2020-2021年山东省济南市德润高级中高一（下）期中数试卷解析版.pdf

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1、2020-2021年山东省济南市德润高级中高一(下)期中数试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5分)复 数(2+。(|3+447)的虚部为()A.3 B.-7z C.-3/D.-7【分析】利用复数的运算化简式子，求得虚部.【解答】解：.(2 +i)(|3 +4T)=(2+i)(5-i)=ll+3i,，其虚部为 3.故选：A.【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.2.(5分)设向量”=(3,加)，向量b=(-l,2),若向量a 与向量b 共线，则m 的值为()3 3A.-B.-C.6 D.-6

2、2 2【分析】根据4 与6 共线即可得出6+m=0,从而可得出m 的值.【解答】解：a 与b 共线，.-.3x2-(-l)./n=0,解得m =-6.故选：D.【点评】本题考查了共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.3.(5分)设向量a=(,3),向量6=(0,3),若向量2a-36与向量3a-6垂直，则的值为()A.+B.+C.0 D.62 2【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值.【解答】解：,向量。=(,3),向量6=(0,3),若向量2a-3。与向量3a-6垂直，则(2a 3。)(3a-6)=6/-11。/+3。2 =6(7+9)11x9+3x9

3、=0,则 =5故选：D.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.4.(5 分)已 知 AA8C是边长为。的正三角形，那么AA8c平面直观图 A 8 C 的面积为(）A /6 2 口6 2 r 3 2 c R 2A.a B.a C.a D.a16 32 16 8【分析】由 原 图 和 直 观 图 面 积 之 间 的 关 系&=立，求出原三角形的面积，再求直观图S联图4 A 9 C 的面积即可.【解答】解：正三角形ABC的边长为a,故面积为立a?,而原图和直观图面积之间的关系4S直 观 图 二 战,S原图4故直观图 次夕。的 面 积 为 理/16故选：A.【点评】

4、本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查.5.（5 分）如图，在 AA3C 中，点。在 3 c 边上，/4Z）C=60。，C D=A D =2,B D=4,则sin 8 的值为（）【分析】由题意可得AA/X;为等边三角形，可得AC=2,ZC=6 0 ,由余弦定理求得AC,再由正弦定理可得sin 3.【解答】解：Z A D C =60,C D =A D =2,可得A W C为等边三角形，可得AC=2,ZC=60.B C=4+2=6,由余弦定理可得AB2=A C2+B C2-2 A C BC cosC=4+36 2-2-6-=28,2即 AC=2/7,2XB由正弦定理可得s

5、i n B=4等=奈=答故选：D.【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题.6.（5分）已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（）A.16万B.2 0C.2 4 4D.3 2万【分析】画出图形，正四棱锥P-/W C Z）的外接球的球心在它的高尸01上，记为O,求出POt,0 0t,解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：正四棱锥尸-舫8的外接球的球心在它的高尸01上,记为O,PO=AO=R,P O|=3,OOX=3-R,在 A O 0中，R 2=3 +(3-R f 得 R =2,球的表面积S=16打故选：A.【点评】本题考

6、查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是利用直角三角形列方程式求解球的半径，是基础题7.（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为万，则球的体积为（）【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可.【解答】解：截面面积为万n 截面圆半径为1,又与球心距离为I n 球的半径是应，所 以 根 据 球 的 体 积 公 式 知 限=殍=/，故选：B.【点评】本题考查生的空间想象能力，以及生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题.8.（5 分）如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）A.Incrrt B.S/rcm2 C_ 97rcnT D

7、.117rd【分析】由图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的几何体，几何体的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积+半个球面.【解答】解：S=2 X1X（1 +2）+TTX12+X4 X12=9 ,故选：C.【点评】本题考查几何体的表面积，属于基础题.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。9.（5 分）已知a,是空间中两个不同的平面，机，”是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A.若机 _La,则/B.若加/a,?/,则 c/？C.若 a_L,m l!P,则

