公因数和公倍数学习知识点.docx

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1、,.公因数和公倍数【学问点回忆】1、公因数（1） 互素数：公因数只有 1 的两个自然数叫做互素数。（2） 简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。（3） 求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。2、公倍数将除数连乘将除数和商连乘23=62323=36求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数各自独有的因数。3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有 3 种根本状况，区分如下：两个数的关系最大公因素最小公倍数特互素7 和 81两个数的积78=56殊较大数是较小数的倍数较小数12较大数48关12 和 48系一般关系12 和 18用短除法4、求最大公因数和最小公倍数的方法： 一、特别

2、状况：（1） 倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。如；6 和12 的最大公因数是 6，最小公倍数是 12。（2） 互质关系的两个数，最大公因数是，最小公倍数是它们的乘积。如，5 和 7 的最大公因数时 1，最小公倍数是 57=35二、一般状况：（1） 求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。列举法：如，求 18 和 27 的最大公因数先找出两个数的全部因数18 的因数有：1、2、3、6、9、1827 的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数：18 的因数有：1、2、3、6、9、1827 的因数有：1、3、9、271、3、9最终找出最大公

3、因数：9单列举法：如，求 18 和 27 的最大公因数先找出其中一个数的因数：18 的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9 又是 27 的因数最终找出最大公因数：9短除法：182733 6923除到商是互质数为止，最终把全部的除数相乘 33=9139除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。189 就是 18 和 27 的最大公因数27（2） 求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。列举法：如，求 18 和 12 的最小公倍数先按从小到大的挨次找出这两个数的倍数：18 的倍数：18、36、54、7212 的倍

4、数：12、24、36、48 再找出两个数的最小公倍数：18 的倍数：18、36、54、7212 的倍数：12、24、36、48单列举法：如，求 18 和 12 的最小公倍数先找出一个数的倍数：18 的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的挨次找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数：36大数翻倍法：如，求 18 和 12 的最小公倍数把较大的数翻倍2 倍开头，每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。如，求 18 和 12 的最小公倍数。可以把 18 翻倍：182=36，36 又是 12 的倍数，所以 36 是 18 和 12 的最小公倍数。短除法：用这两个

5、数同时除以一个质数要能整除如，求 18 和 12 的最小公倍数，先用 18 和 12 同时除以质数 2，再同时除以质数 3， 除到两个商是互质数公因数只有 1为止。2181296332除到商是互质数为止，最终把全部的除数和商相乘18 和 12 的最小公倍数是：2332=36除数商【例题精讲】问题 1、1既是 30 的因数，又是 45 的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？2既是 30 的倍数，又是 45 的倍数的数，最小是多少？想：1既是 30 的因数，又是45 的因数的数，就是30 和 45 的公因数，其中最大的就是 30 和 45 的最大公因数；2既是 30 的倍数，又是 45 的倍数的

6、数就是 30 和 45 的公倍数，其中最小的数就是 30 和 45 的最小公倍数。解：130 和 45 的公因数有：1，3，5，15 共四个，其中最大的是 15；230 和 45 的公倍数有：90，180，270 等等，其中最小是 90。随堂练习1、 既是 30 的倍数，又是 45 的倍数，还是 75 的倍数的数，最小是多少？问题 2、三个连续自然数的最小公倍数是168，那这三个连续自然数的和是多少？解析：要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最 小公倍数是 168，可先把 168 分解质因数 16822237，依据 168 的质因数的状况可以确定其中一个是 7

7、，为什么不行能是 14因此这三个连续自然数只有6、7、8 和 7、 8、9 两种可能，而 7、8、9 这三个数任两个数公因数都是 1，故这三个连续自然数只能是6、7 和 8。经检验正确它们的和是 67821。答：这三个连续自然数是 6、7、8。它们的和是 21。随堂练习1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几？问题 3、有一种长 60 厘米，宽 45 厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形？想：用长 60 厘米，宽 45 厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60 的倍数， 也是 45 的倍数，也就是 60 和 45 的公

8、倍数，因此正方形的边长是 180 厘米，由此简洁求得一共用的地砖块数。解：60、45180180601804512块答：至少要用 12 块这样的砖，才能铺成一块正方形。随堂练习1、一种长 45 厘米，宽 30 厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多少块？问题 4、某班学生排队做操，假设每排 3 人，少了 1 人；假设每排 5 人，就多出 2 人；假设每排 6 人，就多出 2 人。这个班至少有多少人？想：假设把每排 3 人，就少了 1 人，转化成每排 3 人，也就是多了 2 人，这样就把这个班分别排成每排 3 人、5 人、6 人都统一成多出了 2 人。假设把这个班的人数减去2

