强大导数知识点各种题型归纳方法总结中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、 一.导数的定义：2.利用定义求导数的步骤:求函数的增量：y f(x0 X)f(X0);求平均变化率:二、导数的运算：(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)(2)复合函数y f(g(x)的导数求法：换元，令u g(x)，则y f(u)分别求导再相乘 y g(x)f(u)回代u g(x)题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 2 1、已知 f x x 2x sin，则 f 0 2、_ 若 f x exsinx，贝卩 f X 3、f(x)=ax3+3x2+2,f(1)4，则 a=()三.导数的物理意义 1.求瞬时速度：

2、物体在时刻 t0时的瞬时速度V就是物体运动规律 S f t在t t0时的导数f t0,即有V0 f t0。2.V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四.导数的几何意义：函数f X在X。处导数的几何意义，曲线y f X在点P X0,f X0处切线的斜率是k f X0。于是相应的切线 方程是：y y0 f Xo x Xo。题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况：(1)曲线y f x在点P X),f x0处切线：性质：k切线 f X)。相应的切线方程是：y y0 f x0 x x()(2)曲线y f x过点P x0,y0处切线：先设切点，切点为Q(a,b),则斜率 k=f(a)，切点

3、Q(a,b)在曲线 y f x上，切点Q(a,b)在切线y y0 f a x x0上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b 的方程组，解方 程组来确定切点，最后求 斜率 k=f(a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1)k yL x。3x02 6x0 6 3(x0 1)2 3 当 xo=-1 时，k 有最小值 3,此时 P 的坐标为(-1,-14)故所求切线的方程为 3x-y-11=0 五.函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导，(1)f(x)0 f(x)该区间内为增函数；(2)f(x)0 f(x)该区间内为减函数；注

4、意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍是递增(或递减)的。(3)f(x)在该区间内单调递增 f(x)0在该区间内恒成立；(4)f(x)在该区间内单调递减 f(x)0在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明(或判断)函数 f(x)在某一区间上单调性：步骤：(1)求导数 y f(x)(2)判断导函数y f(x)在区间上的符号 导数的基础知识 取极限得导数:(下面内容必记)f(Xo)lXmo y f(Xo x)f(Xo)；X X C 0(C 为常数):(Xn)nxn1；(丄)(X n)X(sin x)cosx；(cosx)sinx(ex)ex nxn1

5、；(n丹 m n(X)m m-x n(ax)ax In a(a 0,且 a 1)；环 1(In x)x 法则 1：f(x)1(log a x)(a 0,且 a 1)xln a g(x)f(x)g(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则 2：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号 法则3：韵 f(x)g(x)f(x)g(x)2 g(x)(g(x)o)(3)下结论 f(x)0 f(x)该区间内为增函数；f(x)0 f(x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间 求函数y f(x)单调区间的步骤为：(1)分析 y f(x)

6、的定义域；(2)求导数 y f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一.(1)f(x)在该区间内单调递增 f(x)0在该区间内恒成立；(2)f(x)在该区间内单调递减 f(x)0在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子 集。注意：若函数f(乂)在(a,c)上为减函数，在(c,b)上为增函数，则x=c 两侧使函数 f(x)变号，即 x=c 为函 数的一个极值点，所以 f(c)0 一一

7、In x 例题若函数 f(x)，若 a f(3),b f(4),c f(5)则()x A.a b c B.c b a C.c a b D.b a c 六、函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数 f(x)在点X。附近有定义，且若对 X。附近的所有的点都有 f(x)f(x。)(或f(x)f(x。),则称f(Xo)为函数的一个极大(或小)值，X0为极大(或极小)值点。可导数f(x)在极值点X。处的导数为 0(即f(x。)0)，但函数f(x)在某点x0处的导数为 0，并不一定函数f(x)在 该处取得极值(如 f(x)X3在x0 0处的导数为 0,但f(x)没有极值)。求极值的步骤：第一步：求

8、导数f(x)；第二步：求方程f(X)0的所有实根；第三步：列表考察在每个根 x附近，从左到右，导数 f(x)的符号如何变化，若f(X)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；若f(X)的符号由负变正，贝y f(x0)是极小值；若f(X)的符号不变，则f(X0)不是极值，X0不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域 D 内存X0,使得对任意的x D，都有f(x)f(X0),(或f(x)f(x0)则称f(X0)为函数的最大(小)值，记作 ymax f(X0)(或ymin f(X)如果函数y f(x)在闭区间a,b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b 上必有最大值和

