0525高一数学（人教A版）-正弦定理、余弦定理的综合应用-2课件.pptx

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1、高一年级 数学正弦定理、余弦定理的综合运用一、知识概要面积公式正弦定理余弦定理求相关几何量解三角形知识结构实际应用相关最值问题判断三角形形状面积公式正弦定理余弦定理求相关几何量解三角形知识结构实际应用相关最值问题判断三角形形状知识结构判断三角形形状锐角三角形知识结构判断三角形形状钝角三角形直角三角形锐角三角形知识结构判断三角形形状钝角三角形直角三角形等腰三角形锐角三角形知识结构判断三角形形状钝角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形锐角三角形知识结构等腰直角三角形判断三角形形状钝角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形知识结构求相关几何量求边长知识结构求相关几何量求面积求内角求边长知识结构求相关几

2、何量求面积求内角求周长求边长知识结构求相关几何量求周长求面积求角平分线求高线求中线求内角求边长知识结构求相关几何量求面积求内角求周长求角平分线求高线求中线知识结构相关最值问题边长知识结构相关最值问题面积内角周长边长知识结构相关最值问题面积内角周长二、典型例题1.判断三角形形状锐角三角形等腰直角三角形判断三角形形状钝角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形锐角三角形等腰直角三角形判断三角形形状钝角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形 例：在 中，已知 ，判断 的形状.例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，

3、已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系正弦定理 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系消去a 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】例：在 中，

4、已知 ，判断 的形状.【解答】由正弦定理得 ，例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由正弦定理得 ，又 ，所以 .可得 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由正弦定理得 ，又 ，所以 .可得 .所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由正弦定理得 ，又 ，所以 .可得 .所以 .所以 为等边三角形.例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系消去sinA【小结】正弦定理边角转化【小结】正弦定理边角互化【小结】正弦定理边角互化等式结构适用定理【小结】正弦定理边角互化边的关系角的关系等式结构适用定理 例

5、：在 中，已知 ，判断 的形状.例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系边化角正弦定理 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系边化角角化边余弦定理 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系边化角正弦定理 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在

6、中，已知 ，判断 的形状.【解答】例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由正弦定理得 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由正弦定理得 .所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由正弦定理得 .所以 .所以 或 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】所以 ，或 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】所以 ，或 .所以 为等腰或直角三角形.例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状边的关系角化边余弦定理 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状边的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状边的关系化简 例：在 中，已知 ，判断 的

7、形状.【解答】例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由余弦定理得 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由余弦定理得 .化简得 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】由余弦定理得 .化简得 .因式分解 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】分解得 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】分解得 .进一步分解得 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】分解得 .进一步分解得 .所以 或 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】分解得 .进一步分解得 .所以 或 .分类讨论 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】当 时，即 ，此时 为等腰三角形.例：在 中，已知

8、 ，判断 的形状.【解答】当 时，即 ，此时 为直角三角形.例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】当 时，即 ，此时 为直角三角形.所以 为等腰或直角三角形.【小结】已知边角关系判断三角形形状【小结】边角转化已知边角关系判断三角形形状【小结】正弦定理边角转化角的关系已知边角关系判断三角形形状【小结】正弦定理边角转化角的关系已知边角关系判断三角形形状三角恒等变换【小结】正弦定理边角转化余弦定理边的关系角的关系已知边角关系判断三角形形状三角恒等变换【小结】正弦定理边角转化余弦定理边的关系角的关系已知边角关系判断三角形形状三角恒等变换代数恒等变形 例：在 中，已知 ，判断 的形状.例：在 中，已

9、知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.

10、【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】判断形状角的关系 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .所以 .即 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .所以 .即 .因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .所以 .即 .因为 ，所以 .即 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.

11、【解答】因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .因为 ，所以 .所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .因为 ，所以 .所以 .所以 为等腰直角三角形.例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【分析】边的关系判断形状 例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .所以 .例：在

12、中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .所以 .所以 .所以 .例：在 中，已知 ，判断 的形状.【解答】因为 ，所以 .所以 .所以 .所以 .所以 为等腰直角三角形.【小结】边角转化已知边角关系判断三角形形状【小结】边角转化边的关系角的关系已知边角关系判断三角形形状【小结】正弦定理边角转化边的关系角的关系已知边角关系判断三角形形状【小结】正弦定理边角转化余弦定理边的关系角的关系已知边角关系判断三角形形状【小结】正弦定理边角转化余弦定理边的关系角的关系已知边角关系判断三角形形状2.求相关几何量求边长求相关几何量求周长求面积求内角 例：在 中，已知 ，求 的面积.例：在 中，已知 ，

13、求 的面积.【分析】例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C角化边边化角 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C边化角 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C边化角 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C边化角 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求a

14、b已知角C边化角 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C边化角余弦定理 例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】由正弦定理可得 .所以 .所以 或 .即 或 为直角.例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】因为 ，所以 不是直角.所以 .所以 .由余弦定理得 .例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】所以 .例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】所以 .因为 ，所以 .所以 .例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C角化边 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C角化边 例：在 中，已知 ，