8、D.若 a/,m V a,则?_L【分析】由直线与平面垂直的性质判断A；由直线与平面平行及平面与平面平行的定义判断 8；由平面与平面垂直、直线与平面平行的定义判断C；由直线与平面垂直、平面与平面平行的定义判断O.【解答】解：对于A,若 7_Le,则，/，故 A 正确；对于3,若,/a,ml 10,则a/或a 与/?相交，故 3 错误;对于C,若a上0 ,相力，则,/0或 su a或机与a相交，故C错误；对于。，若则机垂直a内的所有直线，又c/,则机垂直月内的所有直线，则m A./3,故。正确.故选：AD.【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想

9、象能力与思维能力，是中档题.1 0.（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2 R相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为2万4B.圆锥的侧面积为2万2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2【分析】利用圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积计算公式即可得出结论.【解答】解：A .圆柱的侧面积=2乃 RX2R=4;TR2,因此A不正确；B.圆锥的侧面积=g x 2万 RXJQ RJ+R?=也 兀 炉,因此3不正确；C.圆柱的侧面积=4万店，因此与球面面积相等，可得C正确；D.圆柱的体积=乃?3 2/?=2乃内，圆锥的体积=乃/?晨2火=空 内，球

10、的体积=9;?3,3 3 3可得它们的体积之比为3:1:2,因此。正确.故选：CD.【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 1.（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）A.A F与C V平行B.8M与4 V是异面直线C.他 与 8例 是异面直线 D.8N 与 E是异面直线【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判定A 与 8；由异面直线的定义判断C与D.【解答】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，顾 与 C7V异面垂直，故A 错误；与 4V 平行，故 5 错误；平面8G

11、W,F e平面8cM/，/U 平面8cM/，F唉BM,由异面直线定义可得，瓶 与 3M 是异面直线，故 C 正确；D Eu 平面 ADNE,N e 平面 ADNE,平面 ADNE,N iD E,由异面直线定义可得，BV与 QE是异面直线，故。正确.故选：CD.【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.12.（5 分）在棱长为1的正方体ABC。-A8|G。中，下列结论正确的是（）A.异面直线B R 与 B C 所成的角大小为90。B.四面体RQBC的每个面都是直角三角形C.二 面 角 B C-4 的大小为30。D.正方体48C D-A 与G A 的内切

12、球上一点与外接球上一点的距离的最小值为叵【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判定A；由正方体的结构特征及直线与平面垂直的性质判断8；求出二面角A-B C-用的大小判断C；分别求出正方体A 8C O-A 4G A 的内切球与外接球的半径，作差判断。.【解答】解：如图，在棱长为1的正方体A BCO-A 4G R 中，D 平面 B B g C ,则 RG _L B|C,又 4 c BCt,D,C,f BC,=C,平面 8G 2 ,则 BC_L8R,即异面直线8%与 8。所成的角大小为90。，故 A 正确；D Dt 底面 A B C D,D R DB,D Dt D C ,再由 8C _L 平面 D D

13、g C ,可得3CJ_DC,B C D,C,得 四 面 体 8 c 的每个面都是直角三角形，故 3 正确；由 BC_L 平面 O R CC，可得 BC_LRC,BC CC,即 NRCG 为二面角R-B C-q 的平面角，大小为45。，故 C 错误；正方体ABC-AB|GR的内切球的半径为g,外接球的半径为日，则正方体ABCD-AQGA的内切球上一点与外 接 球 上 一 点 的 距 离 的 最 小 值 为 牛 故 ）正确.故选：ABD.【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.三、填空题：本题共4 小题，每小题5

14、分，共 20分。13.（5 分）空间两个角a,/7的两边分别对应平行，且 a=60。，则=_ 60。或 120。_.【分析】根据平行公理知道当空间两个角a 与/的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到月的度数.【解答】解：如图，空间两个角a，P 的两边对应平行,.这两个角相等或互补，a 60，尸=60。或 120.故答案为：60。或 120。.【点评】本题考查平行公理，本题解题的关键是不要漏掉两个角互补这种情况，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.14.(5 分)在四边形 ABCZ)中，AB=(4,-2),4c=(7,4),A=(3,6),则四边形