9、最小 值。求可导函数f(x)在闭区间a,b 上的最值方法：第一步；求f(x)在区间a,b 内的极值；第二步：比较f(x)的极值与f(a)、f(b)的大小：第三步：下结论：最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值 点、不可导点、区间的端点处取得。极值工最值。函数 f(x)在区间a,b 上的最大值为极大值和 f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a)、f(b)中最小的一个。2.函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值；极小值对应最小值)1 3、注意：极大值不一定比极

10、小值大。如 f(x)x 的极大值为 2，极小值为 2。x 注意：当 x=X0时，函数有极值 f/(xo)=0。但是，f/(x 0)=0 不能得到当 x=X0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与最值的应用 明理由.解：f(x)=eX-a.(1)若 a0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增.若 a0,e x-a0,ex a,x Ina.f(x)的单调递增区间为(Ina,+a).(2)v f(x)在 R 内单调递增，f(x)0在 R 上恒成立./ex-a0,即卩 aex在 R 上恒成立.a0,.a0,=0,3 x2,(a R,a 0)(1)求

11、 f(x)的单调区间;2 1(2)令g(x)=x4+f(x)(x R)有且仅有 3 个极值点,4 求 a 的取值范围.解：(1)f(x)ax2 x x(ax 1)当a 0时，令f(x)0解得x 1、或x 0,令f(x)0解得 a 1 a x 0,所以f(x)的递增区间为(,丄)(0,)，递减区间为 1(-,0).a a 当a 0时，同理可得 1 f(x)的递增区间为(0,丄),递减区间为(,0)(1,)1 4 a 3 x x 1 x2有且仅有 a a (2)g(x)3 个极值点 4 3 2 g(x)3 2 x ax x 2 x(x ax 1)=0 有 3 个根，则 x 0 或 x2 ax 1

12、0,a 2 方程x2 ax 1 0有两个非零实根，所以 a2 4 0,a 2 或 a 2 而当a 2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有 3 个极值点 其它例题：(一)最值问题与主元变更法的例子 已知定义在R上的函数f(x)ax3 2ax2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是 5,最小值是一 11.(I)求函数f(x)的解析式；(n)若t 1,1时，f(x)tx 0恒成立，求实数x的取值范围.解：(I)Q f(x)ax3 2ax2 b,f(x)3ax2 4ax ax(3x 4)4 令 f(x)=0,得人 0K 2,1 3 因为a 0，所以可得下表:0 +0-/极大 因此 f(0)必为最大

13、值，f(0)5因此 b 5,Qf(2)16a 5,f(1)a 5,f(1)f(2),即 f(2)16a 5 11,a 1,f(x)x3 2x2 5.2 2(n)v f(x)3x 4x,.f(x)tx 0等价于 3x 4x tx 0,令g(t)xt 3x 4x，则问题就是g(t)0在t 1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围，为此只需g(1)0，即3x2 5x 0,g(1)0 x2 x 0 解得0 x 1，所以所求实数x的取值范围是0,1.(二)根分布与线性规划例子 2 例：已知函数f(x)X3 ax2 bx c 3(I)若函数f(x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线

14、3x y 0平行，求f(x)的解析 式；(n)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在 x(1,2)取得极小值时，设点M(b 2,a 1)所在平面区域为 S,经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分，求直线 L 的方程.解：(I).由f(x)2x2 2ax b,函数f(x)在x 1时有极值,2a b 2 0 -f(0)1 c 1 1 f(0)b 3 故 a 丄 2 2 3 f(x)3x 1x2 3x 1 2 2x 2ax b 及 f(x)在 x(0,f(0)0 b 0 -f(1)0 即 2a b 2 f 0 4a b 8 a y 1 x 2 0 2y x 2 0 故点 b x

15、2 4y x 6 0 易得A(2,0),B(2,1),C(2,(n)解法 由 f(x)M所在平面区域 S 为如图 ABC,同时 DE ABC 的中位线，S DEC x b 2 0 令 M(x,y),则 0 y a 1 1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值 DO 1)E(0，2)，SABC 2 S四边形ABED 3 所求一条直线 L 的方程为：x 0 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 kx，它与 AC,BC 分别 交于 F、G,y kx 2 由 得点 F 的横坐标为：xF 2y x 2 0 2k 1 y kx 6 由 得点 G 的横坐标为：XG 4y x 6 0

