椭圆经典结论中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

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1、 结论 1：椭圆焦点三角形周长：122PFF=2a2,=4acMNFVV周长周长；例题：（1）椭圆22131xy，点 A,B 经过椭圆左焦点，2ABF的周长。解：2AB=4a=4 3FV周长。（2）过椭圆221259xy左焦点作直线与椭圆交于 AB，若22AF+BF=12AB，求的值。解：2AB=4a=12+ABAB=8FV周长。结论 2：焦点三角形离心率：121222F FceaPFPF；1 22 1cos2=PFF=PF Fcos2e （，）；例题：（1）过椭圆22221xyab左焦点作 x 轴的垂线与椭圆交于 P，若1260F PFo，求离心率。解：1212233233F FcteaPF

2、PFt。（2）过椭圆22112mxy右焦点2F作 x 轴的垂线与椭圆交于 A,B，若1ABF为正三角形，求椭圆方程。解：3090coscos112-m22=8309032 3coscos22em oooo。（3）已知正方形 ABCD，求以 A，B为焦点且过 C，D的椭圆的离心率。解：121222122F FcteaPFPFtt。（4）在三角形 ABC中，AB=BC，7cos18B ，求以 A,B 为焦点，且过 C的椭圆的离心率。解：21221225523593283F FttctACACetaPFPFt 。（5）设222221Fxyab以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M，

3、若1FM与圆相切，求 e.解：121222c3123F FceaPFPFcc。结论 3：焦点三角形之夹角：1 22PFF12S=b tan,sin1=FPF22e，；例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P为椭圆上点且12120F PFo，求离心率取值范围。解：3sin1,122ee，。结论 4：中点弦斜率：则2222220022222200 xx11axxybyakkabaybby ；例题：(1)已知椭圆2222x1ayb的焦点F050（，）被直线 y=3x-2 截得弦中点横坐标为12，求椭圆方程。解：22222111a2-c503-112275252yxkb 中点（，），。(2)已知椭

4、圆 22x143y，确定 m取值范围，使得对于直线 y=4x+m，椭圆上总有不同两点关于该直线对称。解：00000013ABx-344xkyxy 设中点（，y）,，22m92 132 13-m-3m1431313mm 中点（，）在椭圆内。结论 5：椭圆上任意不与 x 轴垂直弦 AB中点 M，O为原点，则22ABOM2kk=e1ba g；例题：(1)过点 M（1,1）作斜率为1-2的直线与椭圆2222x1yab交于 A,B 两点，且 M为 AB中点，求离心率。解：2ABOM2112k=1,K=-kk222OMABbea Qg。（2）过椭圆2222x1yab的右焦点直线x30y 交椭圆于 A,B

5、两点，且 p 为 AB中点，OP斜率为12，求椭圆方程。解：222PABOM211k=-1,K=kkF3 0a6,312263OABbxyba QgQ（，）。（3）椭圆22221xyab的右焦点 F(3,0),过 F作直线交椭圆于 A，B两点，若中点 M(1,-1),求椭圆方程。解：222222119k1-11=3 2,3122a189ABOMxykeeeab （）。的值解周长结论焦点三角形离心率例题过椭圆左焦点作轴的垂线与椭圆交于若求离心率解过椭圆右焦点作轴的垂线与椭圆交于若为正三角形求椭圆方程解已知正方形求以为焦点且过的椭圆的离心率解在三角形中求以为焦点且过的椭例题已知椭圆的两焦点为椭圆上

6、点且求离心率取值范围解结论中点弦斜率则例题已知椭圆的焦点被直线截得弦中点横坐标为求椭圆方程解中点已知椭圆确定取值范围使得对于直线椭圆上总有不同两点关于该直线对称解设中点中点在过椭圆的右焦点直线交椭圆于两点且为中点斜率为求椭圆方程解椭圆的右焦点过作直线交椭圆于两点若中点求椭圆方程解结论椭圆上两关于原点对称点为任意点为则例题已知椭圆的离心率过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点且斜 结论 6：椭圆上两关于原点对称点为 A，B，任意点为 P，则222kk=e1PAPBba g；例题：(1)已知椭圆2222x1yab的离心率 e=63,过椭圆上一点 M作直线 MA，MB分别交椭圆于 A,B 两点，且斜率分

7、别为12k,k，若 A，B关于原点对称，求12k kg的值。解：222212221k k=-1a3bacea g。(2)已知椭圆22x143y的左右顶点分别为 A，B，点 P在椭圆上，且 PA斜率取值范围：-2-1，,直线 PB的斜率取值范围。解：212233 3k kk2,1=-,48 4bka gg。结论 7：焦点弦：设通径长为 H，则222222222222H2abH2abAB=(xAB=(cossin1-e cos1-e sinacac焦点在 轴）；焦点在y轴）；例题：(1)已知斜率为 1 的直线过椭圆22x14y焦点交椭圆于 A，B两点，求AB。解：2222H82AB=351-e s

8、in1-sin 454o；(2)已知过椭圆 221x1F32y的左焦点的直线叫椭圆于 B，D 两点，过2F右焦点的直线交椭圆于 A，C 两点，且ACBD,垂足为 P，求四边形 ABCD 的面积最小值。解：ABCD2224411969633S=min112224sin 2251-cos1-sin33ABDBCDSSBDAC.结论 8：焦半径：则2222bbbbAF=AF=(xBFBF(cos+cossin+sinaca caca c；焦点在 轴）；焦点在y轴）；例题：已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆2222x1yab左焦点1F交椭圆于 A，B两点，其中22AFABBF，成等差数列，求椭圆离心率

