2023中考数学复习微汇总.pdf

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1、因式分解的“小招数”不少同学在学习了因式分解的基本方法后，解题时还会遇到这样那样的一些小问题，而造成分解的思路不畅，或者分解不彻底.为了帮助同学们解决这些小问题，在此介绍几种因式分解的“小招数”，希望对同学们有所帮助.一、符号变一变例 1 分解因式 +2 a 1.解 原式=_(。2 _ 2 4 +1)=_(“_ 1)2评析 原式有三项，虽有完全平方的“形”却不能直接用公式，提 取 一 号 后，便能套 用“完全平方公式”.二、位置动一动例 2 分解因式解 原式=标-4/=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b)评析 原式是两项式，无公因式可提，需将两项位置对调，才能化为“平方差公式”的形式.三

2、、系数提一提1 ,例 3 分解因式：一一a2+a-l4解 原式二 一一1(a27-4 a +4)=一一1 (a-2)924 4评析 原式有三项，提取首项的系数-1后，括号内的因式便可套用“完全平方公式”4分解.四、括号添一添例 5 分解因式：a2(a-l)-a+l.解 原 式=/(4-1)一(a-l)=(a-l)(a2-l)(a 1)(iz +1).评析 如果把原式不问青红皂白，直接去括号，便弄得越来越复杂，仔细观察原式特点,把 a+1添“一”括号，整个式子中便出现了公因式(a 1),下面的分解就容易了.例6分解因式4 a2 9从.解 原 式=(2。)2-(3勿2=(2 a+3 b)(2 a-

3、3b).评析如果把原式直接套用“平方差公式”，将出现错误的结果：(4。+9份(4。-9 8),添括号后整理成“平方差公式”的形式，便可以正确分解了.例7分解因式4 a2+1239必.解 原 式=(2 a)2+2-2a-3h+(3b)2=(2 a+3h)2评析 如果把原式直接套用“完全平方公式”，将出现错误的结果：4。+9，添括号后整理成“完全平方公式”的形式，便可以正确分解了.显而易见，文中提到的几种“小招数”，在同学们的解题过程中经常会用到，这几种“小招数”的实质，是把比较乱的多项式整理成为我们熟悉的便于用“公式法”或 用“提取公因式法”来分解的形式，从而达到化难为易、化繁为简的目的.“招数

4、”虽小你可不要小觑，只有熟练掌握这些“小招数”，你在解决因式分解问题时才能得心应手、顺风顺水！因式分解的“小招数”不少同学在学习了因式分解的基本方法后，解题时还会遇到这样那样的一些小问题，而造成分解的思路不畅，或者分解不彻底.为了帮助同学们解决这些小问题，在此介绍几种因式分解的“小招数”，希望对同学们有所帮助.一、符号变一变例1分解因式一 +2-1.解 原式=_(q-2 a+1)=(a 1)-评析 原式有三项，虽有完全平方的“形”却不能直接用公式，提 取 一 号 后，便能套 用“完全平方公式”.二、位置动一动例2分解因式-4 +/.解 原式=/-4 =4 一(2 6)2 =(。+2份(。一2份

5、评析 原式是两项式，无公因式可提，需将两项位置对调，才能化为“平方差公式”的形式.三、系数提一提1 ,例3分解因式：一一a2+a-41 ,1 ,解 原 式=一一(/一4。+4)=-(a-2)24 4评 析 原 式 有 三项，提取首项的系数-工 后，括号内的因式便可套用“完全平方公式”4分解.四、括号添一添例5分解因式：a2(a-l)-a+l.解 原式=。2(。一1)一(。一1)=(a-l)(a2-l)=(a-l)2(a+l).评析 如果把原式不问青红皂白，直接去括号，便弄得越来越复杂，仔细观察原式特点,把 a+1添“一”括号，整个式子中便出现了公因式(a 1),下面的分解就容易了.例6分解因式

6、4 a2 9从.解 原 式=(2a)2-(3b)2=(2 a+3 8)(2。-3 b).评析如果把原式直接套用“平方差公式”，将出现错误的结果：(4a+9 b)(4a-9 b),添括号后整理成“平方差公式”的形式，便可以正确分解了.例7分解因式4 a2+1 2。人+9 .解 原式=(2a)2+2 2a 3b+(3ZJ)2=(2a+3b)2评析 如果把原式直接套用“完全平方公式”，将出现错误的结果：4。+9/，添括号后整理成“完全平方公式”的形式，便可以正确分解了.显而易见，文中提到的儿种“小招数”，在同学们的解题过程中经常会用到，这儿种“小招数”的实质，是把比较乱的多项式整理成为我们熟悉的便于

