2023年整式的乘法与因式分解知识点.pdf

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1、整式乘除与因式分解一.知 识 点（重点）1.幕的运算性质：am-an=am+n（m、n为正整数）同底数塞相乘，底数不变，指数相加.例：（一2“）2（3以）32.（m）=am n（m、n为正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘.例：（45）5（n为正整数）积的乘方等于各因式乘方时积.例：（一 2勿3练习:(1)5x3-2x2y(2)-3C5(-4/72)(3)3ab2a(4)y z2y2z2(5)(2九2/3 .(4冲2)(6)a3b 6a5b2c (-ac2)24.*+a n=am_n（aWO,m、n都是正整数，且m n）同底数幕相除，底数不变，指数相减.例：(1)X8-TX2(2)4土 (3)

2、(b)5-r(6fb)2(4)Ga)74-(-a)（5）（功）5 4（功广5.零指数基的概念:ao=1 （aWO）任何一种不等于零时数的零指数基都等于1.例：若（2。-36）。=1成立，则满足什么条件？6.负指数基的概念：a-p=ap（a#0,p是正整数）任何一种不等于零时数的一p（p是正整数）指数幕，等于这个数的p指数基的倒数.也可表达为:(mWO,nWO,p为正整数)7.单项式的乘法法则:单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一种单项式里具有的字母，则连同它的指数作为积的一种因式.例：(1)3a 2 -2abc-abc2(2)(一一加3)3.(-2/”2)43 28.

3、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.例：(1)2ab(5ahi+3a2h)(3)(-5n?2n)-(2n +3m-n 2)2 1 ,(2)(y-2ab)ab(4)2(x+y 2z +盯 243)孙z9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一种多项式的每一项与另一种多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.例：(1)(l-x)(0.6-x)(2)(2x +y)(x -y)(3)C-2m+n)2练习：1.计算 2x 3 (2x y)(一;x y)3 的成果是 2.(3X 108)X(-4X 104)=3.若 n为正整数，且 X

4、 2n=3,则(3x 3n)2M j 值为 4.假如(a n b a b m)3=a 9b 15,那么mn优|值是15.a 2(2a 3a)=6.(4x 2+6x 8),(y x 2)=7.2n(-l+3m n 2)=8.若 k(2k-5)+2k(l-k)=32,则 k=9.(3x 2)+(2x 3y)(2x 5y)3y(4x 5y)10.在(a x 2+b x 3)(x 2 x+8)的成果中不含 x 3和 x 项，贝 U a=_,b=_11.一种长方体的长为(a+4)c m,宽为(a 3)c m,高为(a+5)c m,则它的I 表面积为_ _ _ _ _ _ _ _,体积为12.一种长方形的

5、长是10c m,宽比长少6 c m,则 它 的 面 积 是,若将长方形的长和都扩大了 2 c m,则面积增大了。10.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里具有的字母，则连同它的指数作为商的I一种因式.例：(1)28x 4y 2+7x 3y (2)-5a 5加c+15a必(3)(2x2y)3 ,(-7x y 2)+14x 4*11.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项除以这个单项式，再把所得的商相加.(2)(5Q 3/7 10a 2b 2 15a加)+(例：(1)(3%2 y 6孙)+6盯练习:1.计算:-1型Z 3

6、x w；(5)QX109)+(2X103)(1)16x 3y 3+X 2y 3 -xyLanb24,2(2)-lanbn25 Q +b l Q-b I L +b l Q一b N.(3)|一。+协2 卜4.若(a x 3m y i 2)-?(3x 3y 2n)=4x 6y 8,则 a =,m=(3)16(a-bX-i-4(a b)3 2.2 计算:易错点：在幕的运算中，由于法则掌握不准出现错误;有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数事的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算次序出错。12.乘法公式：平方差公式：(a+b)(a b)=a 2b 2文字语言论述：两

