2023年中考数学一轮复习考点 等腰三角形（培优篇）.pdf

《2023年中考数学一轮复习考点 等腰三角形（培优篇）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学一轮复习考点 等腰三角形（培优篇）.pdf（47页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题5.9等腰三角形（培优篇）一、单选题1.（2 0 2 3秋 湖南长沙九年级统考期末）已知.A B C中，Z A B C =45 ,B D A.AC,AD=4,8=6则的 长 为（）A.66 B.1 2 C.8 A A D.1 0 5/22.（2 0 2 2秋江苏常州八年级校考阶段练习）如图，已知等边 中，点。为线段B C上一点，将AC D沿D 4翻折得到V AD E,点C与E重合，连接8E,若Z 4 C=m。则/D 8E的度数是（）BC.(2?-1 8 0 )B.(1 8 0-2/n)D.(1 2 0-，)3.（2 0 2 2 山东日照统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形0A

2、Be的顶 点。在坐标原点，点E是对角线AC上一 动 点（不包含端点），过点E作E B%C,交A 3于F,点P在线段E F上.若。4=4,O C=2,N A O C=4 5。，E P=3P F,尸点的横坐标为机，则A.4m3+&B.3-A/2 HZ4 C.2-夜 胆 3 D.4V M/176.（2023春八年级课时练习）如图，在AABC中,AC=AB,NBAC=9（r,B平分NA8C,与 AC相交于点F，C D L B D,垂足为,交 BA的延长线于点E,A H L B C 交 B D 于点M,交 BC于点H,下列选项不正确的是（）EA.NE=67.5 B.Z A M F=Z A F M C.B

3、 F=2 C D D.BD=A B+A F7.（2023秋 山东聊城九年级统考期末）在RtZABC中，ZA=9 0,有一个锐角为60。,8 c =6,若点P 在直线AC上（不与点A、C 重合），且NABP=3 0 ,则CP的 长 为（）A.6 或2后 B.6 或4石 C.2 G 或4 G D.6 或或4白8.（2 0 2 2 春 安徽滁州八年级校考期末）口 488中，/ABC 的角平分线交线段AD 于点E,O E =1,点 F是8 E 中点，连接C F,过点F作尸G _ L 3 C,垂足为G,设A B =x,若 A 8 C O 的面积为8,F G 的长为整数，则整数x 的 值 为（）A.1 B

4、.2C.3D.1 或 39.（2 0 2 3 春 八年级课时练习）如图,在,乂8。中，点 在边4。上,即=4,Z A=2 Z C B ,延长8。到尸，使 D F=D B,连接C F,过点C 作 C）J _ B 尸于点。，BD=16,A C=2 2,则边B C 的 长 为（）C.1 0 /3D.1 2 7 31 0.（2 0 2 3 秋山东济南 八年级校考期末）如图，C 为线段A E 上一动点（不与点A,E重合），在 AE 同侧分别作等边 M C 和 等 边CDE,AO 与8 E 交于点。，AO 与 B C 交于点P,B E 与C D 交于点Q,连接PQ,下列结论错误的是（）二、填空题C.D E

5、=D PD.PQ/AE1 1.（2 0 2 2 秋新疆乌鲁木齐九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（3,0）,B（-1,O）,C 是 N 轴上一动点.当/3。=1 3 5。时，点C 的坐标为.1 2.（2 0 2 2 秋 河南信阳八年级统考期中）在 等 腰 4 5 C 中，A B=A C,A 3 边上的垂直平分线与AC 所在直线相交于点。，若N D 3 c=3 6。，则等腰一A f i C的底角度数是1 3.（2 0 2 2 秋 浙江嘉兴八年级统考期末）如图，在以点A为直角顶点的R t A A B C 中,A C =2,8 c=8,点。是边8c的中点，以AD 为底边向上作等腰,A

6、Z W,使得N A W =NC,D H 交 A B 于点、K ,则”K=.1 4.（2 0 2 2 秋黑龙江哈尔滨 八年级校考期中）如图，R t Z A B C中，。为4c上一点,连接B O,E 为A B 上一点、,连接QE,作 D F L D E 交B C 于点、F,若N A =2 NF C,Z B D F =45,A D =BF=5,则 A B 的长为.1 5.（2 0 2 3 春八年级课时练习）如图，R t ABC 中，BC=AC=0,O 是斜边A 3 上一个动点，把 A C D 沿直线C。折叠，点A落在同一平面内的A，处，当4。平行于R t A B C 的直角边H 寸，AD 的长为.1