9、。的值解周长结论焦点三角形离心率例题过椭圆左焦点作轴的垂线与椭圆交于若求离心率解过椭圆右焦点作轴的垂线与椭圆交于若为正三角形求椭圆方程解已知正方形求以为焦点且过的椭圆的离心率解在三角形中求以为焦点且过的椭例题已知椭圆的两焦点为椭圆上点且求离心率取值范围解结论中点弦斜率则例题已知椭圆的焦点被直线截得弦中点横坐标为求椭圆方程解中点已知椭圆确定取值范围使得对于直线椭圆上总有不同两点关于该直线对称解设中点中点在过椭圆的右焦点直线交椭圆于两点且为中点斜率为求椭圆方程解椭圆的右焦点过作直线交椭圆于两点若中点求椭圆方程解结论椭圆上两关于原点对称点为任意点为则例题已知椭圆的离心率过椭圆上一点作直线分别交椭圆于

10、两点且斜解：22222222AF+BF=2 AB422ABAF+BF+AB=4a32cos4aabeac。结论 9：焦半径之比：2111ek（焦点在 x 轴）；2111)k1e（焦点在 y 轴）;例题：(1)连接椭圆22221xyab右焦点 F和短轴端点 A交椭圆于另点 B,且2AFFBuuu ruuu r，求离心率。解：22111 2 1311112 13bekece 。(2)已知22221xyba的离心率22e，直线 l:y=kx+1 过上焦点 F与椭圆交于 A，B两点,若 A到 y 轴距离是点 B到y 轴距离的 2 倍，求 k。解：221112 12141)1)kk1k2 127e（。结

11、论 10：焦半径之比求离心率取值范围：111e椭圆：，；例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P为椭圆上点且123PPFFuuu ruuu r，求离心率取值范围。解：111112ee，。结论 11：仿射变换求斜率：222222x1PAPBybk kaba 椭圆：；例题：（1）已知 P是椭圆22221axyb上一点，且 A，B为椭圆左右顶点，求 PA，PB两直线斜率之积。解：222222xa+y1,1PAPBPAPBPAPBxabxk kk kk kybayb 。（2）已知 P是椭圆22143xy上一点，且 A，B为椭圆左右顶点，且 PB斜率取值范围为【-2，-1】，求 PA斜率取值范围。解

12、：333-2 k1k484PAPBPBPAk k Q，。的值解周长结论焦点三角形离心率例题过椭圆左焦点作轴的垂线与椭圆交于若求离心率解过椭圆右焦点作轴的垂线与椭圆交于若为正三角形求椭圆方程解已知正方形求以为焦点且过的椭圆的离心率解在三角形中求以为焦点且过的椭例题已知椭圆的两焦点为椭圆上点且求离心率取值范围解结论中点弦斜率则例题已知椭圆的焦点被直线截得弦中点横坐标为求椭圆方程解中点已知椭圆确定取值范围使得对于直线椭圆上总有不同两点关于该直线对称解设中点中点在过椭圆的右焦点直线交椭圆于两点且为中点斜率为求椭圆方程解椭圆的右焦点过作直线交椭圆于两点若中点求椭圆方程解结论椭圆上两关于原点对称点为任意点

13、为则例题已知椭圆的离心率过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点且斜 结论 12：仿射变换求面积：2222x1ySabSab 椭圆：；例题：（1）已知椭圆22y14x，且 A（2,0），B（0,1），直线 y=kx(k0)与 AB相交于 D，于椭圆相交于 EF，求四边形 AEBF面积最大值。解：22maxmaxx1+y1,222(EFS2 12=2 222xxSAByy ）。（2）已知椭圆22y143x，且四边形 EFGH 四个顶点都在椭圆上，且 EG，FH过原点，若3k4EGFHk g，求证：四边形 EFGH 面积为定值。解：22121212121212x33332+y1,1,y44223xyyy

14、yyyxxxxxxxy Q则对角线垂直，1S2 2=2S=232=4 32 。结论 13：直线与椭圆位置关系：222222222222222c(c(c(A aB bA aB bA aB b相切）；相离）；相交）；例题：（1）求直线 y=2x+1 与椭圆22y1416x的位置关系_。解：14 4 1 16 ，则相交。（2）求直线 x+y-3=0 与椭圆22y14x的位置关系_。解：94 1 1 1，则相离。的值解周长结论焦点三角形离心率例题过椭圆左焦点作轴的垂线与椭圆交于若求离心率解过椭圆右焦点作轴的垂线与椭圆交于若为正三角形求椭圆方程解已知正方形求以为焦点且过的椭圆的离心率解在三角形中求以为焦点且过的椭例题已知椭圆的两焦点为椭圆上点且求离心率取值范围解结论中点弦斜率则例题已知椭圆的焦点被直线截得弦中点横坐标为求椭圆方程解中点已知椭圆确定取值范围使得对于直线椭圆上总有不同两点关于该直线对称解设中点中点在过椭圆的右焦点直线交椭圆于两点且为中点斜率为求椭圆方程解椭圆的右焦点过作直线交椭圆于两点若中点求椭圆方程解结论椭圆上两关于原点对称点为任意点为则例题已知椭圆的离心率过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点且斜