7、用“公式法”或 用“提取公因式法”来分解的形式，从而达到化难为易、化繁为简的目的.“招数”虽小你可不要小觑，只有熟练掌握这些“小招数”，你在解决因式分解问题时才能得心应手、顺风顺水！一道平面几何试题的解法探究题目 有一ZkABC.D为边B C 的中点,DM 平分NADB交 A B于点M,D N 平分/A D C交 A C于点N,则 BM+CN与 M N的大小关系为(.)(A)BM+CNMN(B)BM+CN=MN(C)BM+CNMN(D)不能确定此题小巧灵活，于平淡中见新奇，是一道非常基础同时有显著特色的的小题；同时此题解法多样，是一道能区分考生思维品质的好题.思 路 1考虑到DM,DN分别平分

8、NADB和N A D C,且 B D=C D,若把BD M 与4CDN分别沿DM,DN对折后，则点B,C 落在A D 上的同一位置，于是，可以杷线段BM,ACN 和 M N转化到同一三角形中，使问题得解.A解 法 1如 图 1,在 AD上取点P,使 D P=B D,连 PM,P N,则，屋 及 J vBDMAPDM,Z.BM=PM/B D C同理CN=PN.图1又：NMPD+LNPD=ZB+ZCM N,取 BM+CNM N,选 A.思 路 2 考虑到DM,D N 分别平分NADB和/A D C,可得NMDN=90,即 MDJ_D N,从而可以利用等腰三角形“三线合一”的性质把线段BM,CN 和

9、 M N转化到同一个三角形中，使问题得解.解.法2如图2,延长ND到 E,使 DN=D E.由已知可得MDDN.,AME=MN.显然4BDE丝ZiCDN,；.BE=CN.又,.NABC+NDBE=NABC+/CME,pAp B M+C N M N,逸 A.思 路 3由已知可证朋IVB C,于是可以利用平行线分线段成比例定理计算线段长,进而比较所求线段的大小关系.解的法注3.加BD=应BM 而CD=而CN 闻D n n r.需=需,:.MN BC.MA NA如图3,设 4。交MN于点E,则乙EMD=乙EDM,从而得ME=DE.同理 NE=0E,即 MN=2DE.DE BM D,#AB 八-AD=

10、AB-BM=ADDE-同理c/v=禁 DE.ADf c 4 8 +AC n r，ADAB+AC DE+AC2 2(ABAC),.D E/(AB+AC)2=2DE=MN.应选A.说明 解法3 用到三角形中线长定理，即在aA B C 中，AD是中线，则A D=.AB2+AC2-B C2.2 V 4这一结论在计算线段长时.经常用到.此题是一道选择题，若按照解答选择题的原则，似乎没有必要再进行深究，但是对这道题进行深入探究，有助于我们掌握平面几何中“比较两条线段长度之和a+b 与另一条线段长 c 的大小关系”这一基本问题的解题思路和方法.解.答这类问题，可以采取“合二为.一”的策略，即 把“两条线段之

11、和a+b”转化为另一条线段d,使问题转化为比较c,d 的大小；也可以采取“一分为二”的策略，把线段c分为两条线段a，,b，之和，再比较a+b 与 +b，的大小；还可以分别计算出a+b 与 c 的值，再比较所得两数的大小，我们看到，从不同的角度入手，殊途同归，都可以圆满解决问题.同时也提示我们，解 题 时“勿以题小而不为”，要有针对性地通过观察、类比、联想等，进行一题多解的训练，在多解中求简，在修正.中优化，就能使解题能力的提高落在实处.本题是否还有其他的简单解法，期待大家继续探究，当然，解答完此题，一个自然的想法是，如果把题设条件“ABC的中线AD”换成角平分线或者高，结论又如何？我们提出下面

12、的问题，供大家思考：思 考 1 有一ABC,AD平分/B A C 交 BC于点D,DM平分N.ADB交 AB于点M,DN平分NADC交 AC于点N,则 BM+CN与 M N的大小关系为()(A)BM+CNMN(B)BM+CN=MN(C)BM+CN.MA(B)BM+CN=MN(C)BM+CN=15,A B =16,B C =12,点E是 边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射 线 和 射 线A b交于点G,且Z A G E =Z D A B .(1)略;略;(3)如果点R在边8上(不与点C、。重合)，设=D F =y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.简析 易知VEG4:V E 4D