7、 6.（2 0 2 1 秋 河南信阳八年级校考期中）如图，在中，Z A =9 0,Z B =6 0 MB =4,若。是 B C 边上的动点，则2AP+D C 的最小值为.A1 7.(2 0 2 1 秋.黑龙江哈尔滨.八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中)在 A B C 中，/C=9 0。，A C B C,。是 AC 上一点，A D=2 C D,连接 2 0,过点。作。与 A 8 的垂线交于点E,D E交A B于点F,若“皿=2,则线段BC=.V1 8.(2 0 2 2 秋.浙江温州.九年级校考阶段练习)如图，线段A B =6,点C 为线段4 8 上一动点，分别以A C,8 c 为边在AB的同侧

8、作 等 边 A C Q 和 等 边BCE,连结AE、B D交于点、H .(1)当C 为 A8中点时，HC=.(2)点C 从 A运动到8 过程中，“点 经 过 的 路 径 长 为.1 9.(2 0 2 2 秋四川成都 八年级校考期末)已知,A B C 是边长为6的等边三角形，。为48中点.(1)如 图 1,连接C Q,E 为线段8上的一个动点，以防为边长向下作等边三角形8 尸,连接AF,证明：A F =CE.(2)在(1)的条件下，求 B F +；A/的最小值.(3)如图2,G,H 分别为3 C,AC上的动点，连接8”,A G 交于点/,ZA/H=6 0,连接H D交 AG于点J,连接B J并延

9、长交A C于点、K,K H =KJ,试探究BD,BJ,B G的数量关系.cc图2图 120.(20 21 春河南郑州八年级校联考期中)已知线段A B _ L/于点B,点。在直线/上,分别以AB、为边作等边三角形A B C 和等边三角形4 9E,直线C E 交直线/于点尸.(1)当点F在 线 段 上 时，如图，直接写出OF,CE,C F 之间的关系.(2)当点F在线段8。的延长线上时，如图，当 点 尸 在 线 段 的 延 长 线 上 时，如图，请分别写出线段。尸、C E、C F 之间的数量关系，在图、图中选一个进行证明.(3)在(1)、(2)的条件下，若 B D =2BF,E F =6,请直接写

10、出CF的值.21.(20 22秋浙 江宁波八年级统考期末)【基础巩固】(1)如图1,在 A 8 C 中，B D 1 A C,ZA =2 Z C B D,求证：A B A C.【尝试应用】(2)如图 2,在 中，N C =45。，A D 1 B C,ZAEB=2/BAD,CE=1,皮)=2,求A B C 的周长.图222.(浙江省温州市20 22-20 23 学年八年级上学期学业水平期末检测)如图，将一块含45。角的直角三角板A O B 放置在直角坐标系中，其直角顶点。与原点重合，点A落在第一象限，点 8 的坐标为(-2,6),与 y 轴交于点C.(1)求点A的坐标.(2)求 0c的长.(3)点

11、 P在 x 轴正半轴上，连结AP.当N P 4 O 与 C O8的一个内角相等时，求所有满足条件的O P的长.23.(20 22秋 浙江温州八年级校考期中)如图1,A 8 C 中，4?=AC,点N 为AC中点，点。为 A 8 上一点，连结CQ.已知B O:A :C )=2:3:4,a=8.动点P从点8 出发,以 1 个单位/秒的速度沿线段8 A 向终点A运动，设点尸运动的时间为f (秒).(1)求证：C D L A B.（2）若 8P N为等腰三角形时，求f 的值.（3）如图2,动点尸出发的同时，另有一点。从点。出发沿线段3c向终点C运动，速度为g个单位/秒，连结BQPQ,将线段8Q,尸。绕点