15、 ABCZ)的面积为 30.【分析】根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形钻 8为矩形，再根据向量的模的计算得到，矩形的长和宽，即可求出面积.【解答】解：AB=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,6),/IB-AD=4x3-2x6=0,BC=A C-A B =(3,6)=AD,DC=AC-AD=(4,2)=AB,ABV AD,BC/AD,AB 11 DC,.四边形A 8 8 为矩形，|AB|=742+(-2)2,|A|=用+62=回，四边形ABCD的 面 积 为 回X A=30,故答案为：30.【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，属于基础题.15.(

16、5 分)在 AABC 中，AB=AC=5,BC=6,A4_L 平面 ABC,B4=8,则尸到 8C 的距离为_ 4 不【分析】由尸是等腰三角形A8C所在平面外一点，2 4,平面A 8C,我们易得PB=PC,取 的 中 点。，则 A D J_ 3C,且尸 J_ 8C,利用勾股定理我们易求出4 5 的长，进而求出PD的长，即点尸到3 c 的距离.【解答】解：如下图所示：设D为等腰三角形他C 底面上的中点，则 尸。长即为P点到B C的距离又，4）即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高B C =6,AB =A C =5,易得 A D =d AB?-B D2=2=4在直角三角形B4中，又PA=S:.P

17、D=4 6故答案为4石【点评】本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，做出PD即为点P 到 BC的垂线段是解答本题的关键.16.（5 分）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C,测得 NC4B=45。，ZCBA=75,45=120米，则 4 5:B C=,这条河的宽度为.2-CB【分析】利用正弦定理，把 边 化 角 求 出 仝，再利用正弦定理和解直角三角形求出河宽CD.BC【解答】解：在 AA8C 中，ZC4B=45,ZCBA=75 ,:.ZACB=60,由 正 弦 定 理 得 丝=别 =包”=逅.BC sin A sin 450 2V 6+

18、V 2=,A C =丝g=6 0&+20指，sin B sin C sinC V3作 C D J _ AB,则 8 的长为河宽，在 R t A A D C 中，Z C 4 B =4 5 .:.CD=AC-s i n Z C A =(6 0 夜 +2 0 )=6 0 +2 0 /3 .2故答案为：渔，(6 0 +2 0 6)米.2【点评】本题考查正弦定理的运用，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 0 分)已知平面向量a =(3,4),b=(9,x),c =(4,y),且,ac.(1)求b 与d；(2)若m =2a-b,=a +c,

19、求向量?、的夹角的大小.【分析】(1)由。/?求出x 的值，由。_ L c 求出y的值，从而得出Z?、c；(2)计算相、，利用平面向量夹角的公式求出8 S V,%,即得夹角的大小.【解答】解：(1)由a/得 3 x 4 x 9 =0 ,解得x =1 2；由。_!_。得9 乂 4 +孙=0,解得 y=3 ；x 1 2所以b =(9/2),c =(4,3)；(2)m =2a-b=(-3,-4),=a +c =(7,1)；所以他=3 x 7 4 x 1=2 5 ,|m|=7(-3)2+M)2=5,|n|=V 72+l2=5 7 2 ；蜴 m n-2 5 五所以c o s=-=-T=-，/nxn 5

20、x 5 V 2 2所 以 向 量 的 夹 角 为 包.4【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键.1 8.(1 2 分)在 2-:-=-，2,利用线面垂直的判定定理，证明BC_L平面【解答】证明：(I)取 D E中点N,连结MN,AN.在 AEDC中，M,N 分别为EC,EZ)的中点，(2 分)所以 M V/C D,且 MN=C ).2由己知 AB/CD,A B -C D,2所以肱V/A 8,且=所以四边形/WMV为平行四边形.（4 分）