7、个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.完全平方公式：(a+b)2=a z+2a b+b 2(a b)2=a 22a b+b 2文字语言论述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数时积的2 倍.例 1：(1)(7+6x)(7-6x)；(2)(3y +x)(x-3y)；(3)(-tn+2n)(-m-2n).例 2：(1)(X+6)2(2)(y-5)2(3)(-2x+5)2练习:1、(-675 y -(-4 2 )=x(X 3 2)2 2(X 2 y)3 .(q 2)3 =2、6。4人3+1 2 4 3力4-8 4 3 2 =2 4 3 2 ()3、x 2+9

8、 y 2=(x +)2.%2+2 x-35=(x +7)()i i(i v4、已知 x +=5 ,那么 X 3 +一.=_ _ _ _ _ _ _；x =_。X X 3 x)5、若9x 2+机 +16y 2是一种完全平方式，那么小时值是 o6、多项式X 3+X 2,X 2+2x+l,X 2-X-2 的公因式是。7、因式分解：8+=。8、因式分解：4机2+2+1 2=。49、计算：0.131 x 8-0.004 x 8-0.002 x 8。10、XI-y2-X+y=x-y)-A ,则4=易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。13.因式分解(难点)因式分解的定义.把一种多项式化成几种整式的乘

9、积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意如下几点：(1)分解对象是多项式，分解成果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；(2)因式分解必须是恒等变形；(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.二、纯熟掌握因式分解的常用措施.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念；(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般状况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项具有的相似字母；指数相似字母的最低次数；(3)提公因式法

10、的环节：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的I是，提取完公因式后，另一种因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检查与否漏项.(4)注意点：提取公因式后各因式应当是最简形式，即分解到“底”；假如多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.例:(1)8tt3 6 2 +12ab3c(2)75X3J5-35X2J42、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：02b2 (a+b)(a b)完全平方公式：a 2+2 a b+b 2=(a+b)2a 2-2 a b+b 2=(a b)2例：(1)

11、-0.25C2 (2)9(a-b)2 +6(Z -a)+1(3)4 4*2 4a2x29+4x2(4)(x+y)2-12(x+y)z+36z2练习：1、若X 2 +2(优-3)x +1 6是完全平方式，则机时值等于 o 2、X2+x +，=(x -“)2则w=3、23 2与 1 2 x 6 y的公因式是 4、若X，-y，=(x+y2)(x-y2)(尤2+y4),则 m=,n=。5、在多项式“2 +2,-4 2 -8 2,X 4 +4)，2,4 s 2 +9/4中，可以用平方差公式分解因式的J有，其成果是 06、若X 2 +2(m-3)x +1 6是完全平方式，则m=。7、X 2 +()x +2

12、 =(X +2)(x +)8、已知 1 +X +X 2 +x 2 0 0 4 +%2 0 0 5 =0,则 X 2 0 0 6 =.9、若 1 6(4 -b”+A 7+2 5 是完全平方式 M=。1 0、x 2+6 x +(_ _)=(x +3”，x 2+(_ _ _)+9 =(x 3)21 1、若9 x 2+攵+y 2是完全平方式，则k=。1 2、若X 2+4 x 4时值为o,贝！3 x 2 +1 2 x 5时值是。1 3、若X 2 -o x-1 5 =(x+l)(x-1 5)则。=。1 4、若x+y =4,x 2+”=6则 孙=_。15、方程X2+4X=0,的 I 解是。易错点：用提公因式

13、法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；分解因式不彻底。中考考点解读：整式的乘除是初中数学的I 基础，是中考的一种重点内容.其考点重要波及如下几种方面：考 点 1、基的有关运算例 I.（2023年湘西）在下列运算中，计算对的的是（）（A）4 3 =。6 （B）（。2）3=。5（C）。8+。2=4（D）（4。2）2=。2 加分析:累的运算包括同底数褰的乘法运算、募的乘方、积的乘方和同底数基的除法运算.募的运算是整式乘除运算的基础，精确处理基的有关运算的关键是纯熟理解多种运算的法则.解：根据同底数得的乘法运算法则知42=43+2=。5,因 此（A）错；根据幕时乘方运算法则知（42）3 =。2*3