15、求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C角化边 例：在 中，已知 ，求 的面积.【分析】求面积求ab已知角C角化边 例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】因为 ，所以 .因式分解 例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】因为 ，所以 .因为 ，所以 不是直角.例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】所以 .即 .由余弦定理得 .所以 .例：在 中，已知 ，求 的面积.【解答】因为 ，所以 .所以 .例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【分析】求周长 例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【分

16、析】求周长已知边c求a+b 例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【分析】求周长已知边c求a+b 例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【分析】求周长已知边c求a+b边化角角化边 例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【分析】求周长已知边c求a+b边化角 例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】由正弦定理可得 .即 .例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】所以 .即 .例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】所以 .即 .求周长求a+b角化边 例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积

17、 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】结论有一般性 例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】所以 .即 .所以 .例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】所以 .即 .所以 .因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，面积 ，求 的周长.【解答】由余弦定理 ，可得 .解得 .所以周长为 .例：在 中，已知 ，面积

18、，求 的周长.【解答】由余弦定理 ，可得 .解得 .所以周长为 .构造技巧【小结】边角关系求几何量【小结】边角关系正弦定理边角转化余弦定理求几何量内角和定理【小结】边角关系正弦定理边角转化余弦定理倍角公式和角公式求几何量内角和定理面积公式3.相关最值问题相关最值问题边长周长面积内角 例：在 中，求 周长的最大值.例：在 中，求 周长的最大值.【分析】求周长的最大值 例：在 中，求 周长的最大值.【分析】求周长的最大值求b+c的最大值 例：在 中，求 周长的最大值.【分析】求周长的最大值求b+c的最大值边b，c的等式 例：在 中，求 周长的最大值.【分析】求周长的最大值角A的余弦定理求b+c的最

19、大值边b，c的等式 例：在 中，求 周长的最大值.【解答】由余弦定理 ，可得 .例：在 中，求 周长的最大值.【解答】由余弦定理 ，可得 .所以 .例：在 中，求 周长的最大值.【解答】由余弦定理 ，可得 .所以 .基本不等式 例：在 中，求 周长的最大值.【解答】由余弦定理 ，可得 .所以 .由基本不等式得 .例：在 中，求 周长的最大值.【解答】即 ，所以 .例：在 中，求 周长的最大值.【解答】即 ，所以 .可以知道 时，不等式取等号.例：在 中，求 周长的最大值.【解答】即 ，所以 .可以知道 时，不等式取等号.所以 周长的最大值为 .【小结】已知边角信息求周长的最值【小结】已知边角信

20、息求周长的最值寻找不等关系【小结】已知边角信息求周长的最值寻找不等关系寻找边的关系【小结】已知边角信息求周长的最值寻找不等关系寻找边的关系基本不等式 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】求面积的最大值 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】求面积的最大值角B的范围已知ac 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】求面积的最大值角B的范围已知ac 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】求面积的最大值角B的范围已知ac角化边 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】由正弦定理和

21、余弦定理得 .整理得 .例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】a,b用c表示 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】a,b用c表示知三边关系 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】a,b用c表示知三边关系求cosB 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【分析】余弦定理a,b用c表示知三边关系求cosB 例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【解答】由正弦定理和余弦定理得 .整理得 .因为 ，所以 ，.例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【解答】所以 .例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【解答】所以 .由基本不等式得 .例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【解答

22、】可以知道 时不等式取等号.此时 .所以 .例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【解答】可以知道 时不等式取等号.此时 .所以 .所以 .例：在 中，已知 ，求 面积的最大值.【解答】可以知道 时不等式取等号.此时 .所以 .所以 .所以面积 .【小结】已知边角关系求周长或面积最值【小结】已知边角关系求周长或面积最值求边或角的最值【小结】已知边角关系求周长或面积最值求边或角的最值寻找边角关系【小结】已知边角关系求周长或面积最值求边或角的最值边角转化寻找边角关系【小结】已知边角关系求周长或面积最值求边或角的最值边角转化寻找边角关系正弦定理余弦定理【小结】已知边角关系求周长或面积最值求边或角的最值边角转化寻找边角关系基本不等式正弦定理余弦定理三、课堂小结课堂小结 正弦定理余弦定理判断三角形形状求相关几何量相关最值问题课堂小结 判断三角形形状求相关几何量相关最值问题正弦定理余弦定理课堂小结 正弦定理和角公式余弦定理倍角公式判断三角形形状求相关几何量相关最值问题内角和公式面积公式课堂小结 和角公式倍角公式基本不等式判断三角形形状求相关几何量相关最值问题内角和公式面积公式正弦定理余弦定理课堂小结 正弦定理和角公式余弦定理倍角公式基本不等式判断三角形形状求相关几何量相关最值问题内角和公式面积公式四、课后作业（1）在 中，判断 的 形状.（2）在 中，求 面积的最大值.