12、。分别向顺时针和逆时针方向旋转9 0 ,得到线段QE 和QF,当E,C,F 三点共线时，直接写出f 的值为.图1图224.（20 23 秋江西南昌八年级统考期末）【探究发现】（1）如 图 I,A 5 C 中，AB=AC,/B 4 c =9 0。，点。为3 C的中点，E、尸分别为边AC、A 3 上两点，若满足/E Q F =9 0。，则 AE、AF.A 3 之间满足的数量关系是.【类比应用】（2）如图2,A B C 中，AB=AC,Z B A C =20,点。为8 c的中点，E、尸分别为边AC、A 8 上两点，若满足/瓦）F =6 0。，试探究4 E、AF.A 8 之间满足的数量关系，并说明理由

13、.【拓展延伸】（3）在AABC中，AB=A C =5,N 8 A C =1 20。，点。为BC的中点，E、尸分别为直线AC、A B上两点，若满足C E=1,Z E D F =6 0,请直接写出所的长.A图2备用图参考答案1.B【分析】过点A 作 4EJ_BC于 E,与 相 交 于 点 F,连接C F,然后求出,A 8E 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得A E =3 E,根据同角的余角相等求出空BF=/E A C,然后利用“角角边”证明A 4 C E 和 M E 全等，根据全等三角形对应边相等可 得 所=C E,再求出和一尸C D 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.解：

14、如图，过点A 作A E L B C F E,与 5。相交于点尸，连接。尸，ZABC=45,是等腰直角三角形，:.AE=BEt:B D LA C,：.ZEBF+ZACB=90,ZE4C 4-ZACB=90,/.4EBF=/EAC,Z.EBF=NEAC在/VICE 和 4 3 在:中，AE=BEZBEF=ZAEC=90:AC哙BFE(ASA),：.B F =AC,EF=CE,:./EFC =45。,:NACF+NEAC=NEFC=45。,ZABD+NEBF=45。,:.ZACF=ZABDt又ZADB=ZCDF=90,:.ABD FCD,.AD BD*D F -C D V AD=4,8=6,.BF=

15、AC=4+6=10,.4 BD*整理得，BQ2 1OBD 24=0，解得BD=12或 8。=一 2（舍去），故：8。的长为12.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键.2.D【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质可得AC=M =A 5,则 NABE=ZAE3,根据三角形内角和定理得NC4D=120。-A,则/。4=240。-2稼，将 B 用含加的式子表示出来，则可得/板 的 度数，再用N 4 汨减去NABC即可得NO8上的度数.解：由折叠性质可得，A A D C W A D E,

16、:.AC=AE,ZCAD=ZEAD,.ABC为等边三角形，/.AC=AE=A民ZC=ZCAB=ZABC=60:.ZAEB=ZABE,ZADC=rtfACAD=ZEAD=180。-60。一川=120-n fZCAE=2ZCAD=240-2m,/BAE=ZCAB-ZCAE=2m-80,=4小 小 0。一（2*1 8。）5 0。_ m2/.NDBE=ZABE-ZABC=180-irP-60=120-n f故选：D.【点拨】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.3.A【分析】先求确定A、C、8 三个点坐标，然后求出A 8和 4

17、 c 的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点尸的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可.解：由题意可得。（0,&）,4（4,0）,网4+夜,夜），设直线A B的解析式为y=kx+b0=4%+/?k=则&=(4+&*+匕解得：%=4 直线A 8的解析式为：尸片4,尤=y+4,设直线A C的解析式为y=rwc+nV 2-44五V 2-4m0=4m 4-n则 及=+解得：n直线AC的解析式为：y=-x-,V 2-4 x/2-4；x=4+y-2y/2y,，点尸的横坐标为：.y+4,点 E 的坐标为：4+-2/y,.所=(y+4)_(4+y _ 2近 y)=2啦 y,:E P=3P F,PF 1 行 3

18、4 2.点P 的横坐标为：y+4-y,；0 y&,4 y+4-j 3+A/2.*4 w E=AE=1，BE=AB+AE=3+=4,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得CE=1,BC=ylCE2+BE2=折 故选：D.【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，证明 ACE&OC8（SAS）以及由三角形.边关系得A、B、。三点共线时，AE最大是解题的关键.6.D【分析】由等腰直角三角形的性质可得NABC=NACB=45。，由角平分线的性质和直角三角形的性质可得NE=67.5。；由余角的性质可得NAFM=NBMH=NAMF；由“AS