14、 =。6,因 此（B）错；根据同底数幕的除法法则知48+2=2 =。6 ,因 此（C）错；故 选（D）.例 2.（2023 年齐齐哈尔）已知 10，=2,10=3,则 103m+2“=.分析:本题重要考察暴的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幕的乘法法则G=。，+,将指数相加化为哥相乘的形式，再逆用暴的乘方的法则3，）=小,将指数相乘转化为基的乘方的形式，然后裔入求值即可.解：103m+2n=103m X 1。2 =（10）3 X（10）2 =23 X 32=72.考点2、整式的乘法运算例 3.（2023 年贺州）计算：（-2）.（1 -1）=_.4分析:本题重要考察单项式与多项式的乘法运算.

15、计算时,按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算，注意符号的变化.解：(-2 tz),(0 3 1)=(-2 a)a。3 (2 a)1 =,Q 4 +2 a.考点3、乘法公式例 4.(2 0 2 3 年山西省)计算：(x+3 -(x 1)。一2)分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.解：(x+31 -(X-1)G-2)=%2 +6 x+9 -(%2 -2 x-x+2)=%2+6X+9-X2 +2X+X-2 =9X+7.3例 5.(2 0 2 3年宁夏)已知：a+b -,必=1,化简(a-2)(-2)的)成 果 是.分析:本题重要考察多项式与多项式的乘法运算.首先按照

16、法则进行计算，然后灵活变形，使其出现(。+)与油,以便求值.3解：(1 2)(/?-2)=u b-2 a 2b+4 =ab-2(a+&)+4 =l 2 x _ +4 =2.考点4、运用整式运算求代数式的值例 6.(2 0 2 3 年长沙)先化简，再求值：(a+b)(a-b)+(a+b)2-2。2,其中 a=3,b=_；.分析:本题是一道综合计算题,重要在于乘法公式的应用.解：(Q+/?)(一/?)+(Q +/?)2 2 2=2 抗+2 +2ab+m 一 2 2=2ab当Q=3,0 =时，2 人=2 x 3 x(_；)=-2 ,考点5、整式H 勺除法运算例 7.(2 0 2 3 年厦门)计算：(

17、2 xy)(2 x+y)+)。一6 x)H 2 x分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内H 勺，注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算.解：(2 xy)(2 x+y)+y(y 6 x):2 x=(4 x2 yi+y2-6xy)-2x=（4 尤 2 6 肛）：2 x=2x3y.考点6、定义新运算例 8.(2023年定西)在实数范围内定义运算“”，其法则为：。一枚，求方程(43)尤=24的解.分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观测已知的等式。6=。2一上可知，在本题中“”定义的是平方差运算，即 用“”前边时数的平方减去“”后边时数的平方.解：ab=a2-b?,/.(43)x=(

18、42 32)x=7 x=722.7.72-x2=24./.X2=25./.x=5.考点7、乘法公式例 3(1)(2023年白银市)当x=3、y=l时，代数式(+)(万一)+2时值是.(2)(2023年十堰市)已知：a+b=3,ab=2,求 a2+b2的值.解析：问 题(1)重要是对乘法的平方差公式的考察.原式=*2-丫 2+丫 2=*2=32=9.问 题(2)考察了完全平方公式的变形应用，(a+b)i=a2+2ah+bi,；.ai+b2=(a+h)2-2ab-3 2-2 x 2-5阐明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特性，纯熟灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简朴快捷，事半功倍.考点8、因式分解例 4(1)(2023年本溪市)分解因式：xy2-9x=.(2)(2023年锦州市)分解因式：a 2 b-2 a b 2+b 3=.解析：因式分解的一般环节是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观测剩余因式的特性，假如剩余的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；假如剩余的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.(1)xy2-9x=x(y2-9)=x(y+3)(y 3).(2)a2b-2ab2+b3=b(a2-2ab+b2)=b(a-b)2.阐明：分解因式，必须进行到每一种多项式因式都不能再分解为止.