2023年浙江省杭州市高考数学一模试卷及答案解析.pdf

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1、2023年浙江省杭州市高考数学一模试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1 .已知集合4=幻2、2,f i =x|x-l|2,则ZnB=（）A.（-00,3）B.（-1,1）C.（1,3）D.（3,+o o）2.已知i为虚数单位，复数z =宏，则|z|等于（）A.B.1 C.V 5 D.53.已知单位向量落方满足|五+石|=1，则五在石方向上的投影向量为（）A.B./C.D.一；五4.国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自1

2、 00多个国家的4200多位数学家参加了本次大会.这次大会的“风 车”会标取材于我国古代数学著作四股圆设方图以，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为a（0。a x（a 0）若/（x）在区间 0,2几 上有且仅有3个零点和2条对称轴，则3 的取值范围是（）A.蓊 B.塔 渭）C.g渭）D.噌 母7*=V 2,b=e,c=TTN 则（）A.a b c B.a c b C.c b a D.c a 0,P(B)0,P(B|A)=P(B),则P(4|B)=P(A)C.若随机变量X服从正态分布N(2R)，P(X W3)=0.6,则P(X S 1)=0.4

3、D.这组数据4,3,2,5,6的60%分位数为411.设尸为抛物线C：y 2 =2px(p0)的焦点，过点F的直线，与抛物线C交于4(X 1，两点，过B作与轴平行的直线，和过点F且与4B垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,则()A.%1%2+1、2为定值B.当直线，的斜率为1时，04B的面积为夜P(其中。为坐标原点)C.若Q为C的准线上任意一点，则直线Q4 QF,QB的斜率成等差数列D.点M到直线FN的距离为名12.己知函数/(%)=xZgx-x-1)的零点为%1，函数g(x)=x-10*-x-10”(%1)的零点为小，则()A.+%2=X1X2 B.4-%2 11C.x1 x2 9三、填

4、空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在(1+/)(1$5的展开式中，常数项为 _ .14.己知点p(3,4),直线I与圆：/+、2=25交于48两点，若 P4B为等腰直角三角形，则直线加 勺方程为 一.(写出一条即可)15 .己知椭圆C：真+苴=1的左右焦点分别为F i，F2,若与椭圆C无公共点的直线x=3上存在一点P,使得t a n/F i P F 2的最大值为2 a,则椭圆离心率的取值范围是.16 .若点今(n,a n)(n e N*)在函数y =,3(婷一 1)的图象上,则|当P g/的取值范围是.四、解答题(本大题共6小题，共7 0.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

5、17 .(本小题10.0分)已知ABC中角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足2c s i n 4 c o s B+2bs i m 4 c o s c =V 3a，c a.(1)求角4(2)若b=2,BC边上中线4 D=歹，求AAB C的面积.18 .(本小题12.0分)已知数列 斯 的前n项和为S n，且S n +2=2an.(1)求。2及数列也工的通项公式；(2)在演与0M+i之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列；的前n项和.19 .(本小题12.0分)如图，在四棱锥P-4 B C D中，底面Z BCD为梯形,DC=3A B=3,4。=3,A B/C

6、 D,C D A.A D,平面P CD _ 1 _平面4 8。，E为棱P C上的点，且E C=2P E.(1)求证：BE平面P 4 0；(2)若P D=2,二面角P A D-C为6 0。，求平面4 P B与平面P BC的夹角的余弦值.20.(本小题12.0分)中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队,第19届亚运会将于2023年9月2 3日至10月8日在杭州举办.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查,得到2 x 2 列联表如下：喜爱篮球 不喜爱篮球合计男生6535100女生2575100合计90110200依

7、据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关?(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第九 次触球者是甲的概率记为力,即2 =1.(i)求P 3,2 4,并证明：匕一勺为等比数列;(比)比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小.其中n=a+b+c+d为样本容量.参考数据:2参考公式：*(a+鼠 黑 篇)(a+d)P(K2 k)0.100.050.01 0.005 0.001k2.706 3.8

8、41 6.635 7.879 10.82821.(本小题12.0分)已知双曲线E：0 q=l(a 0,b 0)的 离 心 率 为 并 且 经 过 点 2).(1)求双曲线E的方程.(2)若直线I经过点(2,0),与双曲线右支交于P、Q两点(其中P点在第一象限)，点 0 关于原点的对称点为4,点Q关于y轴的对称点为B,且直线4P与BQ交于点M,直线4B与PQ交于点N,证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN.22.(本小题12.0分)已知函数/(%)=klnx+(/c e/?).(1)若函数y=/(x)为增函数，求k的取值范围；(2)己知0 xT 1 一言；5)若 舒=普=k，证明：1/(X 1)