19、A”nJiitA A B FA A C E,可得AE=AF,B F=C E,由三角形的三边关系可证AB+AFBD；由“ASA”可证 EBD丝Z C B D,可得C D=C E,可证B F=C E=2C D,即可求解.解：AC=AB,/BA C=90,A ZABC=ZACB=45,BD 平分NABC,.ZABF=ZCBF=22.5,VBD1CD,，/E=6 7.5。，故选项A 正确，VAHBC,.,.ZAHB=ZBAC=90,.NABF+NAFB=90。，ZCBF+ZBMH=90,.*.ZAFB=ZBMH,A ZAFM=ZBMH=Z A M F,故选项 B 正确，VCD1BD,；.N B D E

20、=/B A C=90,，NE+NEBD=90,ZE+ZACE=90,；.NEBD=NACE,在AABF和AACE中,ZBAC=ZCAEBD,/.AB+AFBD,故选项D 错误，在AEBD 和ZkCBD 中，/EBD=/CBD BD=BD,/BDC=NBDE/.EBDACBD(ASA),A CD=DE,B F=C E=2C D,故选项C 正确，故选：D.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键.7.D【分析】根据点P 在直线A C 上.的不同位置，NABP=30。，利用特殊角的三角函数进行求解.解：如 图 1 ：图1当 NC=60。时，NA8C=30。，与

21、NAB尸=30。矛盾;如图2：Z4SP=30,ZCBP=60,，PBC是等边三角形,：.CP=BC=6；如图3：图3当 NABC=60。时，ZC=30,VZABP=30,ZPBC=60-30=30,:PC=PB,:BC=6,：.AB=3,PC=PB=二二义=2 6；cos 30 y/3T如图4当 NA8C=60。时，ZC=30,?Z4fiP=30,ZPBC=600+30=90%2故选：D【点拨】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点尸在直线 AC上的不同位置.8.C【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到A 0 和 A 5的关系，然后根据口4 8 8的面积为8,8的长

22、为整数，从而可以得到整数X的值.解：如图所示，延长G尸交A。干点”，四边形A8CQ是平行四边形，FG B C,:ADBC,/FH E=/FG B=90。,：.ZHEF=ZG BF,丁点尸 是 把 中点，EF=B F,在二/7E尸和,G 3F中，ZFHE=ZFGB ZHEF=Z.GBFEF=BF A H E F且 G B F(AAS),H F =GF,：.H G =2 G F,BE 平分/A B C,:.Z AB E =Z E B C,、：A D B C,:.ZAE B =/E B C,:.Z AB E =ZAE B,:.AB =AE,:AB=X9A E =x,:D E =1,:.AO=x+l,

23、.A8C3的面积为8,FG的长为整数，.(x+l).2G F=8,即：(x+l GF=4,二整数x 为。或 1或 3.当x=0 时，AB=O,不符合题意，舍去；当x=l 时，AB=1,A D=2,则此时平行四边形的面积不可能是8,故舍去;.*x=3.故选：C.【点拨】本题考查平行四边形的性质和面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，不定方程等知识.解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.9.A【分析】过点。作CA3交8/于点从 由此可得N4=NEC，NEBA=NEHC,再根据E8=E4可得NA=N E8A,进而可得AC=8=2 2,结合。尸=)8=16可得8尸

24、=32,DH=6,FH=10,再利用垂直平分线的性质可得B C=C R进而可得N F=N C 3E,再结合ZA=2ZCBEf NEHC=NHCF+N F可得CH=FH=10,最后利用勾股定理计算即可求得答案.解：如图，过点。作CH加交8户于点H,*/CH/AB.：.ZA=ZECH,/EBA=/EHC,:EB=EA,：.ZA=ZEBAt：/ECH=NEHC,:.EC=EH,：.EC+EA=EH+EB.即 AC=8=22,又 0/=08=16,：.BF=BD+DF=32.DH=BH-BD=6,:FH=BF-BH=3222=13VCD1BF,DF=DB,:BC=CF,：.ZF=ZCBEf又:4A=2

25、/CBE,：.NEHC=NECH=2NF,又:Z E H C=Z H C F+N F,AZ/7CF+ZF=2ZF,:/H C F=/F,：.C H=F H=Of:,在 R N D C H 中，CD=CH2-D H?=q0。-6?=8，在 RtABCD 中，BC=ICD2+BD2=782+162=85/5，故选：A.【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，根据题意作出正确的辅助线并能熟练运用相关图形的性质是解决本题的关键.10.C【分析】由“S A S”可证V A C*V B C E,可得4 0=3石，/C A D =/C B E,

