锐角三角函数 投影与视图复习导学案中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第二十八章 锐角三角函数复习学案 一、锐角三角函数的概念 （38分）1、如图，在ABC中，C=90 锐角 A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为 sinA（或者 sin A,sin BAC），即casin斜边的对边AA 锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA 锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA 锐角 A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为 cotA，即abcot的对边的邻边AAA 2、锐角三角函数的概念 锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数 对于锐角 A 的每一个确定的值，si

2、nA 有唯一确定的值与它 对应，所以 sinA 是 A 的函数同样地，cosA，tanA 也是 A 的函数（1）、如图，在 RtABC中，ACB 90，CD AB于点 D。已知 AC=5，BC=2，那么 sin ACD（）A53 B23 C2 55 D52（2）、如图，已知 AB是O的直径，点 C、D在O上，且 AB 5，BC 3则 sin BAC=；sin ADC=二、各锐角三角函数之间的关系（可通过线段比值来证明）（1）互余关系 一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值 sinA=cosB=cos(90 A)，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值 cosA=sinB=sin(90 A),一个锐角的

3、正切值等于它余角的余切值 tanA=cotB=cot(90 A)，一个锐角的余切值等于它余角的正切值 cotA=tanB=tan(90 A)（2）平方关系 同一个锐角的正弦与余弦的平方和等于 1 1cossin22AA（3）倒数关系 同一个锐角的正切与余切之积为 1，即 tanAcotA=1（4）弦切关系 tanA=AAcossin cotA=AAsincos 5、锐角三角函数的增减性 当角度在 0 90 之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）,0Asin1（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）,0Acos1（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或

4、减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）三、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 21 22 23 1 cos 1 23 22 21 0 tan 0 33 1 3 不存在 cot 不存在 3 1 33 0 求下列各式的值 （1）sin30cos45+cos60;（2）2sin60-2cos30sin45 （3）2cos602sin302;（4）sin 45cos3032cos 60-sin60（1-sin30）（5）tan45sin60-4sin30cos45+6tan30 ABCD E O A B C D 学习必备 欢迎下载 四、解直角三

5、角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据 在 RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：baBabBcaBcbBabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin 3、仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角 例：如图，

6、一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处.这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？4、坡度与坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用 i 表示。即，常写成 i=1：m 的形式如 i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角叫做坡角 结合图形思考，坡度 i 与坡角之间具有什么关系？例：同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图 6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高 23m，斜坡 AB 的坡度 i=13，斜坡 CD

7、 的坡度 i=12.5，求斜坡 AB 的坡面角，坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1m)例 3如图 5，某防洪指挥部发现长江边一处长 500 米，高 I0 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤(横断面为梯形 ABCD)急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固。并使上底加宽 3 米，加固后背水坡 EF的坡比 i=1：3。(1)求加固后坝底增加的宽度 AF；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)课后练习 一判断下列说法是否正确 i 对于任意锐角，都有 0sin 1 和 0cos 1 （）ii 对于任意锐角1，2，如果12，那么 co

8、s 1cos 2 （）iii 如果 sin 1sin 2，那么锐角1锐角2I （）iv 如果 cos 1cos 2，那么锐角1锐角2 （）二选择 1.在 RtABC中，下列式子中不一定成立的是_ AsinAsinB BcosAsinB C sinAcosB D sin(A+B)sinC 2.在390,sin.cos,sintan5ABCCAABA 中,求和的值 A0A30 B30A45 ABCDEF450图51:3i 即的对边斜边锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记为即的邻边斜边锐角的对边与邻边的比叫做的正切记为即的对边的邻边锐角的邻边与对边的比叫做的余切记为即的邻边的对边锐角三角函数的概念锐角的

9、正弦余弦正切余切都叫做的已知那么如图已知是的直径点在上且则二各锐角三角函数之间的关系可通过线段比值来证明学习必备欢迎下载同一个锐角的正切与余切之积为即弦切关系锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增的增大或减小而减小或增大三一些特殊角的三角函数值三角函数不存在求下列各式的值不存在互余关系一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值一个锐角的正切值等于它余角的余切值一个锐角的学习必备 欢迎下载 FOEADBCC45A60 D60A90 5RtABC 中，C=90，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 c=3b，则 cosA=6ABC 中，C

10、=90，若 BC=4，sinA=32,则 AC 的长是 7在 RtABC 中，C=90，已知 tanB=25,那么 cosA 的值是 8某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y=kx+b（k0）的图像过点 P（1，1），与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且3tan ABO,那么点 A 的坐标是 10 如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反N弹到边AB上的P点.如果MCn，CMN.那么P点与B点的距离为 11 如果方程2

