高考数学热点难点试题考纲解读专题专题 立体几何中的向量方法来中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、【2015年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)空间向量的坐标表示及坐标运算，属 B级要求；(2)线线、线面、面面平行关系判定，属 B级要求；(3)线线、线面、面面垂直的判定，属 B级要求；(4)求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属 B级要求【重点、难点剖析】1直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，则(1)线面平行 laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直 laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2c

2、3.(4)面面垂直 v0a2a3b2b3c2c30.2空间角的计算(1)两条异面直线所成的角 设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则 cos|cos|ab|a|b|(其中为异面直线a，b所成的角)(2)直线和平面所成的角 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有 sin|cos|en|e|n|.(3)二面角 如图所示，二面角l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面有l的大小为或.3用向量法证明平行、垂直问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题

3、中涉及的点、直线、平面(2)通过向量运算研究平行、垂直问题(3)根据运算结果解释相关问题 4空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；(2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析.【高频考点】热点一 向量法证明平行与垂直【例 1】(2014辽宁)如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点 (1)求证：EFBC；(2)求二面角 EBFC 的正弦值【命题意图】本题主要考查直线与平面的位置关系的判定和性质、二面角的作

4、法和求法以及空间向量的应用等知识，结合位置关系的判断和空间角的求法，考查考生的空间想象能力和运算求解能力 属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求

5、线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补【思路方法】(1)可以利用线面的垂直来判定线线垂直，也可以利用空间向量来求解(2)可以作出二面角再进一步求解，也可以利用空间向量求解【解析】解法一：(1)证明：如图(1)，过E作EOBC，垂足为O，连接OF.由题意得ABCDBC，可证出EOCFOC.所以EOCFOC90，即FOBC.又EOBC，EOFOO，因此BC平面EFO.又EF 平面EFO，所以EFBC.图(1)(2)如图(1)，过O作OGBF，垂足为G，连接EG.由平面ABC平面BDC，从而EO平面BDC.又OGBF，由三垂线

6、定理知EGBF.因此EGO为二面角EBFC的一个平面角，在EOC中，EO12EC12BCcos 3032，由BGOBFC知，OGBOBCFC34，因此 tan EGOEOOG2，从而 sin EGO2 55，即二面角EBFC的正弦值为2 55.解法二：(1)证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，1，3)，D(3，1,0)，C(0,2,0)，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析

7、直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补因而E0，12，32，F32，12，0，所以EF32，0，32，BC(0,2,0)，因此

8、EFBC0.从而EFBC，所以EFBC.图(2)(2)如图(2)，平面BFC的一个法向量为n1(0,0,1)设平面BEF的法向量为n2(x，y，z)，又BF32，12，0，BE0，12，32，由 n2BF0，n2BE0，得其中一个n2(1，3，1)设二面角EBFC的大小为，且由题意知为锐角，则 cos|cos n1，n2|n1n2|n1|n2|15.因此 sin 252 55，即所求二面角的正弦值为255.【感悟提升】(1)空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，而用向量法证明空间线线、线面、面面平行或垂直时，实质上转化成直线的

9、方向向量与平面的法向量之间的关系(2)用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证，而直接算就行了，把几何问题代数化尤其属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所

10、求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补是在正方体、长方体、直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误【变式探究】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.【证明】如图建立空间直角坐标系Axyz，不妨设ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中点为N，连接CN，则N(

11、2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，DE(2,4,0)，NC(2,4,0)，DENC，DENC，又NC 平面ABC，DE 平面ABC.故DE平面ABC.(2)B1F(2,2，4)，EF(2，2，2)，AF(2,2,0)B1FEF(2)22(2)(4)(2)0，B1FAF(2)222(4)0 0.B1FEF，B1FAF，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成

12、的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.【规律方法】证明平行、垂直关系时，若用传统的几何法，难以找出问题与条件的关系时，可采用向量法，但向量法要求计算必须准确无误，利用向量法的关键是正确求平面的法向量 【变式探究】如图，在直三棱柱ADE BC

13、F中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点求证：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.【证明】由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 设正方形边长为 1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M12，0，0，O12，12，12.(1)OM0，12，12，BA(1,0,0)，OMBA0，OMBA.棱柱ADE BCF是直三棱柱，AB平面BCF，BA是平面BCF的一个法向量，且OM 平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n

14、1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)DF(1，1,1)，DM12，1，0，DC(1,0,0)，由n1DFn1DM0，得 x1y1z10，12x1y10，解得 y112x1，z112x1，令x11，则n11，12，12.同理可得n2(0,1,1)则n1n20，平面属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为