13、从而有NADE=NG4E=NAED.这样，在VADR中就可以形成“共边共角”型基本图形VADG:N A F D,得A。？=AGg4尸.利用比例关系有AG=所以4。2=一Ab?.只要表达出A尸2,很容易就可以得到问题的x+y x+y答案为 y=-18(9x .(2)当a =1 3 5 时,如 图6(2)所示.因为正方形O E U F 是由正方形O E D F绕点O顺时针旋转1 3 5 所得，所以Z A O E =1 3 5 .在 A A 6 r 和 B O F 中，A O =B O ,Z A O E =Z B O F ,OE=O F ,所 以M O E =A B O k(&1 S).所以 A E

14、*=M,且 A O A E =N O B F .因为 A A C B =N C A O +Z A O C =N C B P +NCPB,Z C A O =N C B P,所以 N C P 3 =N A O C =90,所以梯形中常见辅助线的添加方法本文就求解梯形问题时辅助线的作法进.行归类探究，供参考.一、连结对角线，构造三角形连结对角线的本质是将梯形转化为基本二角形，再利用三角形的一些性质与规律去解决问题.例1求证:梯形面积=（上底+下底）X高+2.二、添加平行线，构造平行四边形证 明 如 图1,梯形A B C D,连结对角线A C，贝!J S 梯 形ABCD=SzkABC+SzXACD.设

15、AA B C的高为h,显然4ACD的高也为h.S 梯 形 ABCD=SAABC+SAACD=-BC h+-A D-h2 2=-（B C+A D）-h2故梯形面积=（上底+下底）X高+2,得证.二、添加平行线，构造平行四边形图1添加平行线的核心是将梯形转化为平行四边形，再运用平行四边形的一些性质与规律去解决问题，添加方法有过顶点向形内或向形外作平行线两种情形.1、向形内作平行线例 2 如图 2,在梯形 ABCD 中，ABCD,ZD=80,NC=50,DC=9,AB=5,求 AD 的长.解 过 点 B 作 BEA D,交 DC于点E.由题可知四边形AD.EB为平行四边形，)-1；.AD=BE.AB

16、=DE=5,/D=N B E C =80.-1-ZC=50.图 2.ZEBC=180-50-80=50,即 BE=EC=D C-D E=4,故 AD=4.2、向形外作平行线例 3 如图3,在梯形ABCD中，ADB C,对角线AC_LBD.若 AD=3,B C=7,则梯形ABCD面 积 的 最 大 值 为.解 过 点 D 作 DEA C,与 B C 的延长线交于点E,易知D E L B D.四边形ACED为平行四边形，即 AD=CE”所以 SAABD=SACED-A n由图3 知,S w ABCD=SAABD+SABCDC EBD,DE.2两边同时平方，得S2t*)KABCD=S2BDE=-BD

17、2,DE2,在 R taB D E中，由勾股定理，得BD2=BE2-DE2=IOO-DE2,S2|ABCD=-(1 0 0-DE2)-DE2-D E4+25DE2.4配方得S2ABCD=-(D E2-5 0)2+625.即当DE2=50时,S2 w ABCD max=625，S ABCDmax=25.故梯形ABCD面积的最大值为25.三、添加垂线，构造直角三角形或矩形作垂线一般是将梯形转化为矩形与直角三角形，再运用二者的规律去.解决问题，例 4如图4,在等腰梯形ABCD中，上底为10,下底为18,腰长为5.求梯形的面积.解 过点A、D 作 BC垂.线，垂足分别为E、F,；.AEDF,四边形AE

18、FD为平行四边形，)即 EF=AD=10./：根据对称性可知，Z_ L_ LAB E F CB C-E FBE=CF=-4.图 4在直角4A B E 中，由勾股定理，得AE2=AB2-BE2,.AE=3.故梯形的面积为：S=-(AD+BC)AE=42.四、反向延长腰，构造特殊三角形若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延长腰将梯形转化成特殊三角形，达到简化问题的目的.例 5 如图 5,已知梯形 ABCD 中，AB=CD,ADBC,ZB=60,AD=2,BC=8,求此梯形的周长.解 反向延长AB,DC交于点E,由题意可知，AEBC为等边三角形.又；N EA D=/ED A=60.,.EAD为等边三

