2016北京高考理科数学真题及答案.docx

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1、2016北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合A=B=，则（）。（A） （B）（C） （D） 【参考答案】C【答案解析】集合，而B=，因此可得，故选择C。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章集合中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（2）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为（）。（A）0 （B）3（C）4 （D）5【参考答案】C【答案解

2、析】可行域如下图阴影部分，目标函数平移到如图虚线处取得最大值，对应的点为（1,2），故可得最大值为21+2=4，选择C。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章函数的值域、最值求法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）。（A）1 （B）2（C）3 （D）4【参考答案】B【答案解析】开始；第一次循环；第二次循环；第三次循环，条件判断为“是”，跳出循环，此时。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章算法与统计中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（4）设a,b是向量，则“|a|=|

3、b|”是“|a+b|=|a-b|”的（）。（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【参考答案】D【答案解析】若|a|=|b|，则以|a|和|b|组成的平行四边形是菱形，而|a+b|和|a-b|分别表示菱形的对角线，而菱形的对角线是不一定相等的；反之，若|a+b|=|a-b|，那么以|a|和|b|组成的平行四边形为矩阵，而矩阵的相邻的两条边也不一定相等，因此选择D。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章 常用逻辑语中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（5）已知x,yR,且xyo，则（）。（A）- （B）（C） (0

4、（D）lnx+lny【参考答案】C【答案解析】因为xy0，因此有，故）- ，因此A错误，而正弦函数在(0，+)上不是单调的，所以和的大小是不能确定的，故B错误，而指数函数在(0，+)上是递减的，所以，故，因此C正确，而D选项中的，它在(0，+)的正负是不确定的，故D错误。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）。（A） （B）（C）（D）1【参考答案】A【答案解析】通过三视图可以得到下图所示的三棱锥，它的高为，底面积为，因此可得体积为。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲

5、座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 (7)将函数图像上的点P（ ，t ）向左平移s（s0） 个单位长度得到点P.若 P位于函数的图像上，则（）。（A）t= ，s的最小值为 （B）t= ，s的最小值为 （C）t= ，s的最小值为 （D）t= ，s的最小值为 【参考答案】A【答案解析】由题意P是P（ ，t）向左平移s，因此可得，它在上，因此有，而P在，故可得，通过这两个式子，可解得，故选择A。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个

6、空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）。（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【参考答案】B【答案解析】取两个球往盒子中放有种情况：红+红，则乙盒中红球数加个；黑+黑，则丙盒中黑球数加个；红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个；黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多，和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数

7、没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样。综上，选B，【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_。【参考答案】-1【答案解析】，而它对应的点位于实轴上，因此可得，故。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（10）在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）【参考答案】60【答案解析】根

8、据二项式定理可知，的项为，因此系数为60。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章计数技巧中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点， 则 =_.【参考答案】2【答案解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算，则直线方程为：，圆的方程为：也就是，转化为直角坐标系方程为：即，圆心为（1,0）正好在直线上，因此|AB|为直径，故|AB|=2。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（12）已知为等差数列，为其前n项和，若 ，则.【参考答案】6【答案解析】，因此可得。【试题点

9、评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_.【参考答案】2【答案解析】不妨设B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则图像如下图，因为OABC为正方形，|OA|=2，所以，又知OA为渐近线，故，而，根据这两个条件可得。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（14）设函数 若a=0，则f(x)的最大值为_； 若f(x)无最大值，则实数a的取值范

10、围是_。【参考答案】2；【答案解析】由可得，如下图所示，若a=0，那么最大值为，通过图像可以知道当时，有最大值为，因此若无最大值，则。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第五章函数图像的画法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）在ABC中，（I）求 的大小（II）求 的最大值【参考答案】（1）；（2）1。【答案解析】（1）（2）所以的最大值为1。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（16）（本小题13分）

11、A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（I） 试估计C班的学生人数；（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数

12、记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和的大小，（结论不要求证明）【参考答案】（I）40；（II）；（III）。【答案解析】（I）因为，因此C班的学生人数为40。（II）在A班取到每个人的概率都是相同的，均为，设A班中取到第i个为事件，在C班中取到第j个人为事件，的概率为事件D，则可得：。（III），三组的平均数为7，9，8.25，总均值，但中多加了三个数7，9，8.25，平均值为8.08，比小，故拉低了平均值。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD 平面ABC

13、D，PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,（I）求证：PD平面PAB; （II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（III）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 的值；若不存在，说明理由。【参考答案】（I）略；（II）；（III）存在，。【答案解析】（I）（II）取中点为，连接，以为原点，如图建立直角坐标系，可得，所以设为面的法向量，设，因此有故可得。（III）假设存在M，使得BM平面PCD，设由（II）可知，因此，由，因此可得，因为BM平面PCD，而为面的法向量，因此，即，因此可得。综上可得，存在这样的点M，即当时，M为所求点。【试题

14、点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（18）（本小题13分）设函数，曲线在处的切线方程为，（I）求a、b的值； (II) 求f(x)的单调区间。【参考答案】（I）；(II) 在R上递增，无减区间【答案解析】（I）而曲线在处的切线方程为，因此可得也就是因此可得。(II)由（I）可得，令，则（，2）2（2，+）0 +减极小值增的最小值为，所以的最小值为，因此在R上恒成立，所以在R上递增，无减区间。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章函数的性质及其应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（19）（本小题1

15、4分）已知椭圆C： （ab0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），OAB的面积为1.（I）求椭圆C的方程；(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：为定值。【参考答案】（I）；(II)证明略。【答案解析】（I）由已知可得，而在椭圆中满足，因此可得，故椭圆C的方程为。(II)设椭圆上一点，直线PA：，令可得，所以直线PB：，令可得，所【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（20）（本小题13分） 设数列A： ， , (N2)。如果对小于n(2nN)的每

16、个正整数k都有 ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(II)证明：若数列A中存在使得，则G（A） ；(III）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。【参考答案】（I）；(II)略；(III）略。【答案解析】（I）。(II)因为存在，设数列中第一个大于的项为，则，其中。(III）证：设数列的所有“时刻”为，对于第一个“时刻”有，因此有；对于第二个“时刻”有，因此有；类似的有，于是有对于，若，则，若，则，否则有(II)可知，中存在“时刻”，这与只有个“时刻”矛盾，从而可得。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。