9、人，那么这个班的学生人数正好是 3、5 和 6 的倍数，也就是 3、5 和 6 的最小公倍数，然后加上多出的 2 人就是这个班的学生人数。解：3、5、630 ， 30232人 答：这个班至少有 32 人。随堂练习1、有一个自然数，除以 10 余 7，除以 6 余 3，除以 4 余 1。这个自然数最小是多少?问题 5、五2班同学共 38 人。一天上体育课，排成一列横队，都面对教师站，然后按 1，2，3，436，37，38 报数，教师要求学生按如下的步骤进展操作：1先让报数是 3 的倍数的同学向后转；2再让报数是 5 的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学仍面对教师？解析：报数是 3

10、 的倍数的同学有：38312人，报数是5 的倍数的同学有：385 7人，但要留意的是，报数是 3 和 5 的公倍数的同学有 38352人，而这 2人转了 2 次，又面对了教师，所以经过两步操作后，背对教师的同学共有 12722 15人，这时仍有 381523名同学面对教师。答：经过这两步操作后，还有 23 名同学仍面对教师。随堂练习1、五1班同学有47 人，一天上体育课，排成一列横队，都面对教师，然后按1、2、3、446、47 报数，教师要求学生按如下的步骤操作：1先让报数是 3 的倍数的同学向后转；2再让报数是5 的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学面对教师？最小公倍数与最大

11、公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数即处于除数、商、因数的地位时， 由于小数即处于除数、商、因数是大数即处于被除数、被除数、积的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。假设消灭一样的公有的 /最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数即处于被除数、被除数、积的地 位时，由于大数即处于被除数、被除数、积是小数即处于除数、商、因数 的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。假设消灭一样的公有的 /最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。补充局部公式小长方形个数=大正

12、方形边长小长方形长大正方形边长小长方形的宽 小正方形个数=大长方形的长小正方形边长大长方形的宽小正方形边长小长方体个数=大正方体边长小长方体长大正方体边长小长方体的宽大正方体边长小长方体高小正方体个数=大长方体边长小正方体边长大长方体的宽小正方体边长大长方体的高小正方体边长剩余定理余数一样时，总数被除数=最小公倍数余数缺数一样时，总数被除数=最小公倍数缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数1株数=间隔个数1距离=一个间隔的长度间隔个数3、两端都不栽 间隔个数=株数1 株数=间隔个数1距离=一个间隔的长度间隔个数封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离

13、=一个间隔的长度间隔个数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且 4 个顶点都栽： 株数=每边株数14备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24 厘米，宽18 厘米，把它裁成假设干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6 厘米，宽4 厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长 24 厘米，宽 18 厘米，高 12 厘米

14、，把它裁成假设干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6 厘米，宽4 厘米，高2 厘米。至少要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？5、一路车5 分钟发一次车，二路车6 分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多少时间再次同时发车？6、崔青青5 天去一次图书馆，李幻霞3 天去一次图书馆，修畅6 天去一次图书馆，她们今日同时在图书馆，至少要多少天她们3 人再次相遇？7、五3班做早操，每6 人一排或每 7 人一排，都能排成整排而没有剩余，五3班至少有多少人？8、五3班做早操，每 6 人一

15、排或每 7 人一排，都都剩余 3 人，五3班至少有多少人？备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题9、五3班做早操，每 6 人一排少 3 人，每 7 人一排剩余 4 人，五3班至少有多少人？备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题10、五3班分水果，桃子84 个，苹果 42 个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。五3班最多有多少人？11、两根铁丝分别长 72 米、48 米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩余，每段最长是多少米？12、有一段路每 8 米栽一棵树，头尾都栽共栽了51 棵。假设改成 5 米一棵，至少几米有一棵不动？共有多少棵不动？备注：最小公倍数与植树问题综合出题附加：1、起步价问

16、题某城市依据不同的用水量承受不同的自来水收费标准，收费标准如下表：月用水量立方米/户收费标准元/立方米10 以下包括 10局部1.8011 至 20包括 20局部2.6020 以上局部3.40（1） 小明家五月份用水 9 立方米，应付水费多少元？（2） 小明家六月份付水费 31.20 元，算一算，他家六月份用了多少立方米水？（3） 抄表员七月一日到小明家抄水表时，水表上显示 1363 立方米，八月一日再次抄表时，水表上显示 1384 立方米。小明家七月份需要付水费多少元？2、最正确问题也叫最经济问题五3班4 位教师带着 38 名学生去逛动物园，门票写着大人每张票价 20 元，儿童每张票价 10

