高考数学知识点：不等式一 简单的线性规划问题中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第 1 页 高考数学知识点：不等式一、简单的线性规划问题?(1)常规的线性规划问题，即求在线性约束条件下的最值问题;(2)与函数、平面向量等知识结合的最值类问题;(3)求在非线性约束条件下的最值问题;(4)考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点。【例 1】设函数 f()=?3?sin?+?cos?，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点?P(x,y)?，且 0?。(1)若点 P的坐标为 12,32，求 f()的值;(2)若点 P(x,y)为平面区域：x+y1,x1,y1。上的一个动点，

2、试确定角 的取值范围，并求函数 f()的最小值和最大值。分析 第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域，再根据抽画出的平面区域确定角 的取值范围，进而转化为求 f()=a?sin?+b?cos?型函数的最值。解(1)由点 P的坐标和三角函数的定义可得?sin?=32，?cos?=12。于是 f()=3?sin?+?cos?=?332+12=2。学习必备 欢迎下载 第 2 页(2)作出平面区域 (即三角形区域 ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?.于是 0?2,又 f()=3?sin?+?cos?=2?sin?+?6，且?6+?6?2?

3、3，故当+?6=?2，即=?3 时，f()取得最大值，且最大值等于 2;当+?6=?6，即=0 时，f()取得最小值，且最小值等于 1。点评 本题中的最大的亮点在于以解答题的形式将线性规划中的基础内容平面区域与三角函数的求值进行了的有机综合，过去历年高考对线性规划考查中并不多见。二、基本不等式 基本不等式是不等式的重要内容,也是历年高考重点考查的知识之一。它的应用几乎涉及数学的所有的章节,高考命题的重点是大小判断、求最值、求范围等.大多为填空题，试题的难度不大，近几年的高考试题中也出现了不少考查基本不等式的实际应用问题。【例 2】心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量

4、为 1，则 x 天后的存留量 y?1=4x+4;若在 t(t0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y?2 随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为值问题与函数平面向量等知识结合的最值类问题求在非线性约束条件下的最值问题考查线性规划问题在解决实际生活生产实际中的应用而其中的第点往往是命题的创新点例设函数其中角的顶点与坐标原点重合始边与轴非负半轴重合分析第问只需要运用三角函数的定义即可第问中只要先画出平面区域再根据抽画出的平面区域确定角的取值范围进而转化为求型函数的最值解点的坐标和三角函数的定义可得于是第页学习必备欢迎下载作出平面区域

5、即三角形区域如在于以解答题的形式将线性规划中的基础内容平面区域与三角函数的求值进行了的有机综合过去历年高考对线性规划考查中并不多见二基本不等式基本不等式是不等式的重要内容也是历年高考重点考查的知识之一它的应用几乎涉及学习必备 欢迎下载 第 3 页 a(t+4)?2(?a(1)若 a=-1,t=5，求“二次复习最佳时机点”;(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求 a 的取值范围。分析 关键是分析图像和理解题目所表示的含义，建立函数关系，再用基本不等式求最值,复习方法。解 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为 y，由题意知，y?2=a(t+4)?2(?x-?t)+8t+4(?t?4),所

6、以 y=y?2-y?1=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4(t4)。当 a=-1,t=5 时，y=-1(5+4)?2(x-5)+85+4-4x+4=-(x+4)81-4x+4+?1?-2481+1=59，当且仅当 x=14 时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第 14 天.(2)y=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4?=-a(x+4)(t+4)?2-?4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)?2?-2-4a(t+4)?2+?8-at+4，当且仅当-a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即 x=2-a(t+4)-4 时取等号，由题意 2-a(t+4)-4t，所以-4

7、 点评 基本不等式在每年的高考中几乎是从不缺席的，关键是要注意运用基本不等式的条件：一正、二定、三相等。三、不等式的求解【例 3】对于问题：“已知关于 x 的不等式 ax?2+bx+c0 的值问题与函数平面向量等知识结合的最值类问题求在非线性约束条件下的最值问题考查线性规划问题在解决实际生活生产实际中的应用而其中的第点往往是命题的创新点例设函数其中角的顶点与坐标原点重合始边与轴非负半轴重合分析第问只需要运用三角函数的定义即可第问中只要先画出平面区域再根据抽画出的平面区域确定角的取值范围进而转化为求型函数的最值解点的坐标和三角函数的定义可得于是第页学习必备欢迎下载作出平面区域即三角形区域如在于以

8、解答题的形式将线性规划中的基础内容平面区域与三角函数的求值进行了的有机综合过去历年高考对线性规划考查中并不多见二基本不等式基本不等式是不等式的重要内容也是历年高考重点考查的知识之一它的应用几乎涉及学习必备 欢迎下载 第 4 页 解集为(-1,2)，解关于 x 的不等式 ax?2-bx+c0”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于x 的不等式kx+a+x+bx+c0 将x 换成?-x得?a(-x)?2+?b(-x)+c0，则解集也相应变化，-x(-1,2)，则?x?(-2,1)，不等式 kx+a+x+bx+c0 的解集为(-1,2)，得a(-x)?2+b(-x)+c0的解集为(?-2?,1)，

9、即关于 x 的不等式ax?2-bx+c0 的解集为(-2,1)。若关于 x 的不等式 kx+a+x+bx+c0,b0，且函数f(x)=4x?3-ax?2-2bx+2在 x=1 处有极值，则 ab 的最大值等于.?2.关于 x 的不等式 x?2-(a+1)x+a0,b0，aba+b2?2=9，当且仅当?a=?b=?3 时，ab 有最大值，最大值为 9。2.由 x?2-(a+1)x+a1，由(x-1)(x-a)值问题与函数平面向量等知识结合的最值类问题求在非线性约束条件下的最值问题考查线性规划问题在解决实际生活生产实际中的应用而其中的第点往往是命题的创新点例设函数其中角的顶点与坐标原点重合始边与轴非负半轴重合分析第问只需要运用三角函数的定义即可第问中只要先画出平面区域再根据抽画出的平面区域确定角的取值范围进而转化为求型函数的最值解点的坐标和三角函数的定义可得于是第页学习必备欢迎下载作出平面区域即三角形区域如在于以解答题的形式将线性规划中的基础内容平面区域与三角函数的求值进行了的有机综合过去历年高考对线性规划考查中并不多见二基本不等式基本不等式是不等式的重要内容也是历年高考重点考查的知识之一它的应用几乎涉及