9、-/(x2)|1.B =x-1 x|2 =片+2 五+=1,因为|日|=|b|=l，所以己.1=-所以方在另方向上的投影向量为需看=-阻故选：B.先将|日+石|=1 两边平方得到向量的数量积，再根据苍在加方向上的投影向量公式得出结果.本题考查了平面向量的投影向量公式，属于基础题.4 .【答案】C【解析】解：设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边长为 扁，tdiiu.小正方形的边长为(扁-a),大正方形的边长为品，sinci 大正方形与小正方形面积之比为25：1,a.sa_ _ c o s a 一 5讥 戊 =a(焉 T)5v 0 a sina 0,又 sin2a+cosa2=1，联立得

10、sina=cosa 5故选：C.设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边长为岛;，求出小正方形的边长为(岛-Q),大正方形的边长为 自，结合题意可得cosa-sina=,联立siMa+cosa?=1,求解即可得出答案.本题考查三角形中的几何计算，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.5.【答案】A【解析】解：设4 B,C,。四位爸爸的小孩分别是a,b,c,d,则交谈组合有9种情况，分别为：(Ab,Ba,Cd,De),(Ab,Bd,Ca,Dc),(Ab,Be,Cd,Da),(Ac,Ba,Cd,Db),(Ac,Bd,Ca,Db),Ac,Bd,Cd,Da),(Ad,B

11、a,Cb,Dc),Ad,Be,Ca,Db,(Ad,Be,Cd,Da),4的小孩与。交谈包含的不同组合有3种，分别为：(Zb,Be,Cd,Da),Ac,Bd,Cd,Da),(Ad,Be,Cd,Da),4的小孩与。交谈的概率是P=|=1.故选：A.设4,B,C,。四位爸爸的小孩分别是a,b,c,d,利用列举法能求出4的小孩与。交谈的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.【答案】D【解析】解：函数/(%)=由于函数/(%)在区间 0,2扪上有且仅有3个零点和2条对称轴，根据函数的图像：所以：2兀3 +g e时,/(%)0,函数/(%)单调递减，当0

12、 x 0,函数/1(x)单调递增,因为a =&,所以，n a =/n 2 =又e 3 4,所以 /(3)f(4),所以I n bIne,I,nc=Inne n所以I n b I nc I na,故a c 2=8,直线CM与平面48c所成的角为（CM=2V3.C/V=V3.故N的轨迹是以。为圆心，百为半径的圆，当。，C,N在一直线上时，三棱锥A-M B C 的外接球体积最大，球心在过0与平面4BC垂直的直线。上且在过CM的中点与直线垂直的平面a 内，.球 心为平面a与直线。的交点4,可得HC=20C=2V3,.三棱锥4-MBC的外接球体积最大为U=1nxH C3=32V37T.故选：C.先求 A

13、BC的外接圆的半径，过M作MN 1.平面ABC于N,可得ON=遍，可得当。，C,N在一直线上时，三棱锥4-MBC的外接球体积最大，求解即可.本题考查求空间几何体的外接球的体积的最大值，属中档题.9.【答案】ACD【解析】解：对4选项，如图，取Di。的中点G,连接GE,GA,D$,又E,尸 分别为CG441的中点，GE/DC/AB,S.GE=DC=AB,四边形ABGE为平行四边形，.AG/BE,又易知4G/D a,二。&BE,4选项正确；对B选项，在正侧面内的射影为&B,而与B F不垂直，二 根据三垂线定理可得B i E与B F不垂直，B选项错误；对C选项，r B i E在左侧面内的射影为&G,

14、又根据题意易知。1F L&G,根据三垂线定理可得D/1 B iE,二直线B i E与直线D/所成的角为9 0。，二C选项正确；对。选项，由4选项分析可知O F /B E,直 线F与平面4 B C D所成的角为乙EB C,又根据题意易知4 E B C =4 5 ,。选项正确，故选：A C D.对4选项，取5。的中点G,贝I J易证力G B E,A GZ/D Fy,从而可得D F J/B E；对8,C选项，根据三垂线定理，即可求解；对D选项，将两异面直线平移成相交直线，即可求解.本题考查平行线的传递性，三垂线定理的应用，异面直线所成角的求解，属中档题.10.【答案】B C【解析】解：对于4若事件4

15、与事件B互斥，则P(A)+P(B)0,P 0,P(B|4)=P(B),事件4,B相互独立，故P(4|B)=P(A),故 8 正确；对于C,随机变量X服从正态分布N(2,o),P(X 3)=1-3)=1-0.6=0.4,故P(X 3)=0.4,故 C正确；对于。，将数据4,3,2,5,6进行排序，2,3,4,5,6,共5个，5 x 60%=3,这种数据4,3,2,5,6的60%分 位 数 为 亨=4.5,故。错误.故选：B C.对于4结合互斥事件的定义，即可求解；对于8,结合独立事件的定义，即可求解；对于C,结合正态分布的对称性，即可求解；对于D,结合百分位数的定义，即可求解.本题主要考查命题的

