0610高一数学（人教A版）直线与平面垂直的概念及判定-2ppt课件.pptx

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1、高一年级 数学 直线与平面垂直的概念及判定 直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，具有承上启下的作用 首先，让我们来认识一下什么是直线与平面垂直 日常生活中，直线与平面垂直的例子有很多 比如，广场上的旗杆与地面的位置关系大桥的桥墩与海面的位置关系 相邻墙面的交线与地面，门轴所在直线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象 那么，究竟该怎样定义直线与平面垂直呢？让我们来看一个实际例子 如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC随时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆

2、AB所在直线与影子BC所在直线是否保持垂直呢？CBA 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线都垂直CBA 那么，对于不过点B的任意一条直线 ，它与旗杆AB所在直线垂直吗？BA 我们说，它们也是垂直的，因为对于不过点B的任意一条直线 ，总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线 也垂直因此我们可以说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直BA 一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l直

3、线l叫做平面的垂线平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足直线与平面垂直的概念思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直若将这一结论推广到空间，那么过一点垂直于已知平面的直线有几条呢？为什么呢？通过直观观察，我们可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离如图所示：线段PO的长度即为点P到的距离棱锥的高-就是顶点到底面的距离BACPO算一算：若棱锥P-ABC的体积是18，底面ABC面积为9，那么顶点P到底面ABC的距离为_6同学们，现在

4、我们得到了直线和平面垂直的概念，那么，如何判断直线与平面垂直呢？依据定义可以判断吗？依据定义，你怎样验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直呢？你还有其他的方法吗？探究：如图，准备一块三角形的纸片ABC，过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）请同学们观察：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？为什么呢？BCAD 通过实验操作，我们不难发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高 这个时候，由于翻折后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD，DC都是垂直的由基本事实的推论

5、2，平面可以看成由两条相交直线BD，DC所唯一确定，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与内所有直线都垂直同学们，通过这个实验，结合图形，你能否总结一下：当一条直线满足什么条件时，可以判断它与某个平面是垂直的？定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直直线与平面垂直判定定理符号语言：l直线与直线垂直直线与平面垂直线面垂直与线线垂直具有怎样的关系呢？由判定定理可知，直线与直线垂直可以得到直线与平面垂直，而由线面垂直定义，直线与平面垂直又可得到直线与直线垂直，所以说，线线垂直与线面垂直是可以相互转化的思考：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也

6、可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释一下原因吗？改为“两条平行直线”不可以 由平面向量基本定理可知，对于平面内的任意一个向量，可由不共线的两个向量唯一表示 因此，如果一条直线与一个平面内的两条平行直线垂直，那么无法保证该直线与此平面的所有直线都垂直，如图所示，直线与平面可能垂直，也可能不垂直“无数条直线”不等同于“任意一条直线”若“无数条直线”彼此相互平行，则也无法判定直线是否与该平面垂直如图所示：如果改为“无数条直线”可不可以呢？若一条直线与三角形的两边同时垂直，则这条直线与三角形第三边的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直

7、D.不确定选一选B由直线与平面垂直的判定定理知，该直线与三角形所在平面垂直，进而与三角形第三边垂直，所以答案为B，同学们选对了吗？想一想 某旗杆高24m，在它的顶端系两条长26m的绳子，拉紧绳子并把它们固定在地面上两点（两点与旗杆脚不共线），请问这两点与旗杆距离多少米时，旗杆与地面垂直？如图，若要旗杆AB与地面垂直，只需AB垂直地面两条相交直线BC、BD在RtABC中，由勾股定理：所以两点与旗杆距离10米时，旗杆与地面垂直10m24m26m26m例题 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面自然语言“自然语言”“符号语言”“图形语言”例题 已知：如图，a

8、/b，a，求证：b分析：要证明直线b，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面内的两条相交直线即可符号语言图形语言证明：如图，在平面内取两条相交直线m，n 直线a，am，an b/a，bm，bn 又 m ，n ，m，n是两条相交直线，b你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？证明：在平面内任取一条直线m 直线a，am b/a，bm m是平面内任意一条直线，b 练习 设 l，m，n均为直线，其中m，n 在平面内，则“l”是“lm”且“ln”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A练习 在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K

