2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明.pdf

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1、2023年中考数学高频考点突破圆的切线的证明1.如 图，,A B C 内接于 O ,A 3 =A C ,A A)C 与.A B C 关于直线AC对 称，AO交。于点E.(1)求 证：C。是。的切线.连接C E ,若c o s)=；,A B =6,求C E 的 长.2 .如图，48是。的直径，点 C为。上一点，CO平分N A C B ,交 于 点 E ,交O于点。，延 长 刚 到 点P,使得P E=P C .(1)求 证：P C与。相 切；若。的半径3 ,P C=4 ,求C。的长.3 .如图，A8是。的直径，射线8c交，。于点力，E是劣弧AO上一点，且A E=D E ,过点E作 所 18c于点尸

2、，延长E 尸和8 4 的延长线交于点G .(1)证 明：G F 是。的切线；(2)若 A G =2 ,G E =4,求班 的长.4 .如 图，在 R tZ V L B C 中，Z C=9 0 ,以 A3上一点。为圆心，的长为半径作 O ,交A C、A 3 分别于。，E两 点，连接3。，S.ZA=Z C B D .(2)若C =1 ,B C =2,求 A 短的长度.5 .如图，A8为。的直径，8 是。的 弦，点 E在 A8的延长线上，连接O C ,A D ,CD/AB,CO/D E,Z A =2 2.5 .(1)求 证：D E 是0的切线；当 C D =2 及 时，求图中阴影部分的面积.6 .如

3、 图，在 A B C 中，Z A C B =90 ,A C=B C,点。在 A B C 内 部，。经过B ,C两点，交 A8于点。，连接CO并延长交A3于G，以G ,G C 为邻边作平行四边形G D E C .(1)求 证：直线DE是。的切线；(2)若 O E =1 7 ,CE=3,求 O 的半径.7 .如 图，在 A 8 C 中，Z C =9 0 ,AO平分,C48交 8 c于点。,的垂直平分线交试卷第2页，共 6页A3于点。，以点。为圆心，以 长 为 半 径 作。0 ,交 A3于点E .(1)求 证：BC是。的切线；(2)已知3 E =2 ,A C =4.8 ,求。0的半径.8 .如 图，

4、A B C 中，Z B =Z A C B =3 0 ,点。在线段BC上，连接A O ,A O =O C,过点C作 C D 至 交 AO的延长线于点。，以。为圆心，为半径作 O .(1)求 证：AC为。的切线；(2)若 A =6 ,求图中阴影部分的面积.9 .如 图，B D 为A 8 C 外接圆。的直径，且 N B A E =N C .(1)求 证：AE与。相切于点A ；(2)若 A E 8 c ,BC=2,A C =2,求。的直径.1 0.如 图，A8是。的直径，C,。是。上两点，C是 BO的中点，过 点 C作 AD的垂 线，垂足为E,连接AC交 B/)于点尸.ED.C(1)求 证：CE是。的

5、切 线；(2)若。尸=1,D C =,求)0的半径.11.如图，在 M C中,A B A C，点。是边BC的中点.以3。为直径作圆。，交边A3于点P,连接PC,交A。于点E.(1)求 证：A。是圆。的切线.(2)若PC是圆。的切线，B C =4,求PE的 长.12.如图，ABC中，他=A C，以4 c为直径的。与8 c交于点。，过点。作D E/A B于点E,延长E D、AC交于点F.(1)求 证：直线EF为。的切线.(2)若CF=2,。尸=4,求。的半径和EQ长.13.如 图，点0是矩形ABC。中A 8边上的一点，以。为圆 心，0 8为半径作圆，O试卷第4页，共6页交 边 于 点E,且恰好过点

6、。,连接3。，过点E作E-3。，若2 3 8 =120。.(1)求N C E b的度数；(2)求 证：E F 是。的切线.14.如图，点。为正方形A8CD对角线上一点，以O为圆心，。4的长为半径的。与 8相 切 于 点 例.求 证：8 C与。相 切；(2)若。的 半 径 为 应，求正方形的边长.15.如图，4 3为。的直径，点。在。外，/&1 0的 平 分 线 与。交于点C,连接B C、CD,且？。9 0?.(1)求 证：c o是。的切线；(2)若 NDC4=60。，B C =3,BC 的长等于16.如 图，A 3 C内 接 于。,Z C B G =Z B A C,C D为直径，O C与4?相

