因式分解的常用办法目前最牛的教案中学教育中考_中学教育-初中教育.pdf

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1、精心整理 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具 因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中

2、常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a b)2=a22ab+b2a22ab+b2=(a b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知abc，是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状

3、是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222abcabbccaabcabbcca 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：bnbmanam 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=)(banm 例 2、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法

4、二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba 精心整理 练习：分解因式 1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式：ayaxyx22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx 例 4、分解因式：2222cbaba 解：原式=22

5、2)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba 练习：分解因式 3、yyxx39224、yzzyx2222 综合练习：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333 四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式)()(2qxpxpqxq

6、px进行分解。特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0a5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c，都要求24bac 0 而且是一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数，1a 例 5、分解因式：652 xx 分析：将 6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23的分解适合，即2+3=5。12 解：652 xx=32)32(2xx13=)3)

7、(2(xx12+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此

8、可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 例 6、分解因式：672 xx 解：原式=)6)(1()6()1(2xx1-1=)6)(1(xx1-6（-1）+（-6）=-7 练习 5、分解因式(1)24142 xx(2)36152 aa(3)542 xx 练习 6、分解因式(1)22xx(2)1522 yy(3)24102 xx（二）二次项系数不为 1 的二次三项式cbxax2 条件：（1）21aaa 1a1c（2）21ccc 2a2c（3）1221cacab1221cacab 分解结果：cbxax2=)(

9、2211cxacxa 例 7、分解因式：101132 xx 分析：1-2 3-5（-6）+（-5）=-11 解：101132 xx=)53)(2(xx 练习 7、分解因式：（1）6752 xx（2）2732 xx（3）317102 xx（4）101162yy（三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b 1-16b 8b+(-16b)=-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba 练习 8、分解因式(1)2223yxyx(2)228

10、6nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、22672yxyx例 10、2322 xyyx 1-2y把xy看作一个整体 1-1 2-3y1-2 (-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3 解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy 练习 9、分解因式：（1）224715yxyx（2）8622 axxa 综合练习 10、（1）17836 xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222

11、)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因

12、此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222 五、换元法。例 13、分解因式（1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx 解：（1）设 2005=a，则原式=axaax)1(22=)(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx 设Axx652，则xAxx2672 原式=2)2(xAxA=222xAxA=2

13、)(xA=22)66(xx 练习 13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa 例 14、分解因式（1）262234xxxx 观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx 设txx1，则21222txx 原式=6)2222ttx（=10222 ttx=2522 ttx=215222xxxxx=215

14、22xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx 解：原式=22241(41)xxxxx =1141222xxxxx 设yxx1，则21222yxx 原式=22(43)xyy=2(1)(3)xyy=)31)(11(2xxxxx=13122xxxx 练习 14、（1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx 六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1）4323 xx 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思

15、维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 解法 1拆项。解法 2添项。原式=33123xx原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=

16、)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx（2）3369xxx 解：原式=)1()1()1(369xxx=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx 练习 15、分解因式（1）893 xx（2）4224)1()1()1(xxx（3）1724 xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba 七、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx 分析：原

17、式的前 3项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx 解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622 613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm 原式=)32)(23(yxyx 例 17、（1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba 的值。（1）分析：前两项可以分解为)(yxyx，故此多项式分解

18、的形式必为)(byxayx 解：设6522ymxyx=)(byxayx 则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22 比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba 当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式=)3)(2(yxyx；当1m时，原式=)3)(2(yxyx（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作

19、用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx 则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(23 82323ccbca解得4147cba，ba=21 练习 17、（

20、1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx（3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全 经典一：一、填空题 1.把一个多项式化成几个整式的_ 的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_.4、分解因式：244xx=_。5.将 xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则 n的值为.6、若5,6xyxy，则22x yxy=_，2222xy=_。二、

21、选择题 7、多项式3222315520m nm nm n的公因式是()A、5mnB、225m nC、25m nD、25mn 8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、2339aaa B、22ababab C、24545aaa a D、23232mmm mm 10.下列多项式能分解因式的是（）应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向

22、使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4 11把（xy）2（yx）分解因式为（）A（xy）（xy1）B（yx）（xy1）C（yx）（yx1）D（yx）（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（

23、ba）2（ab）2（ab1）C x（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若 k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么 k 应为（）A.2B.4 C.2y2D.4y2 三、把下列各式分解因式：14、nxny15、2294nm 16、m mnn nm 17、3222aa bab 18、222416xx19、22)(16)(9nmnm；五、解答题 20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45

24、dcm，外径75Dcm，长3lm。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取 3.14，结果保留 2位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。经典二：d D 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等