19、角形，.*.AB=BE-AE=B C-A D=8-2=6.故梯形的周长为AB+BC+CD+DA=6+8+6+2=2 2.五、添加中位线作中位线的目的是利用中位线定理去解决问题.例 6如图6,已知AEDH,B,C 分别是A D 的四等分点，F、G 分别是EH 的四等分点，AE=28.D H=3 6,求 B F和 CG 的长度.解 分别取AD、EH 的中点M、N,连结MN,AM N是梯形ADHE的中位线，即 M N=J(AE+DH)2=；(28+36)=32.又,.BF、CG分别是梯形AMNE、MDHN的中位线,.B F=-(AE+M N)2=；(28+32)=30,CG=-(M N+D H)2=

20、-(32+36)2=34.六、作过顶点和腰中点的连线，构造全等三角形添加该辅助线后，通常是将梯形转化为多个三角形与四边形，再寻找其中的全等.三角形解决问题.例 7如图7,梯形ABCD中，M.为腰AD 的中点，M HLBC于点H.求证：S 悌)BABCD=BC MH.证明 连结C M,并延长交A B的反向延长线于点N,连结BM.根据题意，由“角边角”可知DMC 丝AMN,于是 CM=MN,S411tle-S2MN,S A C M B =S 4H故 Sd彩 超 C D =2S ACMB=2 x-B C -MH=BC MH.七、添加对称轴，利用对称性具备对称性质的图形十分优美，梯形中添加对称轴后，对

21、应的线段、角度等均相等.例 8如图8.,在梯形ABCD中，ADBC,A B=C D.请在梯形内部求作一点0,使0A=0B=0C=0D.作法 作梯形ABCD的对称轴分别交AD、BC于点M、N.(2)作腰A B的垂直平分线交M N于点O,则点0 即为所求作点，证明：M N为梯形ABCD的对称轴，.M N垂直平分AD、BC,/.OA=OD,0B=0C.又 点0 是腰A B的垂直平分线与M N的交点，OA=OB.故 OA=OB=OC=OD.四边形四边关系问题探析由于受到思维定势的影响，许多同学一看到求多边形边长的取值范围的问题时，就想到用三角形的两边之和大于第三边，或三角形的两边之差小于第三边.其实对

22、于某些问题来说,用“两点之间，线段最短更为直接简单.一、洞题的提出问 题I在一个四边形中，已知其中三边长，为3、5、12,则第四边的长度X的,取值范围是.分析本题可以将问题进行如下的转化，如 图1,在四边形ABCD中，已知48=3,3 c=12,C=5,求.第 四 边 的 长 度x的取值范围.解答 连结A C,设AC=m,根据三角形的任意两边之和大于第.三边，得9m mx-5 9 x-5 15解得4 c x 20.笔者认为以上解法缺少理论依据.于是本人对本题进行了研究，提出如下方法求解.另解一如图2,连结3。，设&)=，在V3C。中，根据三角形的任意两边之和大于第三边.得7n17.而在VBCD

23、中，有x+3.x-3 7 x-317解得 4x20.但是，笔者想到一个反例，将四边形ABCD的边长进行了适当调整，得到一个不同的结果.如图3,在四边形ABC。，已知AB=3,BC=5,CD=1 2,求第四边AO的长度x的取值范围.连结A C,设AC=m,在VABC中，根据三角形的任意两边之和大于第三边，得2 m m.x-12 2x-128解得 0 x ADAD+AB+BCCD解法 1C O+3C +Z）A A B，CD+DA+ABBC3+5+12xx+3+5 12即“12+5+x3-12+x+35解得4 vxv2 0（如图4）.图4在解上面的不等式组时，我们发现下面的一个重要的结论:不在同一条

24、直线上的四条线段满足较小的三条线段之和大于最长的线段，那么由这四条线段可以构成四边形.解法2由于不知道最大边是AO或是C。，故有AB+BC+CDADAD+AB+BCCD3 +5 +1 2 x即Ix+3+5 1 2解得4cx 2 0（如图4）二、对结论的拓展类比三角形的三边关系和四边形的四边关系，我们得到下面两条结论:不在同一条直线上的条线段满足较小的（-1）条线段之和大于最长的线段，那么由这条线段可以构成“边形.问 题2 在 一 个 边 形 中，己 知（一 1）条 边 长 为 、的、a3 -an-（q W 4 W /x4 +。2+。3+一 +尤 。一 解得:m a x 0,a,ik 2 工 4