7、交于点E,过点E作E F/8 C ,垂足为F,延长C D交G 8的延长线于点尸，连接8。.p、D,OBEG 求 证：PG与。相 切；八 *EF 5 4 BE&若 一=-,求 一 的值；A C 8 0 C 1 7 .如 图，A B C 内 接 于 O ,A8是。的 直径，A C =C E ,连接AE交 8c于点。，判断直线A F 与。的位置关系，并说明理由；(2)若 A C =1 3 ,ta n N C 4 E =：j1 ,求 AE的 长.1 8 .如 图，以 AB为 直 径 的。经过AC的中点。,D E L B C 于点E.(1)求 证：OE是。的切线；(2)当8。=8,/。=3 0。时，求图

8、中阴影部分的面积(结果保留根号和加).试卷第6页，共 6页参考答案：1.(1)证明见解析(2)4【分析】(1 )如图所示，连接OC,连接AO并延长交8 c 于尸，根据等边对等角得到Z A B C =Z A C B,再证明 A F IB C ,得到 NACF+NC4 尸=90。，由。4=OC,得到Z O A C =Z O C A,由轴对称的性质可得NAC3=NACE)，即可证明NACD+NOC4=90。，从而证明C。是。的切线；(2)由轴对称的性质得NB=ND,CD=B C再由圆内接四边形对角互补推出/C E D =N D ,得到CE=8=8 C，解 Rt A B F，求出8/=2，则 8。=2

9、8斤=4，即可得到C E=8尸=4.【解析】(1 )证 明：如图所示，连接OC,连接AO并延长交8 c 于产，：AB=A C ,A Z A B C =ZACB,；.ABC内 接 于 O,A F I B C ,A ZACF+ZC4F=90,OA=O C ,/.Z O A C =O C A ,A Z A C F +Z O C A =90 ,由轴对称的性质可得NACK=NACD,A Z A C D+A O C A =90 ,即 NOS=90。,又：o c 是。的半径，.CD是。的切线；答案第7 页，共 29页BED(2)解：由轴对称的性质得N8=NO,CD=BC,四边形A8CE是圆内接四边形，NB+

10、ZAEC=180=ZAEC+ZCED,ZCED=ZD,CE=CD=BC,cos D=3cos B=cos D=-3在 Rt A 8P中，BF=AB cosB=2,：.BC=2BF=4,CE=BF=4.【点评】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键.2.(1)见解析当【分析】(1 )连接o c OD,先证明Z 4 8 =2Z A 8=90。，再证明ZOCP=ZPCE+ZOCD=ZOED+ZODC=90,即可证明 PC 与。相 切；pA PC Ap(2 )连接8。，先 证 明 PAC PCB,得三二=三=三，所以PC-PA P

11、B,即可求得rC PB C13答案第8 页，共 29页AC PA 1 久 /cPA=2,则 M =PE-R 4=2,所 以 等=M =：，可求得AC=,再由勾股定理求得J-lx 乙 JBD=3叵，然 后 证 明 CDB C A E，即可根据相似三角形的对应边成比例求得CO=等.【解析】（1 ）如 图，连接OC OD,则 OC=QD,:.ZOCD=ZODC,:A 3 是。的直 径，：.ZACB=90,。平 分-4 8 ,/.Z4CD=Z.BCD=-ZACB=45,2，/.ZAOD=2ZACD=90,:PE=PC,：.ZPCE=ZPEC,:/PEC =/OED,:.ZPCE=ZOED,:.ZOCP

12、=ZPCE+ZOCD=ZOED+ZODC=90,OC是 PC O 的半径，且PC_LOC,PC 与O 相切.(2),如图，连接8。,.ZPCA+ZOCA=90,ZB+ZOAC=90,Z.OCA=Z.OAC,：.ZPCA=ZB,ZP=ZP,答案第9 页，共 29页:.PAC PCB,.PA _ PC AC9PCPBCB:.PC?=PA PB,V OA=OB=3,PE=PC=4,:.AB=6,：.42=PA(PA+6),=2或PA=-8(不符合题意，舍 去),J AE=PE-PA=4-2=2,.AC PA _2*C F-P C-4-2，J CB=2AC,A AC2+(2AC?=AB2,“_6 石

