教学案例杨辉三角与二项式系数性质标准高等教育理学_高等教育-理学.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 1.3.2 二项式系数的性质(第一课时)学校：新塘中学 班级：高二 A8 班 教师：段建辉 教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.掌握“赋值法”，并会简单应用（二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.2.了解中国古代数学成就及地位 教学重点：二项式系数的性质 教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解.教学方法:发现法 授课类型：新授 教学情境设计：一、复习回顾 1二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC bnN ，（2

2、）1(1)1nrrnnnxC xC xx .2二项展开式的通项公式：1rn rrrnTC ab 二、引入 通项公式中的rnC，我们称其为二项式系数.当n依次取 1，2，3时，nba)(二项式系数，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 学习必备 欢迎下载 表 1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了 500 年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律.【注意】1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 2）既要注意横向观察，也

3、要注意纵向观察，横向观察是重点 3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 每行两端都是 1 除 1 以外的每 1 个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）【提示】设这一数为 Crn 1,其肩上的数则为 C1rn和 Crn，由组合数知识可知：1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55CCrn 1=C1rn+Crn 系数的性质对称性增减性与最大值各二项式系数的和掌握赋值法并会简单应用二情感与价值观树立由一般到特殊及特殊到一般的意识了解中国古代数学成就及地位教学重点二项式系数的性

4、质教学难点二项式系数的最大值的理解与二展开式的通项公式二引入通项公式中的我们称其为二项式系数当依次取时二项式系数如下表所示学习必备欢迎下载表此表叫二项式系数表早在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现了又叫杨辉三角国外最早发现是在欧洲叫的方法寻找表中的规律注意不要孤立的看规律应该体现在联系之中既要注意横向观察也要注意纵向观察横向观察是重点可以结合函数图象或图表来研究也可以和集合作联系二项式系数表的规律每行两端都是除以外的每个数都等于它学习必备 欢迎下载 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 nba)(展开式的二项式系数依次是：Cn0,Cn1Cn

5、rCnn.从函数角度看，rnC可看成是以r为自变量的函数)(rfy 其定义域是：0,1,2n 当 n=5 及 n=6 时，分别作出其图象 图 1 图 2 据图可分析出函数rnCrf)(，图象的对称轴是2nr 3、二项式系数的性质 据图 1,2 和表 1 可得出二项式系数的性质【1】对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mn mnnCC）直线2nr 是图象的对称轴 系数的性质对称性增减性与最大值各二项式系数的和掌握赋值法并会简单应用二情感与价值观树立由一般到特殊及特殊到一般的意识了解中国古代数学成就及地位教学重点二项式系数的性质教学难点二项式系数的最大值的理解与二展开式的通项公式二引

6、入通项公式中的我们称其为二项式系数当依次取时二项式系数如下表所示学习必备欢迎下载表此表叫二项式系数表早在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现了又叫杨辉三角国外最早发现是在欧洲叫的方法寻找表中的规律注意不要孤立的看规律应该体现在联系之中既要注意横向观察也要注意纵向观察横向观察是重点可以结合函数图象或图表来研究也可以和集合作联系二项式系数表的规律每行两端都是除以外的每个数都等于它学习必备 欢迎下载 典型问题 e.g1.已知515C=a，915C=b，那么1016C=_；【2】增减性与最大值 1(1)(2)(1)1!kknnn nnnknkCCkk ，knC相对于1knC的增减情况由1nkk

7、决定，1112nknkk ，.当21nk时，二项式系数逐渐增大 当21nk时，二项式系数逐渐增大 根据对称性可知，在中间取得最大值；.当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值 典型问题 e.g 2在9)(ba 的展开式中，二项式的系数最大是第_项，最大值为_ e.g 3.若nba)(的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则_n e.g 4nxx)1(23展开式中的第 6 项的系数最大，则不含x的项等于()A.210 B.120 C.461 D.416 【3】各二项式系数和赋值法 1(1)1nrrnnnxC xC xx，令1x，则0

8、122nrnnnnnnCCCCC 组合数公式 典型问题 e.g 5.111C+311C+1111C=_ e.g 6.11211101210nnnnnnnnnnCCCCCCCC_；系数的性质对称性增减性与最大值各二项式系数的和掌握赋值法并会简单应用二情感与价值观树立由一般到特殊及特殊到一般的意识了解中国古代数学成就及地位教学重点二项式系数的性质教学难点二项式系数的最大值的理解与二展开式的通项公式二引入通项公式中的我们称其为二项式系数当依次取时二项式系数如下表所示学习必备欢迎下载表此表叫二项式系数表早在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现了又叫杨辉三角国外最早发现是在欧洲叫的方法寻找表中的规

9、律注意不要孤立的看规律应该体现在联系之中既要注意横向观察也要注意纵向观察横向观察是重点可以结合函数图象或图表来研究也可以和集合作联系二项式系数表的规律每行两端都是除以外的每个数都等于它学习必备 欢迎下载 四、经典例题 例 1 在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC bnN中，令1,1ab，则0123(1 1)(1)nnnnnnnnCCCCC，即02130()()nnnnCCCC，0213nnnnCCCC，即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的

10、和 说明：由性质（3）及例 1 知021312nnnnnCCCC.五、拓展训练 1.已知7270127(12)xaa xa xa x 求：（1）127aaa；（2）1357aaaa ；2.若nxx)21(4展开式中前三项系数成等差数列 求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。六、小结 通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：系数的性质对称性增减性与最大值各二项式系数的和掌握赋值法并会简单应用二情感与价值观树立由一般到特殊及特殊到一般的意识了解中国古代数学成就及地位教学重点二项式系数的性质教学难点二项式系数的最大值的理解与二展开式的通项公式二

11、引入通项公式中的我们称其为二项式系数当依次取时二项式系数如下表所示学习必备欢迎下载表此表叫二项式系数表早在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现了又叫杨辉三角国外最早发现是在欧洲叫的方法寻找表中的规律注意不要孤立的看规律应该体现在联系之中既要注意横向观察也要注意纵向观察横向观察是重点可以结合函数图象或图表来研究也可以和集合作联系二项式系数表的规律每行两端都是除以外的每个数都等于它学习必备 欢迎下载 即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和.注意灵活利用.数学思想：函数思想（a 单调性；b 图象；c 最值）数学方法：赋值法、递推法、七、讨论 1.中国古代数学的成就和地位 2.东西方数学发展

12、比较 3.历史人物1.杨辉 2.帕斯卡 4.中国当代数学大师及其成就 八、课后作业：完成课时作业九.1.3.2 杨辉三角 九、教学反思 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.系数的性质对称性增减性与最大值各二项式系数的和掌握赋值法并会简单应用二情感与价值观树立由一般到特殊及特殊到一般的意识了解中国古代数学成就及地位教学重点二项式系数的性质教学难点二项式系数的最大值的理解与二展开式的通项公式二引入通项公式中的我们称其为二项式系数当依次取时二项式系数如下表所示学习必备欢迎下载表此表叫二项式系数表早在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现了又叫杨辉三角国外最早发现是在欧洲叫的方法寻找表中的规律注意不要孤立的看规律应该体现在联系之中既要注意横向观察也要注意纵向观察横向观察是重点可以结合函数图象或图表来研究也可以和集合作联系二项式系数表的规律每行两端都是除以外的每个数都等于它