25、 +4+/+一+。1（如图 5）.3Ay24,三、解题体会1、数学定理、公式等的附加约束条件越多，其适应范围就越窄;反之，数学定理、公式等的附加约束条件越少，其适应范围就越宽.2、得到一个结论或一种方法，不论有多少个是正确的，只要有一个反例，那么这个结论就是错误的.3、对问题的理解越深，解决问题的方法越简单.任意三角形三条高的长度关系及其应用三角形三边之问的关系是大家是非常熟悉的性质，即“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”.其实任意.三角形的三条高之间的长度关系也有着密切的联系设三角形三条边分别是a、b、c对应边上的高分别为h a、h b、h e不失一般性，令ab2c,由面积关系

26、a h a=b h b=c h c，知,h hh hh,b=c,a=chb q再由b c a b.+c,可得he%h%化简整理，得上一_1 -!-1+-!-hb hc ha h,hc同理可 得-+%hc hh ha hcha hh hc hu hb这就是：任意三角形两条高的倒数和大于第三条高的倒数，任意三角形两条高的倒数差小于第三条高的倒数.下面举例说明上述结论在解题中的应用.例1试判断长度分别是1、2、3的三条线段能否作为一个三角形的三.条高.解 根据三角形三条高的长度关系，如果长度为1、2、3的三条线段可以作为一个三角形的三条高，那么必须有1一,_ 1,所以长度分.别为I、2、3的三条线2

27、 2 3段不能作为一个三角形的三条高.例2已知4 A B C的两条高线的长分别为5和2 0,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值是（）解令第三条高线长为m,根据三.角形三条高线的长度关系，得所以第三条高的最.大值是6.例 3 zABC 的三边为.a、b、c,且 a=2,SAABC=1,hb、%（、%）分别为 b、c 边上的高,试证明hbhc hbhc+hb.证明 因为2sAABCna ha,将 a=2,SAABC=1 代入得 ha=1.由-1，得hb hc ha hb hc-hc-hbhchh.hc同理可得hc hh hc+hh,hchbhc hb=AC=2百，A B =y6解析

28、通过题干中的条件6 c=8=A C,我们可以想到以。为圆心，6 c为半径作圆.根据圆的性质:直径对应,的圆周角为直角，可 以 延 长 交 于。C于点E,连接。E,如图所示，此 时V3DE为直角三角形.QABC,:.AB=D E =&,由勾股定理得6。=屈 BD.点拨根据题干中的线段相等，从而构建辅助圆，接着利用圆的性质进行解题.其中需要注意的是，虽然辅助圆能做出，但是要想解题，就要对圆的性质有一个深刻的理解.二、几何问题中的求角的度数求角的度数问题一般都是以三角形为载体，该.问题的常规解法是利用三角函数的知识去解答.，但是由于初中数学只学习了一些特殊的三角函数值且在直角三角形的载体中.当遇到一

29、般的三角形，此时学生往往会无计可施例2 如 图 所 示，在VABC中，其 中A6=AC,是NA8C的 平 分 线，B D+A D=B C,则NA=.解析 由题意得，本题要求的是N A,由于此题告知任意一个角的大小且VA8C也不是直角三角形“因此运用三角函数的知识是很难解答该题的.由题干中8。平分N A 8C,可得NA80=N06C.作VA8C的外接圆，如图所示.根据圆的性质可得，因为四边 形 为 内 接 四 边 形，所以NABC=NDC=N C,所以2NC=ZD8,DE=EC.因 为 BD+AD=BC=BE+EC 且 AD=DE=EC，所 以 BE=BD.因 为ADEB=NBDE=2/C ,在

30、 YBDE 中，ZDEB+ZBDE+ZDBE=180,即4ZC+-Z C =180,得 NC=4O。.在 VA8C 中，ZA+ZABC+ZC=180,得2ZA=100.点拨此题是根据角平分线从而想到画出三角形的外接圆，然后找出各角之间的关系进行解答的.因此，在求解角的度数时，要充分运用辅助圆，找出相等的角，最后通过运用三角形内角和为180列出式子求解.此类题型的难点在于，如何画出辅助圆.三、几何问题中的求.最值一求最值的问题在中考中是常见问题，其一般的思路就是设未知数，然后寻找关系列出函数表达式，即可解答出.虽然解题思路清晰，但是此类题型的难点就是在如何将条件整合起来，找出其之间的关系，例3如