13、AC=-,5.,/BOD=2/BCD=90,OB=OD=3,BD=j0B2+0D2=V32+32=372,：/BCD=/ECA,ZCDB=ZCAE,:.CDB CAE,.CD BDAC-AE 6-R.AC B D飞-x w z 9.，CD=-=-=-AE 2 5CD的长是 生 叵.5【点评】此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.3.(1)见解析答案第10页，共29页 吁 彳【分析】（1 ）连接,先证明NABE=NCB,再证明NOE3=NFBE,BF OE,进而证明OE_LGE,即可证明G F是。的切线；（2）设。的

14、半径为r,根据勾股定理得到产+4?=（2+r f ,解方程即可得到。的半径为3;根据8尸OE,得 到 BFG OEG,根据相似三角形的性质求解即可.【解析】（1 ）证明：如图，连接OE,AE=DE,ZABE=NCBE,：OE=OB,；NOBE=NOEB,A ZOEB=ZFBE,BFOE,:EF BC,：/BFE=90。,/.ZBFE=ZOEG=90,A OEGE,G/是。的切线；(2 )解：设。的半径为r,AG=2,GE=4,在 RtZGO 中，OE2+GE2=OG2,答案第11页，共29页r2+42=(2+r)2,解得/=3,即。的半径为3;的半径为3,A OG=AG+OA=5,GB=OG+

15、OB=8,BFOE,：.BFG OEG,BF _GBOEGO【点评】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键.4.(1)见解析(2)AD=3【分析】(1 )添加辅助线，通过证补角为90。来证明NOD8为直角(2 )通 过 证 明 CBD CAB,得到对应线段成比例，从而得出对应边的长度.如 图，连接,ZDAO=ZADO,又 ZA=NCBD 且 NCBD+NBDC=90。,ZA+ZBDC=ZADO+NBDC=90,答案第12页，共 29页A ZODB=180-90=90,瓦)是。O 的切线；(2 )ZA=NC

16、BD,ZC=ZC,/.CBD CAB,.CD BC*BC-AC.1=-2-2 AC:.AC=4:.AD=AC-C D =4-l=3.【点评】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握判定方法是关键.5.见 解 析;(2)2-y .【分析】（1 ）连接。，由圆周角定理结合已知易证NDCO=NCDO=45。，从而得到NODE=NCOD=90。可证明 O 1;（2）结合（1 ）和已知易证。石是等腰直角三角形，由勾股定理可求出0。，最后用割补法S阴 影=5“小一品通前即可求出阴影部分面积.【解析】（1 ）证 明：如 图，连接0。.V ZA=22.5,ZBOD=2ZA=45.:C D/AB,：NC

17、DO=/BOD=45。.：OC=OD,答案第13页，共 29页：.Z D C O =Z C D O =45 ,Z C O D=180-45-45=90.CO/D E ,NODE=NCOD=90,，O D 1 D E .；。是。的半径，D E 是。的切线.(2 )解：CD/AB ,CO/D E ,，四边形8 E O 是平行四边形，/.OE=CD=2/2.由(1 )可得 NOE=90。，Z D O E =45 ,/.A D E O =Z D O E =45 ,：.O D=D E .在 RtZODE 中，由勾股定理，O D2+D E2=O E2,即 202=(2应 丫，解得:。=2,.c _e c

18、_ l、，c、，c 45x2?一c n,J阴 影 DOE 一 扇 88 一 /X Z X Z ，一 5 【点评】本题考查了圆周角定理，切线的证明，平行线性质的应用及平行四边形的证明，勾股定理解直角三角形；解题的关键是证明O D ID E 和 ODE是等腰直角三角形.6.(1)见解析(2)12【分析】(1 )连接OD,根据圆周角定理得出NCOQ=2NABC=90.进而根据OECG,答案第14页，共 29页得出 NOE+NCOD=180。，贝 lj NODE=90。,即可得证；(2)设。的半径为，根 据(1 )的结论结合平行四边形的性质，得出NGOD=90。，根据勾股定理得出Or2+OG2=OG2

19、,解方程即可求解.【解析】(1 )证 明：连接.ZACB=90,AC=BC,.-.ZABC=45,ZCOD=2ZABC=90.四边形GDEC是平行四边形，D E/CG ,/LODE+Z.COD=180,:.NODE=9 0，即.O是半径，:直线D E是，。的切线.(2)设。的半径为，.四边形GDEC是平行四边形，:.CG=DE=11,DG=CE=3 .ZGOD=90,OD2+OG2=DG2,即产+(1 7-)=1 3 2 ,解得4=5,4=12.当，=5 时，OG=12,此时点G 在。外，不合题意，舍 去，答案第15页，共 29页r=1 2 .二.Q的半径为1 2 .【点评】本题考查了切线的性