17、 元；假设购置团体票每 10 人为一张团体票，一张团体票 80 元。请你帮办主任算算怎样买票最合算，最合算多少元？五3班和五4班76 位学生去划船，船上的标价是租一条大船30 元，租一条小船20 元，请问怎样租船最合算，最合算多少元？大船一条坐15 人，小船一条坐 8 人一架天枰，只有 5 克和 30 克两个砝码，要把 300 克的盐平均分成三份，最少称几次？写出称法。14 个大小完全一样的红球，其中一个重量轻是不合格的产品，你能用天枰称几找出不合格的产品？妈妈在厨房烙饼，每次锅里只能放两张饼，烙一张饼需 2 分钟，每面各 1 分钟。问妈妈在厨房烙 3 张饼至少需要几分钟？一把钥匙开一把锁，现

18、有 6 把钥匙 6 把锁，但不知怎么相配。那么最多要试几次确保配对全部的钥匙和锁？有甲乙丙丁四袋奶粉，甲袋最轻，丙袋最重，乙袋在甲丙两者之间。试用无砝码天枰称一次， 确定出丁排在第几位，应当怎样称量？3、容斥问题留意去掉重复的计数重复的计数通常指的是既参与这项，又参与另一项，因此在计数时，此数重复数了一次五3班有 36 人，语文优秀的人数有 26 人，数学优秀的人数有 30 人，请问语数都优秀的有多少人求重复计数局部的代表题五3班有 36 人，语文优秀的人数有 25 人，数学优秀的人数有 30 人，有 25 人语数都是优秀，请问语数都达不优秀的有多少人求综合性的代表题五3班语文优秀的人数有 2

19、5 人，数学优秀的人数有 30 人，语数都优秀的有 20 人，请问五3班到达优秀的学生有多少人求实际数量的代表题五3班语文优秀的人数有 25 人，数学优秀的人数有 30 人，语数都优秀的有 20 人，还有 5 人达不到优秀，请问五3班有多少人【寻常练习】第一天 用短除法求几个数的最大公因数12 和 3024 和 3639 和 7872 和 8436 和6045 和 6045 和 7545 和 6048其次天 用短除法求几个数的最小公倍数。25 和 3024 和 3039 和 7820126 和 6045 和 7512 和 246042、105 和 5660 和 8412 和 1424、36 和

20、18 和45 和76 和 8036 和 6027 和 7242、105 和 5624、36 和48第三天一、填空1、甲235，乙237，甲和乙的最大公因数是2、36 和 60 一样的质因数有，它们的积是，也就是 36 和 60 的3、的两个数，叫做互质数4、自然数a 除以自然数b，商是 15，那么 a 和 b 的最大公因数是 二、推断对的打“”，错的打“” 1、互质数是没有公约数的两个数2、成为互质数的两个数，肯定是质数3、只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数4、两个自然数分别除以它们的最大公因数，商是互质数 三、选择题1、成为互质数的两个数没有公因数只有公因数 1两个数都是质数都是

21、质因数2、以下各数中与 18 只有公因数 1 是214025183、以下各组数中，两个数只有公因数1 的是17 和 5152 和 9124 和 25 11 和 22 四、直接说出以下各组数的最大公因数1、8 与 9 的最大公因数是2、48、12 和 16 的最大公因数是3、6、30 和 45 的最大公因数是4、150 和 25 的最大公因数是 第四天一、填空1、按要求，使填出的两个数只有公因数1质数和合数，质数和质数，合数和合数，奇数和奇数，奇数和偶数2、两个数为互质数，这两个数的最大公因数是3、全部自然数的公因数为4、18 和 24 的公因数有，18 和 24 的最大公因数是 二、推断对的打

22、“”，错的打“” 1、由于 1535，所以 15 和 3 的最大公因数是 52、30 、15 和 5 的最大公因数是 303、最小的合数和最小的质数这两个数不是只有公因数14、相邻的两个自然数肯定只有公因数1 三、选择题1、甲数的质因数里有 1 个 7，乙数的质因数里没有 7，它们的最大公约数的质因数里应当有五个 7没有 7不能确定2、甲、乙两数的最大公约数是7，甲数的 3 倍与乙数的 5 倍的最大公约数确定是 7确定不是 7不能确定四、应用题用 96 朵红花和 72 朵白花做花束，假设每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花的朵数也都相等每个花束里最少有几朵花？第五天 一、填空1. a