25、腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 因式分解小结 知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相

26、同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1.通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1.分解因式xxxxx54321 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xxxxx54321 和分别看成一

27、组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把xx54，xx32，x 1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式()()xxxxx54321 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式

28、可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 解二：原式=()()()xxxxx54321 2.通过变形达到分解的目的 例 1.分解因式xx3234 解一：将32x拆成222xx，则有 解二：将常数 4拆成 13，则有 3.在证明题中的应用 例：求证：多项式()()xxx2241021100的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：()()xxx

29、2241021100 设yxx25，则 4.因式分解中的转化思想 例：分解因式：()()()abcabbc2333 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c与 a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨 例 1.在 ABC中，三边 a,b,c 满足abcabbc222166100 求证：acb 2 证明：abcabbc222166100 说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2.已知：xxxx 12133，则_

30、应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为

31、一组解精心整理 解：xxxxxx3321111()()说明：利用xxxx222112()等式化繁为易。题型展示 1.若 x 为任意整数，求证：()()()7342xxx的值不大于 100。解：100)4)(3)(7(2xxx 说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将aaaa222222216742()()分解因式，并用分解结果计算。解：aaaa22221()()说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟 1.分解因式：2.已知：xyxyxy 6133，求：的值。3.矩形的

32、周长是 28cm，两边 x,y 使xx yxyy32230，求矩形的面积。4.求证：nn35是 6 的倍数。（其中 n为整数）5.已知：a、b、c 是非零实数，且abcabcbcacab22211111113 ，()()()，求 a+b+c的值。6.已知：a、b、c 为三角形的三边，比较abca b222224 和的大小。经典三：因式分解练习题精选 一、填空：（30 分）1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_。2、22)(nxmxx则m=_n=_ 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培

33、养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 3、232yx与yx612的公因式是 4、若nmyx=)()(4222yxyxyx，则 m=_，n=_。5、在多项式

34、2353515yyy中，可以用平方差公式分解因式的 有_，其结果是_。6、若16)3(22xmx是完全平方式，则 m=_。7、_)(2(2(_)2xxxx 8、已知,01200520042xxxx则._2006x 9、若25)(162Mba是完全平方式 M=_。10、22)3(_6xxx，22)3(9_xx 11、若229ykx是完全平方式，则 k=_。12、若442 xx的值为 0，则51232 xx的值是_。13、若)15)(1(152xxaxx则a=_。14、若6,422yxyx则xy_。15、方程042 xx，的解是_。二、选择题：（10 分）1、多项式)()(xbxaabbxxaa的

35、公因式是（）A、a、B、)(bxxaaC、)(xaaD、)(axa 2、若22)32(9xkxmx，则 m，k 的值分别是（）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、Dm=4，k=12、应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形

36、等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 3、下列名式：4422222222,)()(,yxyxyxyxyx中能用平方差公 式分解因式的有（）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232的值是（）A、21B、2011.,101.,201DC 三、分解因式：（30 分）1、234352xxx 2、2633xx 3、22)2(4)2(25xyyx 4、22414y

37、xyx 5、xx 5 6、13x 7、2axabaxbxbx2 8、811824 xx 9、24369yx 10、24)4)(3)(2)(1(xxxx 四、代数式求值（15 分）1、已知312yx，2xy，求43342yxyx的值。2、若 x、y 互为相反数，且4)1()2(22yx，求 x、y 的值 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反

38、向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 3、已知2 ba，求)(8)(22222baba的值 五、计算：（15）（1）0.7566.24366.3（2）200020012121 （3）2244222568562 六、试说明：（8 分）1、对于任意自然数 n，22)5()7(nn都能被动 24整除。2、两个连续奇数的积加

39、上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8分）1、一种光盘的外 D=11.9厘米，内径的 d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形 1的周长比正方形 2的周长长 96厘米，其面积相差 960平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式 乙：三次项系数为 1，常数项为 1。丙：这个多项式前三项有公因式 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌

40、握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）

41、经典四：因式分解 一、选择题 1、代数式 a3b221a2b3,21a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（）A、a3b2B、a2b2 C、a2b3D、a3b3 2、用提提公因式法分解因式 5a(xy)10b(xy)，提出的公因式应当为（）A、5a10bB、5a10bC、5(xy)D、yx 3、把8m312m24m分解因式，结果是（）A、4m(2m23m)B、4m(2m23m 1)C、4m(2m23m 1)D、2m(4m26m 2)4、把多项式2x44x2分解因式，其结果是（）A、2(x42x2)B、2(x42x2)C、x2(2x24)D、2x2(x22)5、（2）1998（2）1999