20、质与判定，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握切线的性质与判定是解题的关键.7.(1)见解析(2)3【分析】(1 )连接0。，由垂直平分线的性质可知，OA=O D，易 知。经过点。，由AO平分 N C A B,可知 N C 4 D=Z 4 力，由 Q 4 =O D ,可知 N A 4)=N O Z M ,：.C A D=Z O D A,进而得A C O。,可知N Q D 8 =N C =9 0。，易知 8 B C,得证8c是 O的切线；(2)由(1 )易 证BO B A C，可 得 好=誓.设。的半径为*,则 白=9 ，解A C 4,.o 2 +出方程即可得。的半径.【解析】(1)证 明：连接,B

21、4）的垂直平分线交A8于点。，：.OA=O D ,，Q经过点。，A D 平分,：.ZCAD=Z B A D ,OA=O D ,:.ZBAD=Z O D A ,答案第1 6 页，共 2 9 页/.ZCAD=ZODA,:.AC/OD.ZC=90,：.40DB=NC=40D C=90P,:.O D BC,.3。是。的切线；(2 )解：ZC=90,ZODC=90,/.ZC 4-ZODC=180,O D/A C ,.BO D sBAC ,.OP BO,ACBA,设二。的半径为X ,贝 IJ2r 2+元,解得玉=3,=-L6(舍 去),经检验，x=3是原分式方程的解，故。的半径为3.【点评】本题考查切线的

22、判定，相似三角形的判定及性质，通过作辅助线，与圆心相连是解决问题的关键.8.(1)证明见解析(2)4 -【分析】(1 )过点。作 O E1A C,垂足为点E,由N3=NACB=30。可得N54C=120。,再根据等边对等角可得NOAC=NACO=30,从而得出N 84)=9 0 ，接着利用平行线的性质得到 ND=N8A)=90。,ZOCD=ZB=30 然后证明O E g Z 8 C(A A S)得出 OE=。/),再根据切线的判定即可得证；(2)先求出0 0 =2，再利用勾股定理求出CQ=2 G，然后分别求出四边形ODCE和扇形答案第17页，共 29页。花的面积，相减即可.【解析】(1 )证

23、明：过点。作 O E1A C,垂足为点E,ZOEC=90,V ZB=ZACB=30,ABAC=180-ZB-ZACB=120,:AO=CO,：.Z(MC=ZACO=30,A Za4=ZBAC-ZOAC=120-30o=90,.AB CD,ZD=ZBAD=90,ZOCD=ZB=30,：./O EC=NODC,ZOCA=ZOCD,在QEC和 ODC中，NOEC=NODC.NOCE=/OCD|o c =o c：.AOECAODC(AAS),A OE=OD,OE为。的半径，:OEJLAC,J A C 为。的切线.(2 )解：:ZOCD=30,?)90?,/.OC=2OD,ZCOD=60,V AO=OC

24、,:.AO=2OD,:AD=6：.OD=2,CO=AO=4,答案第18页，共 29页C D =yl0C2-0 D2=V 42-22=2 x/3 ,5Ar=-C D O D =-x 2 x 2 =2y/3,2 2,/4 O E 8 4 O D C ,:S&0cE,Z C O E =Z C /3 =4 /3 ,Z)O E：=Z C O E+Z C O D =6 0o+6 0o=1 2 0o,._ 1 2 0 -x 22 _ 4扇 形 w：=3 6 0 F【点评】本题考查切线的判定，扇形的面积，等边对等角，全等三角形的判定和性质，含3 0。角的直角三角形的性质，勾股定理，内角和定理，平行线的性质，三

25、角形的面积等知识点,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.掌握切线的判定和扇形的面积公式是解题的关键.9 .(1)见解析(2)4【分析】（）连接半径。4，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出N Q 4 E =9 0 .即可证出结 论；（2）连接OC，连接O A 交 BC于点”，证出8 c ,C H =B H，分别在,A O B H中通过勾股定理即可求出结果.【解析】（1 ）证 明：连接3 ,答案第1 9 页，共 2 9 页,.ZD=ZZMO,V ZD=ZC,/.z c=z m o ,:/BAE=NC,A ZBAE=ZDAO,BD是。的直径，ZBAD=90,BP ZDAO+ZBAO=90,

