高数B第一学期综合测试题2答案.docx

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1、高数B综合测试题2答案、填空：（每题2分，共20分）1 ,函数 /(x)=arc sin-的定义域为1, 522,设/(%) =x +1,2,则极限lim/(x)=1x-0可去型的间断点.3.如果函数/（ =V.1 xsin 一, x ? + x ,Y 0在(-oo,+oo)上连续，则 =0.x 0) = arc sin + C.a9.定积分 I)sxx =2，则函数=5亩%在区间0/上的平均值是一.n10. d(x2 +1 = 20x(%2 +1)9 dx,x2 +1)10 = 10(x2+1)9d(x2+1)二、单项选择题（每题2分，共10分）1.设七/，先卜上/均为非负数列，且limx”

2、 /?00= 0,lim 笫=LlimA. G02.当Xf+oo时,下列变量中为无穷大量的是nooB.D.Zn= 8 ,则必有(D )/?00yn00)A. ln(l + x);B. i ;V %2+13.已知lim/(x) = 5,则必有(B ) xx0A. /(x)在x = /处有定义；C. /(x)在x = 处连续；4 Y 14 .曲线 y :(C )(% - 2)A.只有水平渐近线；C.既有水平渐近线也有垂直渐近线；5 .反常积分二小=(D )1A. 0;B. + cc ;C.;2三、计算下列各题(每题5分，共30分)3sin xC. ex +1;D. xcosx.B. /(x)在x

3、= x0处有极限；D. /(x)在x = /处可导.B.只有垂直渐近线；D.没有渐近线.D.-21 lim (1 + 2x) x-02. limxf 0ln(l + x) xx sinx解:原式lim6xx-osin x1 6x解：原式:吧x-ln(l + x)=limx30xh(l + x) x-ln(l + x)1-=lim x0x111 + x 2x1=limx-0(1 + x)213.已知y = tan(x+y)确定函数y = y(x),求心. dx解:方程两边对x求导，得V = sec2(x+y)(l + V)v=一sec2(x+y) 2/-7* = -esc (x+y) tan (

4、x+y)4.求 JarctanVZx解：原式二 J arc tan4xd(1 + x)=(1 + x) arctan y/x f (1 + x)产dxJ 1 + x 2jx=(1 + x)arctan Vx - Vx + Cx 0，求 J。/(x i)dx.解：原式= - sin2xdcosxJo解：/(x-l) = X 证明：方程s明+xcos% = 0在(0,万)内有实根.证明:令/(%) = xsin尤，则/(x)在0,1上连续，在(0,万)内可导，且/(0)= /(%)=0 由罗尔定理,三自(0,)，使得/(j) = 0,即sin J + JcosJ = 0故方程sinx+xcosx

5、= 0在(0,万)内有实根.2、当%(0,1)时，证明(l + x)ln2Q+ %)一.证明:令 g(x) = (1 + x)ln2 (1 + x) - x2, g(0)= 0g(尤)=IrPQ + x)+ 21n(l + x)- 2x, g(0)= 0g(x) =ln(l + * x,g(0)=。gQ) = -(0,1) (1 + x)故可得g(x)单调递减，g(x)g(o) = o,g单调递减，gQ)vg(o) = o,g(x)单调递减, g(x) g(o) = o,即有(1 + X)ln2(l + x) 2 =2/(X %),切线与x轴的交点为E,o,所围平面图形的面积为S 2 J尸0=1dx Xq -22由X) = = 2，故12 3(1)M点坐标为(2,4)过M点切线方程为y = 4(% 1)x4dx +7i1316=171 -7151515