2020-2021学年高一年级下册期末考试数学试卷及答案解析.pdf

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1、2020-2021学年高一下期末考试数学试卷一.单 项 选 择 题（共 8 小题，每小题5 分，共 40分）1 .已知复数z 满足iz=-i,则，=（）A.-1 -i B.1 -i C.-1+z D.1+iT 2 T 1 T2 .点 产 是 4 5 C 所在平面上一点，若4 P =B+豺 C,则 A 3 P 与AACP的面积之比是（）1 1A.3 B.2 C.D.一3 23 .已知腰长为3,底边长2为的等腰三角形A B C,。为底边BC的中点，以A。为折痕，将三角形A 3。翻折，使则经过A,B,C,。的球的表面积为（）A.10T T B.1 2 i r C.16T T D.20K4 .某 班

2、4 5 名同学都参加了立定跳远和1 0 0 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和1 0 0米跑合格的人数分别为3 0 和 3 5,两项都不合格的人数为5.现从这4 5 名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅 1 0 0 米跑合格、两项都不合格四种）抽出9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）A.1 A B.2 人 C.5 人 D.6 A5.某医院治疗一种疾病的治愈率为5 0%,下列说法正确的是（）A.如果第1 位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈B.2 位病人中一定有1 位能治愈C.每位病人治愈的可能性是5 0%D.所有病人中一定有一半的人能治愈6.

3、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事 件“至少有1 名男生”与事件“至少有1 名女生”（）A.是对立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件7.如图，设正方体A B C。-ABCD的棱长为1,则直线B 1 C 与平面4 8 1。所成的角是（）第 1 页 共 2 3 页71c.一4D.arccos-O8 .某人在5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,1 0,1 1,9.已知这组数据的平均数为1 0,则 x+y 的 值 为（）A.1 0 B.1 6 C.1 5 D.2 0二.多 选 题（共 4小题，每小题5 分，共 2 0 分）9.已知向量

4、2）,02=（2,1）,若向量a =2 送1 +2 62，则可使入1 入 2 ,则经过A,B,C,。的球的表面积为()A.1 0 n B.1 2 n C.1 6 n D.2 0 n【解答】解：如图所示，由题意可得：DB,DC,OA 两两相互垂直.A D2=32-1 2=8.设经过A,B,C,。的球的半径为R.则 4/?2=12+12+8=1 0.第9页 共2 3页，球的表面积=10TT.故选：A.4.某 班 4 5 名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和 3 5,两项都不合格的人数为5.现从这4 5 名同学中按测试是否合格分层（分成两

5、项都合格、仅立定跳远合格、仅 100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）A.1 A B.2 人 C.5 A D.6 A【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为X,则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30-x,则 30-x+35+5=45,得 X25,即这两项成绩均合格的人数是25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9x=5,故选：C.5.某医院治疗一种疾病的治愈率为5 0%,下列说法正确的是（）A.如果第1位病人没有治愈，那么第2 位病人一定能治愈B.2 位病人中一定有1位能治愈C.每位病人治愈的可能性是50%D.所有病人中一定有一半的人能

6、治愈【解答】解：某医院治疗一种疾病的治愈率为50%,对于A,如果第1 位病人没有治愈，那么第2 位病人治愈的概率为5 0%,故 A 错误；对 于 8,2 位病人中每个人治愈的可能性都是5 0%,或两人都能治愈，或 有 1位能治愈，或都不能治愈，故 8 错误；对 于 C,每位病人治愈的可能性是5 0%,故 C 正确；第1 0页 共2 3页对 于D,所有病人中每个人治愈的可能性都是5 0%,但所有病人中不一定有一半的人能治愈，故。错误.故选：C.6.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事 件“至少有1 名男生”与事件“至少有1 名女生”（）A.是对立事件B.都是不可能事件C.