16、 4k 1 则k 0,S四边形DEGF 1 二 S四边形 DEGF S OGE S OFD 1:3 的两部分，设直线 L 方程为y 1 3 6 1 2 2 4k 1 2 1 解得：k 或 2 5(舍去)故这时直线方程为：y x 8 2 1 综上，所求直线方程为：x 0或y 1 x 2.12 分(n)解法 由 f(x)2 2x 2ax b 及 f(x)在 x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值 f(0)0 f(1)0 f(2)0 b 0 即 2a b 2 0 4a b 8 0 x b 2 令 M(x,y),贝U y a 1 x 2 0 2y x 2 0 故点M所在平面区域 S 为如图

17、ABC,4y x 6 0 易得 A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,2),S ABC 所求直线方程为 若方程 f(x)=8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f(5)v 8av f(1)1 由 得 -25a+3 v 8av 7a+3 v av 3 11 1 所以当一 av 3 时，方程 f(x)=8a有三个不同的根。12 分 同时 DE ABC 的中位线,S DEC!乐边形ABED 所求一条直线L 的方程为：X 0 3 另一种情况由于直线 BO 方程为：y 1 X,设直线 BO 与 AC 交于 H,1(2)若 a-2 解：(1)f(x)，讨论曲线f(X)与g(x)X

18、2 2ax 1 1 2 5 八2a 1)X 6(2 X 1)的交点个数 a 0 2 分 令 f(x)0得x 1,或 X 1 令 f(x)0得1 X 1 f(x)的单调递增区间为(，1),(1,)，单调递减区间为(1,1).5 分(2)由题 f(X)g(x)得 1x3 ax2 x 1 2 1-x2(2 a 1)x 5 3 2 6 X1,X X2处取得极值，且 収1 X2I 2，求a的值及f(x)的单调区间;由丫 2y 1-x 2 x 2 得直线 L 与 AC 交点为：H(1,丄)2-S ABC S DEC S ABH A 0 k./X O2 1 0(0,-1)-1 2 2 2 (三)根的个数问题

19、 例已知函数f(x)ax3 bx2(c(I)(n)的解析式；(川)解：由题知：由图可知 3a 2b)x 求c、d的值；若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x d(a 0)的图象如图所示。y 11 0,求函数 f(x)若x 5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。f(x)3ax2 2bx+c-3a-2b 函数 f(x)的图像过点(0,3)，且f 1=0 3 d 得 3a 依题意 2b c 3a 2b 0 f 2=-3 且 f(2)=5(出)12a 4b 3a 2b 8a 4b 6a 所以 f(x)=x3 依题意 f x=3ax2+2bx-3a-2b 3 解得

20、 a=1,b=-6 5 4b 3 6x2+9x+3 f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a 0)由 f 5=0 b=-9a 11(四)根的个数问题 1 3 例：已知函数f(x)-X3 3(1)若函数f(x)在X 2 ax x 1(a R)S ABO S Ai i 1 3 1 2 1 即 3x(a 2)x 2ax 6 0 1 3 1 2 1 八 令(x)_x(a _)x 2ax-(2 x 1).6 分 3 2 6 令(x)0得x 2a或x 1.7 分 +一 2 1 Q a(3 2a)0,3 6 当 8a 9 0即 1 a 时有 一个交占.八、y 2 16 当8a 9 0,且 a 0即 9 a 0时，有两个交点;2 16 当0 a 1 时，8a 9 0,有 个交占 .1 八、2 2 综上可知，当a 9 或0 a 时，有-个交点；1 2 当 a 0时，有两个交点.9_ 13 分 14 分 16(五)简单切线问题 x3 2图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 a g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式；g(x)在区间1,1上为增函数，且b2 mb 已知函数f(x)g(x)f(x)3bx 2 3.a(I)若函数(n)若函数 4 g(x)在区间1,1上都成立，求实数 m的取值范围.此时,8a 9 0,a 0，有一个交点;2 当2a 2即a 1时 9 分 2