基本均值不等式不等式知识点基础练习中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 学生姓名：任课教师：试卷审查教师：测试科目：涉及章节：教师评语：不等是知识点 知 识 梳理 1.基本形式:,a bR,则222abab;0,0ab,则2abab,当且仅当ab时等号成立.2 求最值:当ab为定值时,22,a bab有最小值;当a b或22ab为定值时,ab有最大值(0,0ab).3.拓展：若0,0ab时,2221122abababab,当且仅当ab时等号成立.重 难 点 突 破 1.重点：理解基本不等式2abab等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.难点：利用基本不等式2abab求最大值、最小值 3.重难点：

2、正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解(1)灵活运用基本不等式处理不等关系 问题 1.已知正数 x、y 满足 x+2y=1，求x1+y1的最小值.点拨：x、y 为正数，且 x+2y=1，日期：2012-时间：学习必备 欢迎下载 x1+y1=（x+2y）（x1+y1）=3+xy2+yx3+22，当且仅当xy2=yx，即当 x=21，y=122时等号成立.x1+y1的最小值为 3+22.（2）注意取等号的条件 问题 2.已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z=11()()xyxy的最小值为 。点拨：错解 1、因为对 a0,恒有12aa,从而 z=11(

3、)()xyxy4,所以 z 的最小值是 4。错解 2、222222()22x yxyzxyxyxyxyxy 22(21)，所以 z 的最小值是2(21)。错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1xyxyxyxy 且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xyxyxy即，与104xy相矛盾。解析：z=11()()xyxy=1yxxyxyxy=21()222xyxyxyxyxyxyxy，令 t=xy,则210()24xytxy，由2()f ttt 在10,4上单调递减,故当 t=14时 2()f ttt 有最小值334,所以当12xy 时 z 有最小值254。热 点 考 点 题 型 探 析 考

4、点 1 利用基本不等式求最值(或取值范围)题型 1.当积ab为定值时,求和ab最小值 学习必备 欢迎下载 例 1.已知0,0 xy且满足281xy,求xy的最小值.例 2.已知 x0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 例 3.若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是_ 考点 2 利用基本不等式证明 题型：用综合法证明简单的不等式 例 4 已知,a b cR,求证:222abcabbcca.学习必备 欢迎下载 强化训练 1.若1x，则x=_时,11xx有最小值，最小值为_.2.(2010 华附)已知,*41x yRxy,且,则11

5、xy的最小值为 3.已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大 1，求这三角形面积的最小值 4.已知 a，b 为正数，求证：abbaba 5.设 x0,y0 且 xy,求证21223133yxyx 6.已知函数12()f xax ，若02 xxf)(在（0，+）上恒成立，求a的取值范围。7.(2010 梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产x千件,需另投入成本为()C x.当年产 量 不 足80千 件 时,21()103C xxx(万 元);当 年 产 量 不 小 于80千 件时,10000()511450C xxx(万元).每件商品

6、售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?学习必备 欢迎下载 参考答案 例 1【解题思路】利用281xy，构造均值不等式 解析：2828()1()()28yxxyxyxyxyxy ,0,0 xy,280,0yxxy 102 1618xy,当且仅当28yxxy时等号成立,即224yx,2yx,又281xy,6,12xy 当6,12xy时,xy有最小值 18.例 2解析x0，y0，3x+4y=12，yxxy4312132431212 yx，lgx+lgy=

7、lgxy lg3 由yxyxyx4312430,0 解得 232yx 当 x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值 lg3 例 3解法一 由 a、bR+，由重要不等式得 a+b2ab，则 ab=a+b+32ab+3，即32abab)1)(3(0ababab03，ab9 解法二 a、b 为正数，ab=a+b+3333ab0，两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原条件式变为 ab-3=a+b，a、b 均为正数，故式两边都为正数，两边平方得 a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，a2+b22ab，a2b2-6ab+94ab，即 a2b2-10ab+90，(ab

8、-1)(ab-9)0，由式可知 ab3，ab9 解法四 把 a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为 x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab 0，学习必备 欢迎下载 即(ab)2-10ab+90，(ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立，ab9 例 4【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 2222222,2,2abab bcbc acac,相加整理得222abcabbcca.当且仅当abc 时等号成立.强化训练 1.若1x，则x=_时,11xx有最小值，最小值为_.解析:1x,01x,011x,11xx=1111xx12(1)11xx

9、 2 1 1 ，当且仅当111xx即0 x时1)11(minxx.2.(2010 华附)已知,*41x yRxy,且,则11xy的最小值为 解析:9454411*,yxxyyyxxyxyxRyx，当且仅当61,31 yx时取等号.3.已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大 1，求这三角形面积的最小值 解析：设直线l的方程1byax（a0，b0），则121baab，a+b2ab，ab2112ab，即24)(2abab0，解得ab62，ab212)62(21，当 a=b=2+6时，三角形面积的最小值为 5+26 4 解析 1：a0，b0，bbaabba2

10、2，aabbaab22，两式相加，得 aabbbaba22，abbaba 学习必备 欢迎下载 解析 2.abbbaababaabba)(abba2 2)(ba abbaba 5证明：由 x0,y0 且 xy,要证明21223133yxyx 只需322233yxyx 即22223332yxyxyx 只需222yxxy 6 解析：因为02 xxf)(在（0，+）上恒成立，即0221xxa )(xxa121 )(xx12的最小值为 4 41a 解得410aa或 7解析:(1)当080 x 时,2211()0.05 1000102504025033L xxxxxx 当80 x 时,1000010000()0.05 10005114502501200()L xxxxxx 2140250,0803()100001200(),80 xxxL xxxx (2)当080 x 时,21()(60)9503L xx,此时,当60 x 时,()L x取得最大值(60)950L(万元);当80 x 时,1000010000()1200()1200212002001000L xxxxx 此时,当10000 xx时,即100 x 时,()L x取得最大值 1000 万元.所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元.学习必备 欢迎下载