21、所以 8M/A N.又因为4 V u 平面4%户，且 8M U 平面4%户，所以8M/平面A O E F.（6 分）（II）在矩形4）所 中，E D V A D.又因为平面A D E F 平面A B C D,且平面平面A B C D =A D ,所以ED I.平面ABCD.所以E _ L 8C.（9 分）在直角梯形M CD 中，A B =A D =2,C=4,可得8c=2 0.在 ABCD中，B D=BC=2 0,C D =4,因为 B/T+BC。=C b ,所以 BCLBD.因为8。：=。，所以BC_L平面5）E.（13分）【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查生分析解决问题的能力，正

22、确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.20.（12分）如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A 8C-A 4G 中，F,Ft分别是AC,A G 的中点.求证:（1）平面A46/平面G B F；（2）平面 破 耳，平面A CC6.cB【分析】(1)由题意得出与A F J/Q F ,从而证明平面A 片耳平面G8F；(2)由题意知A 4 1 _L 平面AAG，得出用 LA4I;再由B J-A G，得出B/，平面4 C G A ,从而证明平面AB,_L 平面4 C G A -【解答】证明：(1)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A 8 C-AqC 中，F,K 分别是A C,AG的中点，:

23、.BtFt/BF,AFJ/CF；又 8 m A 耳=,G尸，BF=F,.平面A 片耳平面(2)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A B C 4,g G 中，A 4,JL 平面 A4G，/.B1F1 M ；又与耳 _ L A G，4 4 1=A，.用 4J.平面4C GA，又 4E u平面4 片耳，平面 ABtFt _L 平面 4 C G A -【点评】本题证明了空间中的平行与垂直关系的判定与性质的应用问题，是基础题.2 1.(1 2 分)在四棱锥尸-A B C D 中，底面钻 8 是正方形，侧面R 4 D 是正三角形，平面PAD1.底面ABCD.(1)证明：4 5 _L 平面以。；(2)

24、求面E 4 D 与面P 3 8 所成的二面角的正切值.【分析】(1)根据平面F4 DJ_底面A B C。以 及 即 可 证 得/由，平面R4 Z)：(2)利用面积射影法，求 出 面 皿)与面也阳所成的二面角的余弦值，即可求出面抬。与面 P E出所成的二面角的正切值.【解答】(1)证明：底面A B C。是正方形，：.A B L A D,平面以O _L 底面A88,平面P40c 底面A88=AO,由面面垂直的性质定理得，4?，平面PAD；(2)解：由题意，A P 8 )在面抬。上的射影为A ft W.设 A D =a)则 SPAD=2 翻折成A A C D ,使得BD=BC.(1)证明：B E Y

25、 CD；(2)求直线BE 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.jycB B【分析】(l)证明1：取CD的中点为K,连BK.证明EK_LCD.BK LCD.然后证明BE上CD;证明2：连。石，推出5E_L印.BEL A C,得 到 平 面 A C,即可证明8E_L S.(2)取AZX的中点F,连EF,BF,说明田阳即为直线班;与平面4 肛所成的角.通过求解三角形推出直线3E 与平面 W所成角的正弦值即可.【解答】(1)证明1：取8 的中点为K,连 砍，BK.AE=EC,:.EK/Aiy.又 4y _LC。，:.EK LCD.在 ABC。中，BC=BD,:.BKYCiy.CD J-平面 BEK

26、,:.BE1.CD.证明 2：连。%;，设。7=1,则 AO=A8=8C=BZy=6 ,：.Eiy=l,BE=拒，/.BE2+DE2=/7fi2,:.BE1,EU.又在等腰AABC中，BEY AC,BE 1.平面 AC。，BELCCf.(2)解：取AD的中点F，连EF,BF,AE=EC,:.EF/Ciy.又 4y _LC。，.-.AiyrEF.又由题意知AAS。为等边三角形，.AD YBF,.AD_L 平面 BF.在 平 面 内作m _L3F1 于/,又EH工3,：.EH 1,平面 ABD.：.ZEBH即为直线BE与平面ABD所成的角.设 czy=i,则 A Z/=G，EF=-,BF=,2 2EF 1sin NEBH=sin NEBF=-BF 3直线BE与平面ABD,所成角的正弦值为L3【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.