26、，“4E+Nft4O=90。,即 NQ4E=90。,A AE.LOA,又Q4为O的半径，A与。相切于点A;(2)解：连接O C，连接AO交BC于点，:A E/B C ,OALAE,：.OABC,答案第20页，共29页：.CH=BH=-B C =y/3,AC=AB=2,2在 RtAAB/中，AH=lAB2-B H2=1 ,在 RtAOBH 中，设 0 8 =r,OH1+BH-=O B,.-.(r-l)2+(73)2=r2,解 得：r=2,DB=2r=4,即。的直径为4.【点评】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，能综合运用知识点进行推理是解此题

27、的关键.10.(1)证明见解析；逑2【分析】(1 )连接OC交8 D于点G,利用弧、弦关系得到3G=/，再根据垂径定理的推论得到,因为直径所对的圆周角是直角，即NA3=90,得到NEE8=90,又Z=90,推出四边形G C是矩形，得到/ECG=90,即可证明结论；(2)设尸G=x,OC=r,贝lJ8G=GO=x+l,BF=2x+,利用互余的性质得到NBCG=NCFB,证明Rt BCG-R t BFC,得至!l 3C?=8G.3下,列方程求得x=l,利用勾股定理求出CG=/,进而得至IJOG=;-核,再利用勾股定理列方程，即可求出，的值得到答案.【解析】(1 )证 明：连接OC交8。于点G,点。

28、是3 0的中点，BC=CD,/.BG=DG,答案第21页，共29页OC为半径，OCLBD,.ZDGC=90,/W是O 的直径，/.ZADB=90,:./E D B =90。,C E A E ,/.Z E =90,.四边形EDGC是矩形，.ZECG=90,:.C ELO C ,.C E是O 的切线；(2)解：设 FG=x,OC=r,由(1 )得 BC=CDf ,BG=GD=FG+DF=x+,BF=BG+GD-DF=2x+,口 是。的直径，/.ZACB=90,:.ZBCG+ZFCG=90,ZDGC=90,:.NCFB+NFCG=90。,:B C G =NCFB,.Rt B C G sR i BFC

29、,答案第22页，共 29页.BC BGB C2=B G BF,.(#)=(x+l)(2x+l),解 得：X=1,x2=-|(不符合题意，舍)，:.BG=G D =2,BF=3,由勾股定理得：C G =yjBC2-B G2=(X/6)2-22=-Jl,O G =O C-C G =r-y/2,在 Rt O B G 中，O G2+B G2=O B：.(r-V2)2+22=r2,解 得：,2的 半 径 为 逑.2【点评】本题考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，圆的切线判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.1 .(1)见解

30、析 42【分析】(1 )根据等腰三角形的判定与性质得到A。，8 c ,即可得证；(2 )连接OP,通 过 证 明DEC-.POC,利用相似三角形的性质得到PC 与CE的长度，再进行线段和差即可求解.【解析】(1 )AB =A C,。是 8 c 的中点，:.A D B C ,B D =D C ,O D 是。的半径，答案第23页，共 29页.A是圆。的切线；(2)连接。尸，3 c =4,:.BD=DC=2,尔）为直径，:.BO=OD=,EP为。切 线，:.OP=,OC=3,.在 Rt OPC 中,OC2-O P2=PC2,.PC=j3 2-F =2厄./E C D=/PC O,ZEDC=Z l2-

31、4 2=.2 2【点评】本题考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质.如果已知切线，连半径,得垂直；如果证明切线，则连半径，证垂直.12.见解析答案第24页，共29页（2）。的半径为3,D E =【分析】（1 ）连接A,。，由题意易得NADC=90,则有CD=Br,然后根据三角形中位线可进行求解；（2）由（1 ）可得NCZ）F=mF ,则 有CDFs,D A F,然后根据相似三角形的性质可进行求解圆的半径，进而根据平行线所截线段成比例可进行求解.【解析】（1 ）证 明：连接,。，如图所示：A C为。的直径，ZADC=90,AB=A C ,：.CD=B D,即点。为8 c的中点，.点。为A

