0603高一数学（人教A版）平面-2ppt课件.pptx

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1、高一年级 数学平 面一、知识概要一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质直线的基本特征是“直”和向两端“无限延伸”点和直线是由现实事物抽象而来的；课桌面黑板面平静的水面 与直线一样我们也可以从现实事物中抽象出几何里的“平面”，例如：平面的基本特征是“平”和向四周“无限延展”我们是如何表示直线的？一、图形表示：平面的表示法：通过初中的学习，我们知道用直线的局部（即线段）表示直线如图（1），把平行四边形的一边画成横向来表示水平放置的平面；如图（2），把平行四边形的一边

2、画成竖向来表示竖直放置的平面（1）（2）选取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直观图（即平行四边形）来表示平面一、图形表示：平面的表示法：我们常用希腊字母，等表示平面，如平面、平面、平面等，并将他们写在代表平面的平行四边形的一个角内，如下图所示二、符号表示：平面的表示法：我们也可以用平行四边形的四个顶点或相对顶点的大写字母表示平面，如平面ABCD、平面BD或者平面AC （1）ABCD（2）一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质 我们知道直线上有无数个点，平面上有无数条直线，若以点为元素，则直线与平面都可以看做是由点构成的集合，几何中的许多符号规

3、定都是将图形视为点集，所以我们借助集合符号来表示点、直线、平面的位置关系点、直线、平面位置关系的符号表示：文字语言符号语言图形语言点A在直线上点B不在直线上点A在平面内点P不在平面内（点P在平面外）用符号“”和“”来表示点与直线，点与平面的位置关系；B BP PAAAA文字语言符号语言图形语言直线在平面内直线不在平面内（直线在平面外）用符号“”和“”来表示直线与平面的位置关系；文字语言符号语言图形语言直线、m相交于点P 直线与平面相交于点P用符号“”来表示直线与直线、直线与平面、平面与平面相交这种位置关系m=PPm=PP练习 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：(1)点A在平面内，点B在平面

4、外；符号语言：图形语言：A，B AB练习 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：符号语言：图形语言：(2)直线经过平面外一点M；M，M M M 上面的两个练习实际是文字、图形、符号语言之间的相互转化，这对初学立体几何的同学们来说是十分必要的，这可以帮助我们更好的认识和描述空间的几何图形一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质上述两个生活现象的共同点是什么？可以反映出平面的什么性质？（2 2）三角架的三角着地就可以支撑照相机三角架的三角着地就可以支撑照相机（1）自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；可以发现它们的共同点是：不共线的三个支点同时

5、落在了地面上，如果将三个支点抽象成点，地面抽象成平面，可以得到如下结论平面的基本性质：“有且只有”的含义是什么呢？基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面“有”指过不在一条直线上的三个点存在一个平面，是平 面存在性的体现；“只有”指过不在一条直线上的三个点存在唯一一个平面，是平面唯一性的体现(1)经过空间中的一个点或者两个点有唯一一个平面吗？你能举例说明吗？ABCDA1B1C1D1 这也就说明了经过空间中一个点或两个点的平面不唯一 事实上经过空间中一个点或者两个点存在无数个平面例如在长方体ABCD-A1B1C1D1中，经过点A的平面有平面ABCD、平面AB1、平面AD1等；经过点A

6、、B的平面有平面ABCD和平面AB1等(2)经过在一条直线上的三个点有唯一一个平面吗？你能举例说明吗？ABCDA1B1C1D1E 面A1C1，这也就说明了经过在一条直线上的三个点的平面不唯一 事实上经过在一条直线上的三个点可以有无数个平面，也就是说共线的三个点不能唯一确定一个平面，例如在长方体ABCD-A1B1C1D1中，通过棱A1B1上三点A1、E、B1的平面有平面A1B和平 事实上不在一条直线上的4个点有可能不在一个平面内，例如在长方体ABCD-A1B1C1D1中，很显然点A、B、C、A1不能在同一个平面内(3)空间中不在一条直线上的4个点一定会在一个平面内吗？ABCDA1D1B1C1平面