9、是AC的中点求证：AC平面VKB 分析：要证AC平面VKB，由线面垂直判定定理可知，只需证明AC垂直平面VKB内 两条相交直线证明：VA=VC，VAC是等腰三角形 K是AC的中点，VKAC 又 BA=BC，BKAC，AC平面VKB 练习 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，A1CB1D1？研究空间中两条直线的垂直关系，通常借助线面垂直关系，所以本题考虑研究直线B1D1与平面A1CC1垂直解：当ACBD时，A1CB1D1，理由如下：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1/DD1，且BB1=DD1，四边形BB1D1D是平行四边形 B1D1/BD

10、同理，A1C1/AC ACBD，B1D1A1C1 又 侧棱CC1平面A1B1C1D1，且B1D1 平面A1B1C1D1，CC1B1D1 ，B1D1平面A1CC1 A1C 平面A1CC1，B1D1A1C 练习 如图，在三棱锥P-ABC中，CDAB，垂足为DPO底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证：ABPC思路：要证ABPC，只需证AB平面POC 证明：PO底面ABC，且AB 底面ABC，由线面垂直定义，POAB CDAB，且 ，由线面垂直判定定理，AB平面POC PC 平面POC，ABPC线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，当直线与平面相交但不垂直

11、时，不同的直线与平面相交，情况也是不同的，那么，如何刻画这种不同情况呢？我们知道，角度，常用来刻画几何对象的相对位置，前面我们学习了异面直线成角，刻画了异面直线的相对位置，类似地，直线与平面所成的角该如何定义呢？让我们来研究一下 如图，当一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 那么，直线与平面所成的角怎么定义呢？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线与平面所成的角A1B1C1D1ABDC例如，正方体A

12、BCD-A1B1C1D1中，A1B在平面AC上的射影为AB，故A1B与平面AC所成的角为A1BA；A1C在平面AC上的射影为AC，故A1C与平面AC所成的角为A1CA同学们可以仿照着再举出几个线面角的例子，加深对线面角的认识 请同学们观察图形，随着直线 l 的变化，你能说出直线与平面所 成角的范围吗？当直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；当直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0 直线与平面所成的角 的取值范围是：观察图形并思考：如果AB是平面内的任意一条 不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA这个平面所成的角 的大小关系 是什么？比较两个角的大小关系

13、，一般地，我们把角放到三角形中，利用三角函数值的大小关系比较角的大小，所以我们这样来研究，由O向直线AB作垂线，垂足记作B，连接PB 想一想，ABPB吗？PO，且AB ，POAB ABOB，且OB PO=O，根据线面垂直判定定理，AB平面PBO PB 平面PBO，ABPB 在RtPOA中，在RtABP中，在RtABO中，由AB的任意性可知：斜线与平面所成的角，是它与平面内所有直线所成的角中最小的角例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角A1B1C1D1ABDC分析：要求直线A1B和平面A1DCB1所成的角，关键先找到直线A1B在平面A1DCB1上

14、的射影，而要找射影，需要先找到平面的垂线解：连接BC1，与B1C相交于点O，连接A1O 设正方体的棱长a ，D1C1A1B1ABDCO ，为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角A1B1C1D1ABDCO 在 中，直线A1B和平面A1DCB1所成的 角为30 A1B1C1D1ABDCO练习 判断：如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？不一定，可能平行、可能相交、也可能异面练习 正三棱锥A-OBC中，AOB=BOC=COA=60，求直线OA与平面OBC所成角的余弦值 分析：要求直线OA和平面OBC所成角的余弦值，关键要找到直线OA

15、在平面OBC上的射影解：由点A向底面OBC作垂线，垂足为D，连接OD则直线OD为直线OA在底面OBC上的射影，AOD为直线OA与平面OBC所成的角 AOB=BOC=COA=60，正三棱锥A-OBC的各棱长都相等，不妨设为a由题，D为底面三角形OBC的中心，所以OD=在RtADO中，即直线OA与平面OBC所成角的余弦值为 小结：1.直线与平面垂直的概念；2.直线与平面垂直判定定理；3.直线和平面所成的角思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题 线面垂直 线线垂直作业1 如图，四棱锥 的底面是正方形，求证：作业2 本节课，你觉得哪个知识最重要，它有什么作用，需要注意的关键是什么？感谢大家的观看！再见！