32、C的中点，0。为A 5C的中位线，OD/AB,/DEJ.AB,O D L E F ,为。的半径，直 线 所 为。的切线；（2）解：由（1 ）可 知:Z A D C =Z O D F=90,答案第25页，共29页/.ZADO+ZODC=AODC+ACDF=90,AADO=匕 CDF,9：OA=OD,:.ZADO=/D A F ,/.ZCDF=ZDAF,Z F =Z F ,:C D F s 1t DAF,.DF CF CD nn 2 T F =77T，即 D卜=AF CF,AF DF DA：CF=2,DF=4,-42=2AF,AF=8,:.AC=A F-C F =6,。的半径为3,/.OF=OC+

33、CF=5,:OD/AB,.OF DF 5O AD E3 1.八 口 12.DE=.5【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.13.(1)30(2)见解析【分析】(1 )先根据等边对等角和三角形内角和定理求出NO8D=30,再由矩形的性质得到NCQ8=NO8D=30。，即可利用平行线的性质得到NCEF=NCD3=30。;(2)如 图，连接OE,先求出NODE=60,再根据等边对等角得到4匹。=60,由此利答案第2 6页，共2 9页用平角的定义求出NOEF=90。,由 此 即 可 证 明

34、 所 是。的切线.【解析】(1 )解：OD=OA ZZ)OB=120o,ZOBD=ZODB=180-ZBQD2=30 四边形ABC。是矩形，:.AB CD,A ZCDB=ZOBD=30,:E F/B D ,:NCEF=/CD B=3U;(2)证 明：如 图，连接。石,:NODB=ZDBO=NEDB=30,：.ZODE=ZODB+Z.BDE=60,：OD=OE,：.ZDEO=ZODE=60,J ZOEF=180。一ZDEO-ZCEF=180-60-30=90,.。是O 的半径，E F是。的切线.【点评】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质，等边对顶角，平行线的性质，三角形内角和定理等等，正确作出

35、辅助线是解题的关键.14.(1)答案见解析 友+1【分析】(1 )过。作于，由正方形A3CO,可得NAC4=NACD=45。，证明OM CD,再证明OM=。”从而可得结论；答案第27页，共 29页(2)先根据勾股定理求出OC=2，从而可得AC=V5+2，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案.【解析】(1 )解：如下图，过。作1 8 c于4 ,正方形4 3 c o ,:.ZACB=ZACD=45,8是。0的切线，:.OM LCD,:.OM=OH,Q O M为。的半径，；.OH为，。的半径，.BC与。相切；(2)，。的半径为百，：.OA=OM=y/2,由()可知，CM=0M=&,AC=O A+O

36、C=+2,四边形ABC。是正方形，AB=BC,/B=90,则在Rr ABC中，AC-=AB2+BC2=2AB2，即 AC=拒AB,也AB=血+2,答案第28页，共29页解 得：AB=V2+1 ,故正方形ABC。的边长为&+1 .【点评】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键.15.见解析 2 C 的长为兀【分析】（1 ）连接O C，证明OCAD,得出NOCD=90。即可得证；（2）由圆周角定理得出NAC3=90,即可求得NOCB=60,得 到 0 3 c 是等边三角形，可求得半径为3,BC的圆心角度数，再利用弧长公式求得结

37、果即可.【解析】（1 ）解：证 明：连接OC,4 c 是 的 平 分 线，ZC4D=ZBAC,又 OA=OC,ZOAC=ZOCA,ZOCA=ZCAD,:.O C/AD,ZOCD=Z D=90,:.CD是。的切线；(2 )解：.ZACD=60,:.ZOCA=30,AB为O 的直径，答案第29页，共 29页/.Z A C B =90 ,/.ZOCB=60,O C =O B ,0 8 是等边三角形，：.OB=O C =B C =3,4 0 6 =60。,BC的 长：60兀3180=兀【点评】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用，求弧长，掌握切线的性质与判定是解题的关键.16

38、.(1)证明见解析八BE(2)-=O C54【分析】(1 )连接0 8 ,则 03=8,N B D C =N O B D,根据同弧所对的圆周角相等可得Z B D C =Z B A C,可证NCBG=NOBQ,根据直径所对圆周角是90。可得N08D+N08C=90。，等量代换得NC3G+NOBC=90。，即 NO3G=90。，故 PG 与。相切；(2)过点。作,垂足为 H,根据。4=0。,可得 NAO”=NCO=gzAOC,A H =C H =-A C,由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知NA8C=；NAOC，贝 ljA C O H =Z A B C ,可得8 F s 4 o c”，所 以R力F