7、的基本性质：基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面图形语言CAB如图不共线的三点A，B，C所确定的平面也可以表示为平面ABC平面的基本性质：基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面图形语言作 用基本事实1给出了确定一个平面的依据不共线的三点确定一个平面CAB基本事实1小结：基本事实1反映了点与平面的关系，从点与平面角度刻画了平面的基本特征（1）如果直线与平面有一个公共点P，直线是否在 平面内？（2）如果直线与平面有两个公共点，直线是否在平面 内？思考：P考虑如下生活现象：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在桌面上；我们将直尺抽象成直线，桌面抽

8、象成平面，可以得到如下结论平面的基本性质：基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内 基本事实2告诉我们如果一条直线上的两点在平面内，那么整条直线都在平面内，更进一步说直线上的所有点都在平面内平面的基本性质：基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内图形语言符号语言作 用可以判定直线是否在平面内ABA，B，且 A，B 基本事实2体现了直线和平面的关系，反映出：可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”，那么为什么能用直线的直和无限延伸来刻画平面的平和无限延展呢？我们作如下解释：基本事实2小结：如图由基本事实1，给定

9、不共线的三点A，B，C，它们可以确定一个平面；连接AB，BC，CA由基本事实2知，这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内，以此类推，所有这些直线可以编织成一个“直线网”可以铺满平面组成这个“直线网”的直线的直和向各个方向无限延伸，说明了平面的平和无限延展基本事实2小结：ABC思考：（1）把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只有一个公共点？（2）如果有其他公共点，他们和这个公共点有什么样的关系呢？我们可以想象三角板所在的平面向四周无限延展，这样它必然会穿透课桌面，所以这两个平面不止有一个公共点，而是相交于一条直线所以我们可以得到如下结论：平

10、面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 基本事实3告诉我们对于两个不重合的平面，只要他们有公共点，那么它们必然是相交的，且交线是一条直线平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图形语言注：在画两个平面相交时，如果其中一个平面的一部分被另外一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线如图（1）所示或不画如图（2）所示（1）P（2）P平面的基本性质

11、：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图形语言符号语言（1）P（2）PP，且P =，且P 平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作 用（1）判定两个平面相交，即如果两个平面有公共点，那么这两个平面一定相交于一条直线；（2）判定点在直线上，即若点是两个平面的公共点，直线是两个平面的交线，那么这点一定在该交线上 基本事实3反映了平面与平面之间的关系，从平面与平面角度刻画了平面的基本特征，由于平面是“平”的，这样两个平面的交线才是直线，否则就不可能是直线如下图，平面与曲面的交线不是直线基本事实3小结

12、：三个基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础 三个基本事实是平面的三条基本性质从不同角度刻画了平面的“平”和“无限延展”的基本特征；练习 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确(1)直线BD1在平面BB1D1D内；正确ABCDA1B1C1D1注意到点B，D1在平面BB1D1D内，由基本事实2可以判定直线BD1在平面BB1D1D内；练习 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确(2)设正方形ABCD和A1B1C1D1的中心 分别为O，O1，则平面BB1D1D与平 面AA1C1C的交线为O

13、O1；正确ABCDA1B1C1D1OO1注意到点O，O1是平面BB1D1D和平面AA1C1C的公共点，由基本事实3知直线OO1为平面BB1D1D与平面AA1C1C的交线；练习 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确(3)由点B，O，D可以确定一个平面错误ABCDA1B1C1D1OO1由图知点B，O，D三点共线，所以过这三点的平面不唯一不共线的三点A，B，C确定一个平面，基本事实1如图，把AB连成直线，基本事实2推论1平面是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面推论1 直线AB在平面内，即AB ABC经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面基本事实2推论1推

14、论2如图，再将AC连成直线，此时AB AC=A平面是唯一一个经过两条相交直线AB，AC的平面推论2平面是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面 直线AC在平面内，即AC ABC经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3推论1如图，过点C作CD/AB 直线AB，CD在同一平面内，平面是唯一一个经过两条平行直线AB，CD的平面推论3可以证明平行四边形，梯形都是平面图形推论3平面是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面ABCD经过两条平行直线，有且只有一个平面 三个推论同前面的基本事实1一样，给出了确定一个平面的条件，是后面研究推理证明的基础，在得到三个推论的过程中，老师采用了说理的方式，