26、由外角的性质可得/D O E =60。，通过证明二CP。是等边三角形，可得/。尸。=60。=4。3,可证P Q/A E,即可求解.解：A B C和C。6是等边三角形，/.A C =B C,CD=C E,Z A C B =Z D C E =60.8=60。，ZA C D =N B C E =120。,在c A C O和.B C E中，A C=B C,NACO=NBCE,CD=CE.AC哈BCE(SAS),:.A D=B E,/C A D =/C B E,故选项A不合题意；,ZD O E =Z D A C+/B E C,Z D O E =Z C B E+Z B E C =ZA C B =60,故选

27、项 B 不合题意；在A C P和 B C Q中，4 c A D =/C B EC=P,则 N）PC=NDCP=60。，而N D P C 定不等于60。，故选项C不成立，符合题意，【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.1 1.（0,2-疗）或（0,万-2）【分析】在X轴的上方作等腰直角A B F，FB=FA,Z B FA=90 ,以尸为圆心，FA为半径作0尸交N轴于C,K,连接曲,必，C 8,C A首先证明Z A C B=135。，根据FC=2&，构建方程即可解决问题.解：在x轴的上方作等腰直角回FB=FA,/朋4=90。，以F为圆心，神为

28、半径 作 尸交V轴于C,K,连接他，必，CB,CA.ZAKB=-ZAFB=45,ZACB+ZAKB=W ,2,ZACB=135,8（1,0）,A（3,0）,A B F是等腰直角三角形，尸（1,2）,FA=FB=FC=2 6,设 C（0M）,则 12+（2-机）2=（2夜）2,解得机=2-或2+（舍弃），.（0,2-，根据对称性可知Cf（0,V 7-2）也符合条件，综上所述，点C的坐标为伍,2-何 或 倒，近-2）.故答案为：（0,2-6）或（0,五-2）.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外接圆与外心，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成

29、基本作图，逐步操作.解决本题的关键是圆周角定理的运用.12.12。或 48。或 72。【分析】本题分三种情况讨论，根据垂宜平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，设恰当的未知数，解出方程可得到答案.解：当点。在A C上时，如图一：图一V AB边上的垂直平分线交AC于点D,AD=BD,，ZA=ZABD,不妨设 NA=NA8D=x,V AB=AC,NDBC=36。,：.ZABC=ZACB=x+36,在三角形4 8 C 中：x+x+360+x+360=180。,解得x=36。，；ZABC=ZACB=360+36=72；当点。在A C的延长线上时，如图二：图二丁 MD垂直平分A8,AD=B

30、D,ZA=ZABD,V AB=AC,不妨设ZABC=ZAC6=x,:/CBD=3G,：.ZA=ZABD=x+36 f.,在三角形 ABC 中：x+x+x+36=180,解得x=48。，ZAfiC=ZACB=48；当点。在C 4的延长线上时，如图三：图三:垂直平分AB,DB=DA,ADBA=Q A B，AB=A C,不妨设 NA8C=NC=x,，ZJDAB=x+x=2 x,：.ZDBA=2x,：ZDBC=36。，2x+x=36.解得x=12。，ZABC=NC=12。；综上所述，等腰;ABC的底角度数是：12。或48。或72。.【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定

31、理，要求学生考虑问题要全面，解题的关键是能够准确画出三种图并能够熟练掌握相关知识.13.7【分析】过点”作于M,根据直角三角形的性质和等腰二角形的性质得出DM=AC=2,再根据 ASA得出 DHM 三 C B A,从而得到。=8C =8,ZMHD=Z B,再根据三角形的内角和定理得出D”_L A 8,继而得出知K=JA2 AK=4 2-（后 丁=1.然后利用HK=D H-D K =7即可解：过点“作J_A）于例，则 NHM=NHMA=90V ZSAC=90,AC=2,BC=8,/H M D =ABAC,AB=4B C-A C-=82-22=2岳在R tZ V IB C,点3是边5 c的中点，8