7、是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件【解答】解：事 件“至少有1 名男生”与事件“至少有1 名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件，故选：D.7.如图，设正方体ABC。-A1 81 C 1 D 1 的棱长为1,则直线B C与平面4 81 0 1 所成的角是（）【解答】解：以。为坐标原点，建立空间坐标系如图：则 4 (1,0,0),D i (0,0,1),B(1,i,1),C(0,1,0).则B：C =(-L 0,-1),ADy=(-1,0,1),ABi=(0,1,1),设平面A B i D 的法向量为7=(x,y,z),则由卜=得 二 二

8、 二 针，令 z=l,n-A B O U+z =U则 x 1 f y 1 即九=(1,1,1).则B；C =(1,-1,1)(-1,0,-l)=-l-l =-2,而|=遍，|B；C|=&.第1 1页 共2 3页T T所 以 设 直 线 BAC 与 平 面ABD所 成 的 角 是 0,则s i n O =|cosG-O)|=40=mi/。最 后=善 所 以 cos 易|iny/3即 8=arccos-.8.某人在5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,1 0,1 1,9.已知这组数据的平均数为1 0,则x+y 的 值 为（）A.1 0 B.1 6 C.1 5 D.2 0【解答】解：因为

9、x,y,1 0,1 1,9 这组数据的平均数为1 0,1所以：-（x+y+1 0+1 1+9）=1 0=x+y=2 0；故选：D.二.多 选 题（共 4小题，每小题5 分，共 2 0 分）9.已知向量4=(-1,2),e2(2,1）,若向量；=乙1+入2，则可使入1 入 2 V o 成立的以 可 能 是（）A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)【解答】解：e1=(-1,2),e2=(2,1),向=A i?+入 2,2 (-入1,2 A 1)+(2 入 2,入 2),=（2 入 2-入1,2 入 1+入 2）,若使入I 入 2 Vo成立，a=（1,0）,则 2 入 1+入

10、2=0,满足题意,第 1 2 页 共 2 3 页a=(0.1),则2入2-入1=0,不满足题意，a=(-1,0),则2入i+入2=0,满足题意，a=(0,-1),则2入2-入1=0,不满足题意，故选：AC.10.如图，矩形ABC。中，AB=2AD=2,E为边A 8的中点.将AOE沿直线O E翻折成4OE(点4不落在底面8CE内)，若M在线段4 c上(点M与4,C不重合)，则 在 翻 转 过 程 中，以下命题正确的是()A.存在某个位置，使OEJ_4cB.存在点M,使得平面4 C C成立C.存 在 点 使 得“8平面AiCE成立V2D.四棱锥4 -BCDE体积最大值为一4【解答】解：对于A,假设

11、存在某个位置，使D E L A C,取D E中 点O,连接 AiO,C O,显然 AOVDE,而 A i O n A i C=A ,，。平 面 AOC,OCu平面 AOC,J.D E L O C,则 CE=C。，但 C E=C D=2,不可能相等，所以不可能有DELAC,所以A选项错误；对于8,若存在点M,使得平面4 O C成立，因为C Q u 平面A iQ C,所以BM_LOC,又因为且所以CD_L平面8 c M,又因为CWu平面BCM,那么COJ_C M,又因为4 D Eu平面 A D E,平面 ADE,由D N与E B平行且相等得D N B E是平行四边形，B N/DE,同 理得BN平面

12、A D E,而B N C M N=N,二平面B M N平面AiDE,BMu平面 BMN,平面 ADE,所以选项C正确；对于。，/A D E是等腰直角三角形，A至I J D E的距离是y,当平面AiOE_L平 面B C D E时，A1到 平 面B C D E的距离最大为 y,1Q又 SBCDE=2X 1 -x 1 x 1=2,V 以大=1 x|x y =42W 所以选项。正确.第1 4页 共2 3页故选：CD.1 1.某赛季甲、乙两名篮球运动员5 场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为3 2,乙得分的平均值为2 4,则下列结论正确的是()A.尤=8B.甲得分的方差是736C.y=26D.

13、乙得分的方差小于甲得分的方差【解答】解：甲得分的极差为32,A30+X-6=3 2,解得 x=8,故 A 正确;乙得分的平均值为24,1A-(12+25+26+20+9+31)=24,解得y=6,故 C 错误；甲得分的平均数为：1-(6+14+28+38+34)=24,5二甲得分的方差是：5X2=1(6-24)2+(14-24)2+(28-24)2+(38-24)2+(34-24)2=147.2,故 B错误；乙得分的方差是：S22=(12-24)2+(25-24)2+(26-24)2+(26-24)2+(31-24)2=125.2,工乙得分的方差小于甲得分的方差，故。错误.故选：AD.1 2.

