系（不是唯一的）02()AR A0002）齐次方程组AX=0 基础解系的求法1 对 作初等变换化为阶梯形（最好最简形）确定从而确定基础解系中的解向量个数n-R(A)3 确定自由未知量（个数n-R(A)）4 每次给

20、一个自由未知量赋值1,其余为0。7Thnr s设m n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组 AX=0 的解集S的秩，R 234123412340253207730 xxxxxxxxxxx 1x例12的基础解系，通解。1343142234231077111154253201()2,()422777734000023231077775401547777AR AnR Axxxxxxxxxx 解：及对应有及即得基121 12234237754771001xxccxx 12础解系，222,),)001,2(,)(),()()().lliilsssbbABAbbAbilBbSRbbRR BR R

21、ARnR AR Bn m nn l111例13.设AB=0,证明：R(A)+R(B)n.证明：记B=(b(b即从而 的列向量全是AX=0 的解 设AX=0 的解集S，则从而b即 00L nBAXBXm n例14.证明矩阵A与的行向量组等价与同解。关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线

22、性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 000()()()()(,),TTTTTTAAXBXXBAR AR BRR AR BR ABBAB 证明：显然AX=0与同解即同解BX=0列向量组等价。从而A,B行向量组等价。结论：AX=0 与BX=0 可互相推它们同解。)()00)000()()00()00)()TTTAR AAXA XAXX A AXAXAXAXAXAXA

23、R A TTTTT51TT例15.证明：R(A证明：设 A为m n的若AX=0AA(A若A例6P与A同解R(A 2.讨论非齐次线性方程组 1122111122(4)nnmmmnnnxaxaxbaxaxaxb11a它可以写成AX=b(5)*,(5)6 1212向量方程(5)的解就是(4)的解向量，它具有性质3.设x=x=是的解，则x=是导出组的解（）性质4.设x=是方程(5)的解，x=是方程(6)的解，则x=是方程（5）的解。结论：（5）的通解，x=，其中 是导出组的解，是特解。000求非齐次线性方程组的步骤1 化增广阵求特解2 求导出组的通解3 取和 关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成

24、的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 23412341

25、2342424340311232121111011011111310012()()2,21123100000212102011222xxxxxxxxxxxR AR Bxxxxxx 11*x例16求解方程组解：故方程有解。x令得1243412341221234201011,01021111101002020101xxxxxxxxxxxccxx 1对应的齐次线性方程组取及及基础解系，于是得通解12120(,)120c cR 5.课堂小节：6.作业：第五节 向量空间 一.教学重点：构成向量空间的条件，向量组的一个极大 无关组与向量空间的一个基有什么区别，联系？二.教学目标：判断集合是否为向量空间，坐

26、标变换。三.教学过程 1.定义 1 设 v 为 n 维向量的集合，如果 V 非空且对加法及数乘 封闭，那么 V 就是向量空间。0012,Vs tRVstV 符号语言：有 020说明几个问题1 零向量存在V,-V,-V负向量唯一 能够作成空间的例子 关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为

27、线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载)nnxxR22例1.集合V=X=(0,xx例2.集合V=XAX=0不能作成空间的例子 22,),1TnnnxxxRxx 111例3.V=X=(xxx 3,1,)TnnxxxR12例4.V=X=(xx 11112.mmmmLXR 定义记为由向量组所生成的向量空间。111111211112,msmmmsssbLXRLXRLL 例

28、5.设向量组与向量组b等价，记证明：证明：（略）121212定义3.设向量空间V及V，若VV，称V是V的子空间。11114.rrrrViiiV定义 设V为向量空间，如果r个向量，且满足）线性无关）V中任一向量都可由线性表示那么向量就是称为向量空间 的一个基，r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间。0020说明几个问题1维向量空间只含有一个零向量。由定义除了零空间外，V都是无限集，基用来生成无限集，而向量组可以是有限的，极大无关组可以生成有限的。0113(),:ssVLa那么的任一极大无关组是V的一个基。b:V的维数等于向量组A的秩.15.,rrrVVXXX 11定义中取定一个基那么 中任一

29、向量可唯一的表示为数组称为在基下的坐标。232323222114212,()0312242BbbRbb1111例6.A=验证：是的一个基，并求在这个基下的坐标 关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明

30、向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应学习必备 欢迎下载 323231223312233112232233221100212010()3,122001,()2211,2120122RR AbxxxbyyyxybbxyxyA BE 111121-111-1证明：要证是的一个基，只需要证其线性无关A=从而线性无关令则记B=AK K=BABA2323243410032301013420012132241333bb 11212在基下坐标为，在基下坐标为，1，3 2222226

31、.,nnnnnnnbbbRbbbTbbb111111定义 设是中的两个基，存在矩阵T使（），称T为（）到的过渡矩阵。232 3232 3bb bbb b31111例7.在R中取定2个基，求用表示的表示式，并求向量在两个基中坐标之间的关系式。解:略 5.课堂小节：6.作业：关定义定理三教学过程定义个有次序的数所组成的数组称为维向量说明几个问题列向量行向量称为维向量空间维向量的全体所组成的集合叫的维超平面维向量的集合称为个维列向量的全体若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量得即有解定义若向量组与能相互表示则称向量组与等价若的每一个向量都可以由表示则称向量组能由线性表示线性表示的系数矩阵若能由线性表示令学习必备欢迎下载称为线性表示的系数矩阵即由此可得线性表示能由可得证明能由性表示证明可取任意值从而得表示式证明向量组和等价例学习必备欢迎下载证明可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故又因此设向量组能由线性表示则说明几个问题向量组能由向量组线性表示有矩阵使有解以上的各定理之间的对应