42、等于（）A、21998B、21998 C、21999D、21999 6、把 16x4分解因式，其结果是（）A、(2x)4B、(4x2)(4 x2)C、(4x2)(2 x)(2 x)D、(2x)3(2x)7、把 a42a2b2b4分解因式，结果是（）A、a2(a22b2)b4B、(a2b2)2 C、(ab)4D、(ab)2(ab)2 8、把多项式 2x22x21分解因式，其结果是（）A、(2x21)2B、2(x21)2 C、(x21)2D、21(x1)2 9、若 9a26(k3)a1 是完全平方式，则 k 的值是（）A、4B、2 C、3D、4或 2 10、（2xy）(2xy)是下列哪个多项式分解

43、因式的结果（）A、4x2y2B、4x2y2 C、4x2y2D、4x2y2 11、多项式 x23x54分解因式为（）A、(x6)(x 9)B、(x6)(x 9)C、(x6)(x 9)D、(x6)(x 9)二、填空题 1、2x24xy2x=_(x 2y1)2、4a3b210a2b3=2a2b2(_)3、(1a)mn a1=(_)(mn 1)4、m(m n)2(nm)2=(_)(_)5、x2(_)16y2=()2 6、x2(_)2=(x5y)(x 5y)7、a24(ab)2=(_)(_)8、a(xyz)b(xyz)c(xyz)=(xyz)(_)9、16(xy)29(xy)2=(_)(_)应用于初等数

44、学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整

45、理 10、(ab)3(ab)=(ab)(_)(_)11、x23x2=(_)(_)12、已知 x2px12=(x2)(x 6)，则 p=_.三、解答题 1、把下列各式因式分解。(1)x22x3(2)3y36y23y(3)a2(x2a)2a(x2a)2(4)(x 2)2x2(5)25m210mn n2(6)12a2b(xy)4ab(yx)(7)(x 1)2(3x2)(23x)(8)a25a6(9)x211x24(10)y212y28(11)x24x5(12)y43y328y2 2、用简便方法计算。（1）9992999（2）2022542256352(3)19981996199719972 3、已知

46、：xy=21,xy=1.求 x3y2x2y2xy3的值。四、探究创新乐园 1、若 ab=2,ac=21,求(bc)23(bc)49的值。2、求证：11111110119=119109 经典五：因式分解练习题 一、填空题：2(a3)(3 2a)=_(3 a)(3 2a)；12若 m23m 2=(m a)(mb)，则 a=_，b=_；15当 m=_ 时，x22(m 3)x25是完全平方式 二、选择题：1下列各式的因式分解结果中，正确的是 Aa2b7abbb(a27a)B3x2y3xy6y=3y(x2)(x 1)C8xyz6x2y22xyz(43xy)D2a24ab6ac2a(a2b3c)应用于初等

47、数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心

48、整理 2多项式 m(n 2)m2(2n)分解因式等于 A(n2)(mm2)B(n2)(mm2)Cm(n 2)(m1)D m(n 2)(m1)3在下列等式中，属于因式分解的是 Aa(xy)b(m n)axbm aybn Ba22abb21=(ab)21 C4a29b2(2a3b)(2a3b)Dx27x8=x(x7)8 4下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 Aa2b2 Ba2b2 Ca2b2 D(a2)b2 5若 9x2mxy 16y2是一个完全平方式，那么 m的值是 A12 B24 C12 D 12 6把多项式 an+4an+1分解得 Aan(a4a)Ban-1(a31)Can+1(a1)(

49、a2a1)D an+1(a1)(a2a1)7若 a2a1，则 a42a33a24a3的值为 A8 B7 应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主法技巧和应用作进一步的介绍一提公因式法二运用公式法在整式的乘除中我们学过若干个乘法公式现将其反向使用即为因式分解中常用的公式例如下面再补充两个常用的公式例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边有公因式可提也不能运用公式分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两

50、项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系解原式每组之间还有公因式例分解因式解法一第一二项为一组解精心整理 C10 D 12 8已知 x2y22x6y10=0，那么 x，y 的值分别为 Ax=1，y=3 Bx=1，y=3 Cx=1，y=3 D x=1，y=3 9把(m23m)48(m23m)216分解因式得 A(m1)4(m2)2 B(m1)2(m2)2(m23m 2)C(m4)2(m1)2 D(m1)2(m2)2(m23m 2)2 10把 x27x60分解因式，得 A(x10)(x 6)B(x5)(x 12)C(x3)(x 20)D(x5)(x 12)11把 3x22xy8y2分