32、 c =8,AD=BD=-B C =42二 ZZMB=Z 5.:以A）为底边向上作等腰.AD/7,HM A.AD：.DM=-A D =22DM=AC=2丁 ZADH=/C,:.DHM CBA:.DH=BC=8,ZMHD=NB,:./D A B M H D,:ZANM=/H N K,NHKN=AHMA=90,DHLAB,:AD=BDDK=yjAD2-A K2=.一（屈 j =1HK=DH-DK=7【点拨】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，作 出 辅 助 线 得 出 一 a CB4是解题的关键14.10【分析】利用等角对等边先求出AE=A=5,再构造全

33、等三角形，利用全等三角形的性 质 求 出 尸=5,相加即可.解：如图所示，分别过8 点作BGYDF,垂足分别为M 和 G,:D E 1 D F，:.ZEDF=90,：ZBDF=45,/.DB 平分 NEDF,：.BM=BG,：ZEDF=90,：.ZEDA+ZFDC=90,:ZC=90,，NFDC+NDFC=90,，ZEM=ZFC,;ZA=2AFDC,ZAED=180-2ZFDC-ZADE=180-2ZF)C-(9O-NFDC)=90-NFDC=ZADE,A AE=AD=5,NBEM=ZAED=ZADE=NDFC=NBFG,ZBME=ZBGF=90.：.BME丝BGF(AAS),BE=BF=5,

34、AB=5+5=10.【点拨】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是构造全等三角形和等角的转化.15.2-&或 收【分析】在我公川?。中，B C=A C=0,于是得到A8=2,N 8=N 4 C 8=4 5。，如图 1,当 A7)8 C,设 A O=x,根据折叠的性质得到/A，=N A=N A，C2=45。，AD=AD=x,推出4 C L A B,求得BH=&C=1,也 x,然后列方程即可得到结果，2 2 2如图2,当AZA C,根据折叠的性质得到AO=A7),AC=AC,ZA C D=ZA C D,根据平行线的性质得到N A D

35、 C=N 4C O,于是得到N 4 O C=N 4 C O,推出O=A，C,于是得到A O=A C=&.解：放448 c 中，BC=AC=y/2,.B=2,N 8=N 4 C 8=4 5。,如图1,图1当 设 ,把AAC。沿直线C。折叠，点A落在同一平面内的H处,.N 4=N 4=N 4C 8=45。，AfD=AD=x9V ZB=45,.AC:BH=JBC=,DH=AfD=xt2 2 2，犬+-x+l=2,2：.x=2-五,*AD=2-5/2;如图2,当 4D AC,把AAC。沿直线CO折叠，点4落在同一平面内的4处,：.AD=AfD.AC=AfC9 ZACD=ZA,CDf/NADC=NACD

36、,ZAfDC=ZAfCD,：.AD=AC,.AD=AC=&,综上所述：4。的长为：2-近或6.【点拨】本题考查/翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.16.12【分析】过点C 作射线C E,使 ZBCE=30。，再过动点。作。尸_LCE,垂足为点尸，连接 A O,在 RtZDFC 中，ZCF=30,D F=D C ,2AD+DC=2(AD+DC)=2(AD+DF)A,D,尸在同一直线上，即AF_LC时，AD+QR的值最小，最小值等于垂线段AF的长.解:过点C 作射线C E,使NBCE=30,再过动点。作DF_LCE,垂足为点F,连接AD,如图所示：:.DF=

37、-D C,22AD+DC=2(AD+-DC)2=2(AD+DF),.当 A,D,F 在同一直线上，即AF_LCE时、A0+O尸的值最小，最小值等了垂线段 质 的长，此时，=ZAPS=60。，.XABD是等边三角形，:.AD=BD=AB=4,在 Rt/VIBC 中，ZA=90,ZB=60,AB=4,/.B C 8，.C=4,:.DF=-DC=2,2:.AF=AD+DF=4+2=6,:.2(AD+DF)=2AF=2,;.24)+D C 的最小值为12,故答案为：12.【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含 30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转

38、化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.17.3亚【分析】过点E 作EG，C 4的延长线于点G,连接BE,先证明AG=GE,设AG=GE=。,设C=a,则AD=2a,AC=8C=3 a,勾股定理分别求得友广力石、AB?,AE2,在 R f B D E与Rt ABE中，tgig BE2=B D1+D E2=AB2+A E2 列出关于。力的等式，求得。=b,进而根据邑 m=2,求得。的值，即可求得BC的长.解：如图，过点E 作E G L C 4的延长线于点G,连接BE,设 CD=a,则 A=%,AC=BC=3a,A C =BC,ZC=90,.ZCBA=ZC4B=45,A E 1 B A,.-.