14、我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是()第1 5页 共2 3页B.这1 1天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第I I天复工复产指数均超过8 0%D.第9天至第1 1天复产指数增量大于复工指数的增量【解答】解：由图可知，这1 1天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；由折线的变化程度可见这1 1天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故8错误；第3天至第1 1天复工复产指数均超过8 0%,故C正确；第9天至第1 1天复产指数增量大于复工指数的增量，。正确；故选：CD.三.填 空 题(共 4 小题，每小题5 分，

15、共 20分)1 3 .复数 z=(a+i)(1 -z)(a GR),i 是虚数单位.若 a=2,则|z|=_-/1 0 _；若 z=-1+3 i,则 a-2 .【解答】解:若。=2,贝i j z=(2+/)(1 -z)=3 -i,则|z =,3 2 +(-I)?=V T o；又 z=(a+z)(1 -)=(a+1 )+(1-(/)i,且 z=-1+3。.；+1 =U，即 a=-2.(1 a =3故答案为：V T o：-2.1 4 .已知圆柱底面圆的半径为1,高为3,矩 形 为 圆 柱 的 轴 截 面，一只蚂蚊从A点出发，从侧面爬行一圈半到达C点，则蚂蚁爬行的最短距离为_ 3荷 巨 _.【解答】

16、解：由题意画出蚂蚁爬行的路径，如图所示：第1 6页 共2 3页DG仄G将圆柱的侧面展开，其 中 AB,BA,4 历 为底面圆周的一半，则 AD=B2c2=3,AB2=X 2nr=3兀，则蚂蚁爬行的最短距离为线段4 c 2,在 矩 形 AB1C1D中，AC2=AB：+B2c及=V9TT2+9=371Tz+1,所以蚂蚁爬行的最短距离为3析TT,故答案为：3 7 不I.15.已知样本7,8,9,x,y 的平均数是9,且孙=1 1 0,则此样本的方 差 是 2.【解答】解：.样本7,8,9,x,y 的平均数是9,且孙=110,.(xy=110力 +8+9+x+y=9 x 5 解得工=10,y=ll 或

17、 x=ll,y=10,此样本的方差为：S2=1(7-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(1 0-9)2+(11-9)2=2.故答案为：2.16.如图，长方体ABC。-A1BC1D1的体积为60,E 为 CC1的中点，则三棱锥E-B C D 的体 积 是 5.【解答】解：在长方体ABC。-AIBICIDI中，设 A 8=a,AD b,AAi=c,第 17 页 共 2 3 页由题意可得，abc=60,V E jC C i的中点，.T/_ 1 1,1 _ 1,_ c VE-BCD=3 2a 2c =12 c =5 故答案为：5.四.解 答 题(共 6 小题，第 17小 题 10分，第 18-22小

18、题每题12分，共 70分)1 7.已知=i (a,b R),其中i 是虚数单位.b+2i(I)求 a,b的值；(II)设 zi,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z=a+bi,求 ziz2的值.a+(l+i)2 a+2i【解答】解：(I)E#J=i得=7=i,b+2i b+2i得 a+2i=-2+初，由两复数相等得：R =；2；3 =2(0)由(I)知：Z1=-2+2/,；Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，.z2=2+2i,：.Zi-z2=(-2 +20(2+21)=(2i)z-22=-8.1 8.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取 50

19、名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分 到 145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组 65,7 5),第二组75,8 5),第八组135,145,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2 名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.第1 8页 共2 3页1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004

20、)X 10=0.08.完成频率分布直方图如下：(2)用样本数据估计该校的2 0 0 0名学生这次考试成绩的平均分为：70 X 0.004 X 1 0+8 0 X 0.0 1 2 X 10+90 X 0.016 X 1 0+100 X 0.030 X 10+11 0 X 0.0 2 0 X 10+1 2 0 X0.006 X 10+130 X 0.008 X 10+140 X 0.004 X 10=102.(3)样本成绩属于第六组的有0.0 0 6 X 1 0 X 5 0=3人，样本成绩属于第八组的有0.004X1 0 X 5 0=2 人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基

21、本事件总数=Cg=10,他们的分差的绝对值小于1 0分包含的基本事件个数m=废+的=4,他们的分差的绝对值小于1 0分的概率片w=白=11 9.已知向量之=(5,-12),b=(-3,4).第1 9页 共2 3页（i）求Q与b夹角e的余弦值;（2）若向量展+仍与2 b垂直，求实数/的值.【解答】解：(1)总 工=5 x(3)+(1 2)x 4 =-6 3,|a|=13,b=5,/.COS0=口 必日H&63 65f(2)*.*C L+tb=(5,-12)+t(-31 4)=(5 12+4t),a-b =(5,-12)一 (-3,4)=(8,-16)T T T又a+tb与a-b垂直，T T T