39、;=右FF7，由 已 知FF言=5 6，得F等F=51，即O AC o(_ 4RF可 求 出 衣 的 值.【解析】(1 )解：连接,如 图：答案第30页，共 29页p、a：.OB=OD,:.4BDC=/OBD,V ZBDC=ZBAC,ZCBG=ZBAC,:.ZBDC=ZCBG=ZOBD,。为。的直径，ZOBD+ZOBC=90,：.ZCBG+ZOBC=90,：.ZOBG=9Q,；PG与。相切.(2)解：过点。作 O H,A C，垂 足 为 ,J OA=OC,ZOHC=90,ZAOH=Z.COH=-ZAOC,AH=CH=-AC,2 2又：ZABC=-ZAOC,2:.NCOH=ZABC,.*EF B

40、C,A ZEFB=90,答案第31页，共 29页：.ZEFB=ZOHC=90,.BE EFOCCH EF 5 1.=-,C H=-A C ,AC 8 2.EF 5 CH 4.BE 5.-=一OC 4 1【点评】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定和性质等知识点，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键.17.(1)直线4尸 是 O 的切线，理由见解析 4 =24【分析】(1 )根据直径所对的圆周角为直角，得出A C 18C ,再根据三线合一的性质，得出NC4尸=NE4C,再根据等边对等角，得出NE=NE4c,再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出=,再根据等量代换

41、，得出N8=NE4c,再根据直角三角形两锐角互余 得 出 NB+ZBAC=9 0，再根据等量代换 得 出 NE4C+/BAC=9 0 ，进而得出。4,AF,再根据切线的判定定理，即可得出答案；(2 )过点C 作 Q W L A E，根据正切的定义 得 出 瑞 =，然后设。/=5 x，则 A=12x,再根据勾股定理，得出CM2+AA/2=AC 2,再把数据代入，得出(5x)2+(12x)2=169,解出即可得出4 0 =12,再根据三线合一的性质，即 可 得 出 的 长.【解析】(1 )解：直线AF是。的切线，理由如下：为。直 径，：.ZACB=90,，AC J.BC,V CF=CD,答案第32

42、页，共 29页A ZCAF=ZEAC,V AC=CE,，ZE=ZEAC,:N8=NE,ZB=ZE4C,?4+NBAC=90。，A ZFAC-bZBAC=90,Z.OA1AF,又丁点A在。上，直线AF是。的切线；(2)解：如 图，过点C 作 CM LAE,V AC=13,设CM=5x,则 AM=12x,在&ACM中，根据勾股定理，CA/2+AM 2=A C2 ,(5x)2+(12x)2=169,解 得：X=1 ,.AM=12,V AC=CE,J AE=2AM=2x2=24.答案第33页，共 29页【点评】本题考查了圆周角定理的推论、三线合一的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余、切线的判定定理

43、、正切的定义、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理.1 8 .见解析(2)等 一【分析】(1 )根据中位线的性质得到平行，再根据平行线的性质可得到角相等，再根据垂直定义即可求得N O D E =9 0 ;(2 )根据平行可知角相等，角相等可知等腰三角形，等腰三角形可知边相等角相等，再利用中位线性质及勾股定理可知线段的长度，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积.【解析】(1 )证 明：连接0。，AB是 O的直径，。是 AC的中点，是 A 8 C 的中位线，OD/BC,：DEA.BC,.ODJ.DE,:点。在圆上，为。的切线；(2 )解：过点O作。尸,垂足为F,答案第3 4 页，

44、共 2 9 页:O D/B C ,ZC=30,/.ZAZ)O=ZC=30,：O D =OA,/.Z O A D =Z O D A =30 ,A ZA=ZC,Z A O D =UO0,:.A B=B C =8,。是 ABC的中位线，/.OD=OA=4,.在 Rr OED 中，O F =-O D =2,2.在 R/OE4 中，A F A O r-O F2=2 0 ,A)=2A尸=4 73,S&AOD=y AD-OF-g x2x4 下=4+，.阴影部分面积5=坦 学 6=粤-4 6.360 3【点评】本题考查了中位线的性质，平行线的性质，切线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，掌中位线的性质和等腰三角形的三线合一是解题的关键.答案第35页，共 29页