39、ZBAE=90,N E A G=180 90 45=45,EG YAG,ZAEG=45,:.AG=GE,设 AG=GE=6,在 RtABCD 中，BD2=CD2+BC-=tz2+（3a）2=1 0/,在 Rt EG 中，DE2=DG-+EG-=（2a+b+b2,在 Rt ABC 中，AB=BC +AC2=（3a）2+（3o）2=18a2,在 RtA4EG 中，AE-=AG2+EG2=h2+b2=2Jr,在 Rf BOE 与 Rt ABE 中，BE2=BD2+DE2=AB2+AE2，即 I O （2。+加*2 =1 8/+2，解得a=6 或a=0（舍去），.qA EDA 一 ”?:.xADxEG

40、=x2axh=2,2 2cib a=2,解得a=/2（负值舍去）,/.BC=3a=3/2，故答案为：3 4【点拨】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键.18.73 史 兀3【分析】（1）证明一H4B的底角为30。的等腰三角形，即可解决问题.（2）证明ZAWB=120。，推出点”的轨迹的弧AB,设弧AB的圆心为O,连接0 4，OB,过点。作O 7L A 8于点T,求出0A 的长，可得结论.解：如图中,EHD:AC=CB=CE,/.ZAEB=90,丁 ZABE=60%NE4B=30。，同法可证4 5 0 =30。，/.ZHAB=ZHBA=3(T,:HA=HB,:AC

41、=CB=3f.HC.LAB,ACH=BC-tan30=73.(2)如图中，设AE交CO于J.AC。，.ECB都是等边三角形，.CA=CD,CE=CB,ZACD=ZECB=6G0,ZACE=/D C B,AC E DCB(SAS),ZCAE=ZCDB,：ZAJC=ADJH,力HC=ZACJ=巡，ZAHB=120,.点”的轨迹的弧A 5，设弧A 5的圆心为。，连接OA,0 B,过点。作于点V ZAOB=120,OA=OB,OT1.AB.：.AT=BT=3,NBOT=NAO7=60,OA=OB=BTsin 602 6,A B的长=120.2百1804石二-冗3故 答 案 为:小警.【点拨】本题考查轨

42、迹，弧长公式，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.19.(1)见分析(2)外行(3)2BD=BJ+B G,理由见分析【分析】(1)根据等边 三 角 形 的 性 质 证 明 尸，即可证明CE=A F；(2)将5 4沿E4所在直线折叠得g 4,作 用_LA?于H,先根据全等三角形的性质求出NE4B=/E4B =NBC=LN8CA=30。，进 而 求 出 最 后 根 据 勾 股 定 理 求 出2 2BH=BBA=3上即可；2(3)延长H D至M,使得D M =D H ,连接B M,先根据A D =B D证明公A H D

43、 A B M D,进而证明N1=/2 =N3=N M,然后求出区/=8用=A，再根据NA7=60。求出N4=N5,证明ABG丝3C”，求出BG=C，最后根据A C=A 4 +C等量代换得到23Q=R/+3G 即可.解：(1)证明：；ABC,3EF均为等边三角形，BC=BA,BE=BF ,ZCBA=Z E B F =60 ,：.N C B E =Z A B F,ACBEAABF(SAS),CE=AF.(2)解：将5 4沿 必 所 在直线折叠得3 N,作于”,由(1)知CBE丝A5F,ZFAB=Z B C E =-NBCA=30,2c FH=-F A.2可知，B,F,共线时，BF+A F最小，此时

44、最小值为8/r,2.BH=9 BA=3 6 .2(3)解：2BD=BJ+B G,理由如下：延长”。至M,使得DM=D H,连接5M.AA/roAB M D(SAS),:.AH=BM，Z1=ZM.又 KH=KJ,Z1=Z2=Z3,.Z3=ZM,：BJ=BM=AH,丁 N A/=60。，Z4=60-ZAB/=Z5,XZABG=ZC=6O,.ABG丝8C(ASA),:.BG=CH,：AC=AH+CH,，2BD=BJ+BG.【点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键.20.(1)DF=CECF(2)图：DF=C F-C E-.图