22、T/.(a+tb)(a /?)=0,即 8(5-3t)-16(-12+4r)=0,解得t=胃.2 0.为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要“的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现分别从A,B,C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如表（单位:厘米）：4组10111213141516B组12131415161718C组13141516171819假设所有植株的生长情况相互独立.从A,B,C三组各随机选1株，4组选出的植株记为甲，8组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙.（I）求丙的高度小于15厘米的概率；

23、（I I）求甲的高度大于乙的高度的概率；（H I）表格中所有数据的平均数记为网.从A,B,C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14,16,15（单位：厘米）.这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为囚，试比较卬和用的大小.（结论不要求证明）【解答】解：（I）设事件4为“甲是4组的第，株植物”，事件Bi为“乙是B 组第i 株植物”，事件G为“丙是C组第i株植物，i=l,2,3,4,，7,第2 0页 共2 3页由题意得尸(A i)=P(Bi)=P(C i)=1.z=h 2,3,4,7,设事件。为“丙的高度小于15厘米”，由题意。=C iU C 2,且。与 C2互

24、斥，丙的高度小于1 5 厘米的概率为：112P(=P(C1UC2)=号(I I)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，,甲的高度大于乙的高度的概率为：P(E)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6BI)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A6B3)+P(A7B3)+尸(A7B4)=1 0 尸(A l B l )=1 0 X y X y =(H l )所 有 数 据 的 平 均 数 W(1 0+1 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9)-1 4

25、.6 7,1阳=24(1 0+1 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9+1 4+1 6+1 5 )1 4.7 1.|i o,B F L C D,垂足分别为E、F.若 A B=4 E=2,CD=5,D E=1,将梯形 A B C 沿 A E,8 尸折起，且平面/1 )：1 _ 平面 ABFE(如图2).(I )证明：AFLBD；(H)若 C/O E,在线段A3上是否存在一点尸，使得直线C P与平面A C Z)所成角的正V 6弦值为7 7,若存在，求出AP的值，若不存在，说明理由.

26、【解答】解：(1 )证明：.平面A O E L 平面A B F E,O E u 平面A Q E,第 2 1 页 共 2 3 页平面 A D E 平面 ABFE=AE,DELAE,.E_L平面 A 8F E,又 AFu平面 ABFE,：.DEYAF,又正方形 A8FE 中，A F B E,且 BECDE=E,OEu平面 BDE,BEu平面 BDE,，AF_L 平面 BDE,平面 BQE,：.AFBD.(I I)解：由(I)知，。E、EA.EF两两垂直，如图建立空间直角坐标系,.,CF/DE,CFX5!2 ABFE,则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2),D(0,0,1),AD=

27、(-2,0,1),AC=(-2,2,2),设平面AC。的一个法向量 =(x,y,z),T Trn.f AD-n=-2x+z=0.1夕 日 一 i 八则 T T ，取 X=l,得n=(1,-1,2),AC-n=-2x+2y+2z=0设 尸(2,r,0),且 0W/W 2,则(2,r-2,-2),设直线CP与平面ACD所成角为0V6 ,在线段A 8上存在一点P,使得直线CP与平面ACO所成角的正弦值为二,18/.sin0=等2=监 尸 一 图=毯，解 得 尸 1或,=(舍).n-CP 乃.j8+J 2)2 1B：.AP=.2 2.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验

28、方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对 于 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检第 22页 共 23页验结果为阴性，那么这左份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时左份血液检验的次数总共为k+1 次.某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验.假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P=竽.(I

29、)求把2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率；(I I )若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由.242【解答】解：(I )该混合样本阴性的概率是(=-)8-9=2根据对立事件原理，阳性的概率为1一9=8一9(H)方案一：逐个检验，检验次数为4,O方案二：由(I )知，每组2 个样本检验时，若阴性则检测次数为1,概率为二,91若阳性，则检测次数为3,概率为设方案二的检验次数记为讲 则 w 的可能取值为2,4,6,其分布列为：246P64161818181:E()=2x 第+4 x 券+6x 1=等，方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为n，n的可能取值为1,5,其分布列为：,:E(n)E (E)4,故选择方案三最“优”.n15p64811781厂/、一 64 y 17 149E=lX gT+5X gT=-gr，第2 3页 共2 3页