11、430 xx 的两个根分别是 RtABC 的两条边，ABC 最小的角为 A，那么 tanA的值为 随堂演练：1如图，已知 RtABC 中，斜边 BC 上的高 AD=4，cosB=54，则AC=_ 2将半径为 10cm，弧长为 12的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是 3如图，RtABC 中，C90，D 是 BC 上一点，DAC=30，BD2，AB23；则 AC 的长是 4如图，ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，DEBC，垂足是 E，若 AD2DC，AB4DE，则 sinB 等于 5如图，AB 是伸缩性遮阳棚，CD 是窗户，要想夏至正午时的阳光刚好不

12、能射入窗户，则 AB的长度是 （假如夏至正午时的阳光与地平面的夹角是 600）6 如图，将矩形纸片ABCD(ADDC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E,折痕交AB边交于点F.若1BE，2EC，则sinEDC_;若:BE ECm n，则:AF FB=_(用含有m、n的代数式表示)7如图，ABC 中，B=30，C=45，ABAC=22，求 BC 的长。8.如图，BD为O的直径，点 A是弧 BC的中点，AD交 BC于 E点，AE=2，ED=4.（1）求证:ABEABD；(2)求tanADB的值；（3）延长 BC至 F，连接 FD，使BDF的面积等于8 3，求EDF的度数.AB

13、CD M A B C D C A B D 阳光 1 米 2 米 CBA即的对边斜边锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记为即的邻边斜边锐角的对边与邻边的比叫做的正切记为即的对边的邻边锐角的邻边与对边的比叫做的余切记为即的邻边的对边锐角三角函数的概念锐角的正弦余弦正切余切都叫做的已知那么如图已知是的直径点在上且则二各锐角三角函数之间的关系可通过线段比值来证明学习必备欢迎下载同一个锐角的正切与余切之积为即弦切关系锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增的增大或减小而减小或增大三一些特殊角的三角函数值三角函数不存在求下列各式的值不存在互余关系一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一

14、个锐角的余弦值等于它余角的正弦值一个锐角的正切值等于它余角的余切值一个锐角的学习必备 欢迎下载 9南平是海峡西岸经济区的绿色腹地.如图所示，我市的 A、B 两地相距 20km，B 在 A 的北偏东 45方向上，一森林保护中心 P 在 A的北偏东 30和 B的正西方向上.现计划修建的一条高速铁路将经过 AB（线段），已知森林保护区的范围在以点 P 为圆心，半径为 4km的圆形区域内.请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？10.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 45改为 30.已知原传送带 AB长为 4 米.（1）求新传送带

15、AC的长度；（2）如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断距离 B 点 4 米的货物 MNQP是否需要挪走，并说明理由(说明：的计算结果精确到 0.1 米，参考数据：21.41，31.73，52.24，62.45)11如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为 30，然后他正对大楼方向前进 5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为 45若该楼高为 26.65m，小杨的眼睛离地面 1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐求广告屏幕上端与下端之间的距离（3 1.732，结果精确到 0.1m）12 已知：如图，小明准备测量学校旗杆 AB

16、的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆 AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长 BC20m，斜坡坡面上的影长CD8m，太阳光线 AD 与水平地面成 26角，斜坡 CD 与水平地面所成的锐角为 30，求旗杆 AB的高度(精确到 1m)A B P 北 北 A B C D E 即的对边斜边锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记为即的邻边斜边锐角的对边与邻边的比叫做的正切记为即的对边的邻边锐角的邻边与对边的比叫做的余切记为即的邻边的对边锐角三角函数的概念锐角的正弦余弦正切余切都叫做的已知那么如图已知是的直径点在上且则二各锐角三角函数之间的关系可通过线段比值来证明学习必备欢迎下载同一个

17、锐角的正切与余切之积为即弦切关系锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增的增大或减小而减小或增大三一些特殊角的三角函数值三角函数不存在求下列各式的值不存在互余关系一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值一个锐角的正切值等于它余角的余切值一个锐角的学习必备 欢迎下载 第二十九章 投影与视图复习学案 课题：29.1 投影 一、教学目标：1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；2、了角平行投影和中心投影的区别。3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。二、教学重、难点 教学重点：理解平行投影和中心投影

18、的特征；教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.探究平行投影和中心投影和性质和区别 4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？平行投影与中心投影的区别与联系 区 别 联系 光

19、 线 物体与投影面平行时的投影 平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换)形成的影子。(即都是投影)下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。（二）合作学习，探究新知 1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段 AB)放在三个不同位置:(1)铁丝平行于投影面;(2)铁丝倾斜于投影面，(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状 通过