15、平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补MDF平面EFCD.热点二 利用向量求空间角【例 2】(2014新课标全国卷)如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值【命题意图】本题主要考查线面垂直的判定与性质，二面角大小的求解及空间

16、向量的坐标运算等知识，以空间几何体为载体考查学生的空间想象能力，利用定理、性质、坐标运算考查学生的推理与论证能力和运算能力【思路方法】(1)充分利用菱形中蕴含的垂直关系，用传统的方法(综合法)即可证明(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量法求二面角的余弦值【解析】(1)证明：连接BC1交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点 以O为坐标原点，OB，OB1，OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求

17、重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补因为CBB160，所以CBB1为等边三角形 又ABBC,OCOA，则A0，0

18、，33，B(1,0,0)，B10，33，0，C0，33，0，AB10，33，33，A1B1AB1，0，33，B1C1BC1，33，0.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则 nAB10，nA1B10，即 33y33z0，x33z0.所以可取n(1，3，3)设m是平面A1B1C1的法向量，则 mA1B10，mB1C10.同理可取m(1，3，3)则 cosn，mnm|n|m|17.所以二面角AA1B1C1的余弦值为17.【感悟提升】1运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几

19、何结论 2利用空间向量求空间角的思路(1)异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即 cos|cos|；(2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即 sin 属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空

20、间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补|cos|；(3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角 提醒：当通过二面角的两个面的法向量求解时，其中一个法向量可从题中与该面垂直的直线的方向向量得到，而不必都求【变式探究】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形 AA1B1B的中心，AA12 2，C1H平面AA

21、1B1B，且C1H 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点 依题意得 A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，2，5)，A1(22，2 2，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5)(1)易得AC(2，2，5)，A1B1(2 2，0,0)，于是 cosAC，A1B1ACA1B1|AC|A1B1|432 223.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23.(2)易知AA1(0,22，

22、0)，A1C1(2，2，5)设平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，则 mA1C10，mAA10，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角

23、时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补即 2x 2y 5z0，2 2y0.不妨令x 5，可得m(5，0，2)同样地，设平面A1B1C1的法向量n(x1，y1，z1)，则 nA1C10，nA1B10，即 2x1 2y1 5z10，2 2x10.不妨令y1 5，可得n(0，5，2)于是 cos m，nmn|m|n|27 727，从而 sin m，n3 57.所以二面角AA1C1B1的正弦值为3 57.(3)由N为棱B1C1的中点，得N22，3 22，52，设M(a，b,0)，则MN22a，3 22b，52.由MN平面A1B1C1，

24、学优高考网得 MNA1B10，MNA1C10，即 22a2 20，22a 23 22b 252 50.解得 a22，b24，故M22，24，0，因此BM22，24，0，所以线段BM的长|BM|104.属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形

25、与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补【规律方法】异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等，其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定【变式探究】(2013新课标全国卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平

26、面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值【解析】(1)证明 如图，取AB的中点O，连接CO，A1O，A1B.因为CACB，所以COAB，由于AA1AB，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以ABA1O，因为OCOA1O，所以AB平面A1OC，故ABA1C.(2)解 由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直 以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，3，0)，B(1,0,0)，C(0,0，

27、3)，B1(2，3，0)，则BC(1,0，3)，BB1(1，3，0)，A1C(0，3，3)，设n(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则 nBC0，nBB10，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关

28、问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补 即 x 3z0，x 3y0.可取n(3，1，1)故 cos n，A1CnA1C|n|A1C|105.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.热点三 利用空间向量解决探索性问题 【例 3】(2014天津)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点 (1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点

29、，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值 【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识，意在考查考生利用空间向量解决立体几何问题的方法及空间想象能力、运算能力和推理论证能力【解题思路】(1)建系坐标化，通过数量积为零证明垂直关系(2)关键在于求出平面PBD的法向量(3)通过设CFCP，用参数表示出点F坐标，由垂直关系求解，进而确定二面角【解析】依题意，以A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖

30、析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)证明：BE(0,1,1)，

31、DC(2,0,0)，故BEDC0.所以BEDC.(2)BD(1,2,0)，PB(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量 则 nBD0，nPB0，即 x2y0，x2z0.不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有 cos n，BEnBE|n|BE|26 233.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(3)BC(1,2,0)，CP(2，2,2)，AC(2,2,0)，AB(1,0,0)由点F在棱PC上，设CFCP，01.故BFBCCFBCCP(1 2，22，2)由BFAC，得BFAC0，因此 2(1 2)2(2 2)0，解得34，即BF12，12，32.设