31、图所示，在MVA6C中，ZBAC=30,AB=2也,动点P、。分别在A 3、4 c 上，NCPQ=90。，则 C Q m in M.解析 经过审题后，感觉CQ就是独立的，无法向已知条件上靠，唯一可以用的就是.NCPQ=9 0,但是无法运用勾股定理，因为三条边都是未知的.但是通过仔细审题，从条件NCPQ=90出发，可以想到圆的直径对应的圆周角为直角此时可以试一 下，看画.出辅助圆对解题有无帮助.通过图可以看出，要想CQ最小，AB与.0 0要相切.此时就可以根据O P A B ,O P =O C ,可得 ZAPQ=3 0 ,此 时 设 PQ=OQ=OP=OC=r,3r=AC=cos30g4B=3,

32、解得r=l,所以0 2 =2.点拨根据题干中条件画出辅助圆，借助圆的性质:圆心到切点之间的线段最短是解答本题关键，可见辅助圆对题目的，综合分析起了很大的作用.其中需要特别注意的是，当题中给出直角时不能单单的只想到勾股定理也要联想到圆综上所述，在解答几何问题时，如若发现运用常规方法不能解决问题或是解决过程比较繁琐，此时可以通过仔细审题，挖掘题干中与圆有联系的条件，从而做出辅助圆进行分析解题.由于做出辅助圆的关键就是善于捕捉题干的细节之处，这对学生的要求比较高，因此学生要在以后的学习中勤总结.巧用补形法解几何题解题中，对于比较复杂或不太规则的图形，我们常需要将它分割成规则的熟悉的图形，但有时仍然不

33、容易找到思路，这时可考虑换一个角度，通过补图达到化难为易的目的.补形法是几何解题中的一种重要方法，现以几个经典题为例说明如下.一、补成特殊的三角形遇到题中有角平分线，垂线，中线中的两个作为条件同时出现，可考虑将图形补为等腰三角形.例1如 图1,AQ为VABC的角平分线，且=过点C作 直 线 的 垂 线，垂足为E,求证:AE=L(AB+A C).2思 路1 .延长AE到点N,使得E)=E N,连结CN.思路2 1延长AE到点H,使AH=2A E,连结CH.注直角三角形遇到题中有两角互为余角或有直角时，可考虑补形为直角三角形.图 1例 2 如图 2,五边形 A3CDE 中，B C =D E,N C

34、 =N D ,N B =N E =90,求证:=思 路1延长3C,ED相交于尸点，连结A尸，构造直角三角形.思路2 延长A 3,AE交 直 线 于 M,N两点，构造等腰三角形.注 条 件 中 只 要 有 6 0 ,可考虑补形为等边三角形.例 3 如图3,7 A B e是等边三角形，延长BC至点。，延长84至点E,使 AE=连结C E、E D,求证:E C =ED.思 路 1 过点 作E H垂直B D 于点、H,利用3 0 一直角三角.形的特殊性质.思路2 过点E作 E”平行BD交 C4延长线于点二、补形为四边形1 .遇到菱形的判定条件（如两邻边相等）时，可考虑补形为菱形例 4 如图 4,在五边

35、形 A B C O 石中，Z A =30,N 8 =N E =150。，Z B C D =90,A B =A E =8,C D =3,求五边.形A B C D E 的周长.图 4思路 过点。、C分别作E。，A8的垂线交于M,N 两点2 .遇到矩形的判定条件如有三个直角等时，可考虑补为长方形.例 5如 图 5,三个正方形连续紧靠着,它们的边长依次记为外 ,4，则图中V A B C的 面 积 为.（用 q,a2,心”的代数式表示）图5思路先利用相似三角形性质求两个三角形的公共底.3.遇到等腰直角三角形时，可考虑补形为正方形.例 6 如图 6,在VA6C中，ZBAC=90,AB=A C,。是 AC

36、中点，AE1BD于点E,AE延长线交8C于点F,求证:=思 路1过A,。作的垂线，垂足为G,H,先证ZDBH=NFDH.思 路2过点A作AG，3C于点G,AG交8 0于点M,先证VACE今BAM,再证 VC。/7 W AD M.三、补形为圆遇到对角互补的四边形，同底同侧相等的三角形等条件时，可考虑补作圆.例7如图7,在VA8C中，高BE、CF相交于点H,且ZBHC=135,G为VABC内的一点，且GB=GC,ZBGC=3 Z A,连结H G,求证:“G平分思 路1计算得24=45,B,G,H,C四点共圆，故NB G=22.5.思 路2 计算得NA=4 5 ,设GC,BH交点、为MM,VGMB:N H M C,再证NGHM:NBCM,故 NB”G=22.5.