15、并没有对三个推论进行严格的证明，将这三个推论的证明留给学有余力的同学课下完成二、例题讲解例题 证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内分析：首先，我们需要明确本题的已知和结论，根据题意我们知道本题的已知为：三条直线（不妨设为，m，n）两两相交且不过同一点，结论为：这三条直线，m，n在同一平面内例题 证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内分析：我们可以将本题用符号语言表示为：已知：m=A，mn=B，n=C；求证：、m、n在同一平面内ABCmn例题 证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，m，n在平面内A，C在平面内A，B，C确定平面基本事实2基本事实1分析：在平面内m

16、在平面内n在平面内A，B在平面内B，C在平面内证明：设直线，m，n两两相交，交点分别为A，B，C 显然A，B，C三点不共线，因此它们能确定一个平面即直线，m，n在平面内 基本事实1基本事实2例题 证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内因为A，C，那么直线 ，同理直线m ，直线n 本题小结：本题主要考查了基本事实1和基本事实2，在解决本题的过程中我们先明确了条件及结论，之后借助符号语言描述本题，结合图形语言，这样有利于我们理解本题同时也容易书写证明过程，事实上本题也可以结合三个推论进行证明，同学们可以课下尝试例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E是棱CC1上的一点，试说明D1

17、，A，E三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出两个平面的交线 ABCDA1B1C1D1E分析：容易发现D1，A，E三点确定的平面D1AE与平面ABCD有公共点A，则由基本事实3可知两平面相交且两平面的交线必然会通过点A，如果再确定两个平面的一个公共点，由“两点确定一条直线”，这样就可以确定两个平面的交线 例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E是棱CC1上的一点，试说明D1，A，E三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出两个平面的交线ABCDA1B1C1D1EF分析：下面我们寻找两个平面的另一个公共点，观察右图发现：直线D1E在平面D1AE内，直线DC在平面ABCD内，且 直 线 D

18、1E，DC又 是 平 面CDD1C1内两条不平行的直线，所以，直线D1E，DC必相交于一点，不妨记为F，连接A F即为所求交线 例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E是棱CC1上的一点，试说明D1，A，E三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出两个平面的交线ABCDA1B1C1D1E解：因为A平面D1AE，A平面ABCD，所以A平面D1AE平面ABCD，即平面D1AE与平面ABCD相交F 直线 D1E，D1E 平面D1AE，F 直线 DC，DC 平面ABCD，则F 平面D1AE平面ABCD，所以AF为平面D1AE与平面ABCD的交线 例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E是

19、棱CC1上的一点，试说明D1，A，E三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出两个平面的交线ABCDA1B1C1D1EF解：如图在平面DCC1D1内延长D1E 与DC，设交点为F，则本题小结：本题是以正方体为载体对三个基本事实的综合考查，难点在于两个平面交线的确定，事实上由基本事实3知两个平面的交线通过点A，所以确定两个平面的另外一个公共点就成为了解决本题的关键了，这也进一步反映了点、直线、平面的位置关系同时也体现了正方体或长方体模型对于解决立体几何问题的重要性三、本节小结（1）三个基本事实分别是什么？（2）我们如何得到这三个基本事实的？（3）确定一个平面的方式有几种？直线现实事物平面的特征基本事实1抽象类比基本事实2基本事实3推论1推论2推论3生活经验平无限延展平面的基本性质，不同角度的刻画了平面的“平”和向四周“无限延展”确定平面的依据点与平面直线与平面平面与平面四、布置作业1.判断下列命题是否正确(1)书桌面是平面(2)平面与平面相交，它们只有有限个公共点(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合2.下列命题正确的是（）(A)三个点确定一个平面(B)一条直线和一个点确定一个平面(C)圆心和圆上两点可确定一个平面(D)梯形可确定一个平面3.不共面的四点可以确定几个平面？请你画出图形说明你的结论