32、n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的

33、余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补 易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为3 1010.【感悟提升】(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的论证推理，只需通过坐标运算进行判断，但对运算有较高要求，运算结论要准确(2)解题时，注意把要成立的结论做为已知条件，据此列方程或方程组，把存在性问题转化为“点的坐标是否存在，在限制范围内是否有解”等，因此把空间问题转化为运算问题，使问题的解决变的简单更有效(3)利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论【变式探究】如图，

34、在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点 (1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为 30，求AB的长 属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或

35、用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补【解析】(1)证明 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0，1,0)，D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)，故AD1(0,1,1)，B1Ea2，1，1，AB1(a,0,1)，AEa2，1，0.AD1B1Ea2011(1)1 0，B1EAD1.(

36、2)解 假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时DP(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，nAB1，nAE，得 axz0，ax2y0.取x1，得平面B1AE的一个法向量n1，a2，a.要使DP平面B1AE，只要nDP，有a2az00，解得z012.又DP 平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP12.(3)解 连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，AD1是平面A1B1E的一个

37、法向量，此时AD1(0,1,1)设AD1与n所成的角为，则 cos nAD1|n|AD1|a2a21a24a2.二面角AB1EA1的大小为 30，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时

38、考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补|cos|cos 30，即3a2215a2432，解得a2，即AB的长为 2.【规律方法】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题【变式探究】(2013北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C

39、1C是边长为 4 的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求证：二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求BDBC1的值【解析】(1)证明 在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面ABC.(2)解 在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，学优高考网ABAC 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，A1C1(4，0,0)，A1B(0

40、,3，4)，B1C1(4，3,0)，BB1(0,0,4)属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余

41、弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补 设平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2)A1C1n10，A1Bn10 4x10，3y14z10，取向量n1(0,4,3)，由 B1C1n20，BB1n20 4x23y20，4z20.取向量n2(3,4,0)cos n1n2|n1|n2|16551625.(3)证明 设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BDBC1.(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，AD(4，33，4)又ADA1B，03(3 3)160 则925，因为9250,1，所以在线段BC1上存在

42、点D，使得ADA1B此时BDBC1925.【能力突破】难点一 异面直线所成的角 例 1、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角【方法突破】利用BA1AC|BA1|AC|cosBA1，AC，求出向量BA1与AC的夹角BA1，AC，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角还可用几何法或坐标法 属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线

43、与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补【解析】方法一 因为BA1BABB1，ACABBC，所以BA1AC(BABB1)(ABBC)BAABBABCBB1ABBB1BC.因为ABBC，BB1AB，BB1BC，所以BABC0，BB1AB0，BB1BC0，BAABa2.所以BA1ACa2.又B

44、A1AC|BA1|AC|cosBA1，AC，cos BA1，ACa22a 2a12.所以BA1，AC120.所以异面直线BA1与AC所成的角为 60.方法二 连接A1C1，BC1，则由条件可知A1C1AC，从而BA1与AC所成的角亦为BA1与A1C1所成的角，由于该几何体为边长为a的正方体，于是A1BC1为正三角形，BA1C160，从而所求异面直线BA1与AC所成的角为 60.属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示

45、设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补 方法三 由于该几何体为正方体，所以DA，DC，DD1两两垂直且长度均为a，于是以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，于是有A(a,0,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，

46、a)，B(a，a,0)，从而AC(a，a,0)，BA1(0，a，a)，且|AC|BA1|2a，ACBA1a2，cosAC，BA1a22a 2a12，AC，BA1120，所以所求异面直线BA1与AC所成角为 60.题型二 直线与平面所成的角 例 2、如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点 (1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值【方法突破】平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量【解析】(1)证明 以H为原点，HA，

47、HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是

48、直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补 则A(1,0,0)，B(0,1,0)设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则D(0，m,0)，E12，m2，0.难点三 二面角 例 3、如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFE12AD.属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难点剖析直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量分别为则线面平行平面的法向量分别为线面垂直面面平行面所成的角如图所示设直线的方向向量为平面的

49、法向量为直线与平面所成的角为两向量与的夹角为则有二面角如图所示二面角平面的法向量为平面的法向量为则二面有的大小为或用向量法证明平行垂直问题的步骤建立空间图形与空平行垂直问题根据运算结果解释相关问题空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦而不是线面角的余弦求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补 (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值【解析】(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,

50、0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M12，1，12.BF(1,0,1)，DE(0，1,1)，于是 cos BF，DEBFDE|BF|DE|0012 212.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 60.(2)证明 由AM12，1，12，CE(1,0,1)，AD(0,2,0)，可得CEAM0，CEAD0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.而CE 平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解 设平面CDE的法向量为u(x，y，z)，则 uCE0，uDE0.于是 xz0，yz0.属级要求线线线面面面垂直的判定属级要求求异面直线直线与平面平面与平面所成角属级要求重点难