【课件】余弦定理、正弦定理应用举例 2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例温故知新温故知新正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：探究新知探究新知 在在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，我们仰望星空，明月高悬，我们仰望星空，明月高悬，不禁会问，不禁会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？早早在在16711671年，两个法国天文学家就测出了地球与月球之间的距离大约为年，两个法国天文学家就测出了地球与月球之间的距离大约为385400km385400km。他们是怎样测出两者之间距离的呢？他们是怎样测出两者之间距离的呢？下面让我们一起探讨解决下面让我们一起探讨解决不可到达的距

2、离不可到达的距离的测量问题。的测量问题。问题引入ACB51o55m75o设设A、B两点在河的两岸（两点在河的两岸（B点不可到达），怎样测量两点之间的距离？点不可到达），怎样测量两点之间的距离？常用测量工具常用测量工具卷尺卷尺经纬仪经纬仪经纬仪经纬仪测量水平角和竖直角测量水平角和竖直角的仪器。的仪器。例例1.1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在者在A所在所在的河岸边选定的河岸边选定一点一点C，测出，测出A、C间间的的距离是距离是5555m，BAC5151o o，ACB7575o o，求，求A、B两两点间的点间的距离距离（精确到（精

3、确到0.10.1m）解：由正弦定理解：由正弦定理 可知可知答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.765.7米。米。51o55m75o水平距离的测量水平距离的测量两点能相互看到，但不能到达(1)选基点C，测量AC的长；(2)测量角A和角C的大小；(3)由三角形的内角和，求出角B；基线的概念在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.基线的选取不唯一，一般来说基线越长，测量的精确度越高.(4)由正弦定理，可求边AB的长.设设A、B两点都在河对岸（不可到达），设计一种方案测量两点之间的距离。两点都在河对岸（不可到达），设计一种方案测量两点之间的距离。ABCDABCDa解：如图，

4、测量者可以在河岸边选定两点C、D，设BCA=，ACD=，CDB=,ADB=，CD=a，应用正弦定理得在ABC中，由余弦定理得（2）在ACD中，求出角ADC，由正弦定理 求出AC的长；（3）在BCD中，求出角DBC，由正弦定理 求出BC的长；（4）在ABC中,由余弦定理 求得AB的长。水平距离的测量水平距离的测量两点都不能到达(1)选基点C，D，测量基线CD的长，测量图中所示的角；ABCDa如图，在如图，在铁路建设铁路建设中，需要中，需要确定隧道两端确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量的距离，请你设计一种测量A,B距离的距离的方案？方案？转化为例2的思路进行测量，从而解决问题学以致用学以致

5、用（3）由余弦定理得（1）选取基点C，测量得出AC、BC的距离为b、a；（2）测量角C为；想一想想一想测量测量高度问题高度问题例3：如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物AB的方法，并求出建筑物的高度.测量术语测量术语仰角仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角（如图）BEAGHDC测量测量高度问题高度问题解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.例3：如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物AB的方法，并求

6、出建筑物的高度.在三角形ACD中，根据正弦定理可得测量垂直高度AB 1、底部可以到达的测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。2、底部不能到达的 找基点C、D且与B共线，测量基线CD，测量C和ADB，CDAB注意：在实际操作时，使C,D,B三点共线不是一件容易的事情。你有什么解决方法？例例4 4：位于某海域：位于某海域A处处的甲船获悉的甲船获悉,在其正东方向相距在其正东方向相距2020海里的海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船的南偏西甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船的南偏西3030，且与甲船，且与甲

7、船相距相距7 7海海里里C处的乙船处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度方向是北偏东多少度(精确到精确到1 1)？需航行的距离是多少海里（精确到？需航行的距离是多少海里（精确到1 1海里）海里）？测量角度问题测量角度问题A AB B北北2020海里海里7 7海里海里C C3030解：根据题意画出示意图，由余弦定理可得所以由正弦定理可得，于是由于，所以答:乙船前往营救遇险渔船航行的方向约是北偏东，大约航行24海里课堂小结课堂小结1、本节课通过具体实例，研究了利用正弦定理及余弦定理解决实际测量问题。实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解画图形解三角形检验（答）2.解三角形在实际测量中的常见问题(1)距离问题(2)高度问题(3)角度问题常用测量术语常用测量术语1 1、仰角、仰角、俯角：俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。（如图）2 2、方向角、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，如图 3、方位角方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。