2018湖南考研数学三真题及答案.docx

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1、2018湖南考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在处不可导的是()答案:解析:方法一:可导可导可导不存在,不可导应选.方法二:因为不存在在处不可导,选对在处可导对在处可导对在处可导.2.设函数在0,1上二阶可导,且则答案【解析】将函数在处展开可得故当时,选3.设,则A BC. D.答案:解析:,因为所以即所以由定积分的比较性质,应选.4.设某产品的成本函数可导,其中为产量,若产量为时平均成本最小,则().答案 【解析】平均成本,由于在处取最小值,可知5.下列矩阵中,与矩阵相似的为答案:解析:令则选项为6.设为阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,则答案:解析:易知选项错对于选项举反例

2、:取1则7. 设随机变量的概率密度满足，且，则(A) 0.2； (B) 0.3； (C) 0.4； (D) 0.6解 由知，概率密度关于对称，故，且，由于，所以，即，故选项A正确8. 设为取自于总体的简单随机样本，令，则下列选项正确的是 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 解 由于，且与相互独立，由分布的定义，得，故选项B正确二、 填空题9.曲线在其拐点处的切线方程为_。答案【解析】函数的定义域为令,解得,而故点(1,1)为曲线唯一的拐点。曲线在该点处切线的斜率故切线方程为10.11.差分方程的通解_.【答案】12.函数满足且,则答案 【解析】这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为再由

3、,可得。故13.设为3阶矩阵,为线性无关的向量组,若,可得由于线性无关,故从而有相同的特征值。因故的实特征值为2。14.设随机事件相互独立，且，则解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得三、 解答题15.已知实数,满足答案 【解析】可知16.设平面区域由曲线与直线及轴围成。计算二重积分答案 【解析】而17.将长为2的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.【解析】设分成的三段分别为则有圆的面积为18.已知答案 【解析】则19.设数列满足:证明收敛,并求证明:证明,易证再证单减,由设20.设实二次型其中是参数.(1)求的解;(2)求的规

4、范形.解析:(1)而由得当时,只有零解当时,方程有无穷多解,通解为为任意常数.(2)由(1)知,当时可逆,令,即,则规范形为当时,令,则令,则得规范形为21.已知是常数,且矩阵可经初等变换化为矩阵(1)求;(2)求满足的可逆矩阵.解析:(1)经过初等列变换化为(2)令当时,可逆,取可逆矩阵22. 设随机变量与相互独立，的概率分布为，服从参数为的泊松分布令，求（1）；（2）的概率分布解 （1）由题意，知，则，且于是，由协方差计算公式，得（2）随机变量的取值为，则同理，其中，23 .总体的概率密度为，（） 其中为未知参数， 为取自于总体的简单随机样本记的最大似然估计量为，求（1）；（2）解 （1）构造似然函数方程两边取自然对数，得，求上述方程的驻点，得，即最大似然估计量为（2）由期望的公式，得同理，由方差的公式，得，则，