20、观察，我们可以发现;(1)当线段 AB 平行于投影面 P时，它的正投影是线段 A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB =A1B1 (2)当线段 AB 倾斜于投影面 P时，它的正投影是线段 A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB A2B2(3)当线段 AB 垂直于投影面 P时，它的正投影是一个点 A3 2、如图，把一块正方形硬纸板 P(例如正方形 ABCD)放在三个不同位置:(1)纸板平行于投影面;(2)纸板倾斜于投影面;(3)纸板垂直于投影面 结论(1)当纸板 P平行于投影面 Q 时.P的正投影与 P的形状、大小一样;(2)当纸板 P倾斜于投影面 Q 时.P的正投影与 P的形状、大小发生变

21、化;(3)当纸板 P垂直于投影面 Q 时.P的正投影成为一条线段.即的对边斜边锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记为即的邻边斜边锐角的对边与邻边的比叫做的正切记为即的对边的邻边锐角的邻边与对边的比叫做的余切记为即的邻边的对边锐角三角函数的概念锐角的正弦余弦正切余切都叫做的已知那么如图已知是的直径点在上且则二各锐角三角函数之间的关系可通过线段比值来证明学习必备欢迎下载同一个锐角的正切与余切之积为即弦切关系锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增的增大或减小而减小或增大三一些特殊角的三角函数值三角函数不存在求下列各式的值不存在互余关系一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一个锐

22、角的余弦值等于它余角的正弦值一个锐角的正切值等于它余角的余切值一个锐角的学习必备 欢迎下载 张丽C王明李杰钱勇AB当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.例 1、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。例、如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。（）确定光源的位置；（）在图中画出表示 电线杆高度的线段。课题 29.2 三视图 如图(1)，我们用三个互相垂直的平面 作为投影面，其中正对着我们的叫做正 面，正面下方的叫做水平面，右边的叫 做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三 个

23、投影面内同时进行正投影，在正面内 得到的由前向后观察物体的视图，叫做 主视图，在水平面内得到的由上向下观 察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得 到由左向右观察物体的视图，叫做左视 图.如图(2)，将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯视图和左视图组成).三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示 同一物体的高.左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大 小是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正确的位置.并且使 主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐

24、.左视图与俯视图的宽相等。通过以上的学习，你有什么发现？物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图，看得见的画实线，看不见的画虚线。例 1 画出下图 2 所示的一些基本几何体的三视图.分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:1.确定主视图的位置，画出主视图;2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.解：2、你能画出下图 1 中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图 2),他画

25、的对吗 请你判断一下.电线杆小李小王即的对边斜边锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记为即的邻边斜边锐角的对边与邻边的比叫做的正切记为即的对边的邻边锐角的邻边与对边的比叫做的余切记为即的邻边的对边锐角三角函数的概念锐角的正弦余弦正切余切都叫做的已知那么如图已知是的直径点在上且则二各锐角三角函数之间的关系可通过线段比值来证明学习必备欢迎下载同一个锐角的正切与余切之积为即弦切关系锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增的增大或减小而减小或增大三一些特殊角的三角函数值三角函数不存在求下列各式的值不存在互余关系一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值一

26、个锐角的正切值等于它余角的余切值一个锐角的学习必备 欢迎下载 3、做一做：画出下列几何体的三视图 4、下面的三视图说出立体图形的名称.5、如图放置的一个水管三叉接头，若其正视图如图，则其俯视图是（）6、如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 7、右图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 A5 B6 C7 D8 8、画出实物图(如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱)的三视图 9、某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制

27、作每个密封罐所需钢板的面积.分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.10、如图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。11 根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的？共有几层？一共需要多少个小正方体。四、小结 1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。左视图 主视图 俯视图 即的对边斜边锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记为即的邻边斜边锐

28、角的对边与邻边的比叫做的正切记为即的对边的邻边锐角的邻边与对边的比叫做的余切记为即的邻边的对边锐角三角函数的概念锐角的正弦余弦正切余切都叫做的已知那么如图已知是的直径点在上且则二各锐角三角函数之间的关系可通过线段比值来证明学习必备欢迎下载同一个锐角的正切与余切之积为即弦切关系锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增的增大或减小而减小或增大三一些特殊角的三角函数值三角函数不存在求下列各式的值不存在互余关系一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值一个锐角的正切值等于它余角的余切值一个锐角的学习必备 欢迎下载 2、在画三视图时，三个三视图不要随

29、意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。3、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。4、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。5、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。即的对边斜边锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记为即的邻边斜边锐角的对边与邻边的比叫做的正切记为即的对边的邻边锐角的邻边与对边的比叫做的余切记为即的邻边的对边锐角三角函数的概念锐角的正弦余弦正切余切都叫做的已知那么如图已知是的直径点在上且则二各锐角三角函数之间的关系可通过线段比值来证明学习必备欢迎下载同一个锐角的正切与余切之积为即弦切关系锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增的增大或减小而减小或增大三一些特殊角的三角函数值三角函数不存在求下列各式的值不存在互余关系一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值一个锐角的正切值等于它余角的余切值一个锐角的