23、和b 都是自然数，假设 a 除以 b 商 5 没有余数，那么 a 和 b 的最大公约数是， 最小公倍数2. 假设 a 和 b 是互质的自然数，那么 a 和 b 的最大公约数是，最小公倍数是3. 三个质数的最小公倍数是 42，这三个质数是4100 以内能同时被 3 和 7 整除的最大奇数是，最大偶数是 5一个数的最大约数是 ，它的最小倍数是 6全部偶数的最大公约数是，全部奇数的最大公约数二、推断 1几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个2. 两个不同的自然数的最大公因数肯定比最小公倍数小3. 假设三个自然数两两互质，它们的最大公约数是 1，最小公倍数就是三个数的乘积4. 假设一个质数与一个合数不

24、是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数5. 一个数的约数必定小于它的倍数 三、选择题196 是 16 和 12 的公倍数最小公倍数公约数2几个质数的连乘积是合数质数最大公约数最小公倍数3甲是乙的 15 倍，甲和乙的最小公倍数是15甲乙甲乙412 是 24 和 36 的约数质因数最大公约数 5一个数的最大约数它的最小倍数6 225， 235，那么 、 的最小公倍数是6003006010四、直接说出以下每组数的最小公倍数1 18 和 36 的最小公倍数是2 45 和 135 的最小公倍数是3 8、18 和 72 的最小公倍数是4 48、16 和 24 的最小公倍数是,.【综合测试】一、填空共

25、 20 分1、最小的素数是，最小的合数是。2 、 18的 因 数 有 ， 24的 因 数 有，它们的公因数有。3、在 120 的自然数中，既不是素数又不是合数的数有，既是素数又是偶数的有。4、自然数按因数个数的多少可以分成、和。5、1082 至少加上是 3 的倍数，至少减去才是 5 的倍数。6、一个数的最大因数是 13，这个数的最小倍数是。7、两个自然数 a、b 的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是。8、假设 A223，B233，那么它们的最大公因数是，最小公倍数是。9、一个数是 3 的倍数，又是 5 的倍数，还有因数 7。这个数最小是。10、一个数既是 30 的因数、又是 45 的因数，最

26、大的是。11、用 0、1、2 三个数字排成的全部三位数中，同时是 2、3、5 的倍数的数有。12、假设两个数的最大公因数是 1，它们最小公倍数是 91，那么这两个数的和最大是。二、推断题共 5 分1、两个连续自然数0 除外它们的最大公因数是 1。2、在 24 的因数中，是素数的只有 2 和 3。3、5 和 7 没有公因数，但 5 和 7 有公倍数。4、全部的偶数都是合数。5、两个数的公倍数肯定比这两个数都大。三、选择题共 5 分1、任何两个奇数的和是。A奇数B合数C偶数2、两个素数的积肯定是。A素数B合数C 奇数3、任何两个自然数的的个数是无限的。A公倍数B公因数C倍数4、A 是 B 倍数，那

27、么它们的最小公倍数是。AABBACB5、两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 90，这两个数肯定不是。A15 和 90B45 和 90C45 和 30四、写出每组数的最大公因数共 12 分32 和 112 和 1872 和 4878 和 11723 和 6012 和 60五、写出每组数的最小公倍数共 12 分4 和 155 和 790 和 309 和 1513 和 396 和 13六、列式计算共 8 分1、一个自然数被 3、5 除都余 1，这个数最小是多少？2、五个连续奇数的和是 425，最小的一个是多少？七、解决问题共 38 分，第 8 题 3 分，其余每题 5 分1、一枝钢笔的价钱是

28、18.6 元，比一枝圆珠笔贵 10.9 元，一枝圆珠笔多少元?列方程解答 2、小明的妈妈比小明大26 岁，爸爸今年38 岁，比妈妈大4 岁，小明今年多大了？列方程解答3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4 天去一次，乙每 5 天去一次，假设 7 月1 日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？4、有两根小棒分别长 20 分米，28 分米。要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少分米？5、一个长方形的面积是 24 厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？6、在一张长40 厘米，宽32 厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？7、五1班学生人数不超过 50 人，在分小组做玩耍时，可以分为每组6 人或者每组 8 人，两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？8、园林工人在一段大路的一边每隔 4 米栽一棵树，一共栽了 17 棵。现在要改成每隔 6 米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？