45、QF=CE+C尸(3)CF=2 或 6【分析】(1)证明，54。绦C 4 E,根据全等三角形的性质得到B=C E,结合图形得到答案；(2)根 据(1)的方法，证 明.84/注：.C 4 E,根据全等三角形的性质得到5D=CE,结合图，图得到答案；(3)根据全等三角形的性质，结合三个图形，即可求解.(1)解：43。和 都 是 等 边 三 角 形，：.ZBACZDAE,AC=AB,AE=AD,;./BAD =/CAE,在28Ao和。E中，AC=AB.ZBAD=ZCAE,AD=AE,；-BAD空.C4(SAS)BD=CE,/A C E =NABD=90。=ZACF,/./A B D NABC=/A

46、C F -/ACB,:./FCB=NFBC,:.CF=BF,:.CE=BD=DF+FB=DF+CF,故答案为：DF=CE-CF；(2)如图：DF=CF-CE证明：ABC,都是等边三角形，/.AB=AC,AD=AE BAC=DAE=60.:.ZBAD=ZCAE.A B D ACE(SAS).:.CE=BD,NACE=/A B D.ABLBD,:.ZABD =90.:.A C E =A B F =90.ZABC =ZACB=6f),：.NCBF=NBCF=3。.:.CF=B F.DF=BFBD,:.DF=C F-CE.如图：同 理 可 得 A瓦 注.ACE(SAS).BF=FC,DF=BF+B D

47、，:.DF=FC+CE,(3)如图,BD=2B F,.BF=FD,CF=BF,：.FD=CF,A B*ACE(SAS),:.BD=CE=2CF,EF=EC+CF=2CF+CF=3CF,EF=6:.CF=2,如图，BD=2BF,尸=尸2不合题意，舍去，如图，BD=2BF,BF=CF,:.BD=2CF,又.BD=CE：.EF=CE-CF=BD-CF=2CF-CF=CF,EF=6.B =6,综上所述，CF=2或6.【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.21.(1)见分析；(2)2逐+4夜+6【分析】(1)作NA4C的平分线AE交

48、BC于点E,证明即可解决问题；(2)先证明 NB=NBAE,可得 EB=E A,设=则 C=CE+=1 +x,EB=EA=BD+DE=2+x,AD=CD=+x,然后利用勾股定理列出方程求出x的值，进而可得aABC的周长.解：(1)证明：如图，作N 84C的平分线AE交8 c于点E,A/.ABAC=2NBAE=2NCAE，/BAC =2NCBD,.ZCAE=ZCBD,B D LA C,/.ZCBD+ZC=90,/.ZC 4E+ZC =90,/.ZAB=ZAC=90,在和ACE41,ZBAE=ZCAE AE=AE,/AEB=NAEC.VAB石/VACE(ASA),AB=AC；(2)解：在 J B

49、C 中,ZC=45,A D B Cf:.ZADB=ZADC=90,ZB=900-ZBAD,QZJ3AE=180-ZB-ZAEB,NAEB=2NBA0,:.ZBAE=180o-(900-ZBAD)-2ZBAD=900-ZBADf.ZB=ZBAE,.EB=EA,QCE=L BD=2,设。石=%,则 8=。石+。石=I+x,EB=EA=BD+DE=2+x,在,ABC中，ZC=45,A D 1B C,/.Z Z M C =Z C =4 5 ,/.A D =C D=1 +x,在R t Z V I D E中，根据勾股定理得：A E2=A D2+D E2 A C =5 M )2 +C D2=/42+42=4

50、0，A B C的周长=A B +A C+8 C =2+4近+6.【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质及判定定理，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定可理，线段的和差，准确找到各角及各边之间的关系是解决本题的关键.2 2.(1)(6,2)(2)5 (3)5,g或 8【分析】(1)如图作A O _ L x轴于点。，作8 E _ L y轴于点E,证明,O D =O E =6,AD=BE=2,从而可得答案；(2)设直线A 8的函数表达式为：y=kx+b,根 据(1)可知点A的坐标为(6,2),将点A,B的坐标代入函数表达式,可得直线A B的函数表达式为：V =-；尤+5，令x =0 ,则