16、真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题.11.【答案】A C D【解析】解:4椎,0）,设直线I 的方程为b=%-1,p-2-2X=化为y 2 2pty-p2=0,-y i 7 2 =_p 2，y i +V2=2pt,1 4 p2Xi%2 =(y，2)2 =p 4，%1%2=。，%1%2 +y，2 =-,p 2 为定值，因此A正确.及当直线/的斜率为1时，直线，的方程为y=x-代入椭圆方程可得：2 _ 3 p x +。=0,/+乃=3 p,A A B =/+%2 +P=4 p,点。到直缴的距离人 季=争的面积为gx 4 P x 率=枭2,因此B 不正确.n.mc设Q（g，m）,则3书=77

17、n-k7QA=y Hm)=_ 2pyyjr+-P22p m k Q B=2p国y2+-p22pm2m 2py-2pm 2py2-2pm 2/CQF-k Q A-k Q B-y22 兆+p2，通分后分子=-2m(yl+p 2)(凫+p2)+p(p%-pm)(y2+P2)+P(p y z -Pm)(7 i +P2)=-2mp4+m p2(yl+秃)+m p4+p2(y i y f +yrp2-my-m p2)+p2(y f y2+ViP2-m y f -m p2)=0,则直线Q 4 QF,Q B 的斜率成等差数列，因此C正确.。.如图所示，过点M 作M _ L F N，垂足为H,黑=搂，耦=号22

18、又 幽 L=W 1 .W 1 =Y i f 为(勺+3及 合 丐)竽+%1 p,因此z)F 确乂|MN|M H 9 M H -y2 J A M H =-=-=-=此小班、2-1%一1 力 一 百 .故选：A C D.A.设直线为勺方程为t y =x 1 代入抛物线方程化为y 2-2 p t y-p 2 =0,利用根与系数的关系可得以y 2 =-p 2,结合抛物线方程可得与 2,进而判断出正误.5当直线，的斜率为1 时，直线，的方程为y =x-,代入椭圆方程可得：x 2 _ 3 p x +4=0,利用根与系数的关系及抛物线的定义可得|4 B|,利用点到直线的距离公式可得点。到直线2 的距离d,可

19、得A O A B 的面积，进而判断出正误.C.设 利 用 斜 率 计 算 公 式 可 得%F，%.，kQB，计算2/CQF-%.-B，进而判断出正误.D.过点M作MH1 F N,垂足为H,利用相似的性质可得舐=祗，耦=瑞，进而得出回“，即可判断出正误.本题考查了抛物线的定义与标准方程及性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、三角形相似的性质、数形结合方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.12.【答案】A B D【解析】解：由题意可得%1 -5一=0,1),令 丸=t 0,则=1 0f,代入方程可得1 1 0,-1 0,-t =0,(t 0)1 1变形为：+苏一 1 =0

20、，令九=；+专-1,t 0,可知函数九)在(0,+8)上单调递减,又 2 1 0不X2-1 0*2 =0,(%2 1):.x2 t lgx1,即 =1 0*2.由2 1 0必-%2-1 0*2 =0,A%2%1-X2-=0,即=X2Xlf 因此 A 正确；g+/=犯+1 必 1 +1 0=1 1，因此B 正确；%1 -%2=I。*?-lgxr,因此C不正确；令九(%)=1 0%(%1),则九(%)=1 0”仇1 0 1 0,函 数 九(%)在 1,+8)上单调递增，.h(x)九=9,:.x2=1 0*2%2 9,因此 )正确.故选：A B D.由题意可得 XI Igxi=0,（xj 1）,令=

21、t 0,可得%1=10、代入方程可得tio t 10t t=0,变形为:+条一 1=0,根据函数的单调性及已知小10*2-2 10*2=0,（久 2 1），可得%2=t=匈/，%=1 0 整,进而根据指数与对数的运算性质判断出结论的正误.本题考查了指数与对数运算性质、函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、方程思想方法,考查了推理能力与计算能力，属于难题.13.【答案】41【解析】解：先求（1-3 5 的展开式中常数项以及含厂 2的项；Tr+1=砥-犷=砥-2）5由一 丁 =0得 丁 =0,由一 r=-2得r=2；即（1 一|）5的展开式中常数项为玛1，含尤V 的项为此（2）2厂 2A （1+

22、/）（1 一 9 5 的展开式中常数项为欧+4 C2=41故答案为：41将问题转化成（1-$5 的常数项及含x-2的项，利用二项展开式的通项公式求出第+1项，令工 的指数为0,-2 求出常数项及含x-2的项，进而相加可得答案.本题考查数学的等价转化能力，利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.14.【答案】3%+4丫 =0或%一7、-25=0或7%+丫 +25=0【解析】解：由圆：x2+y2=2 5,得圆心0（0,0）,半径r=5,.32+42=25,.P 在圆。上，若乙4PB=9 0 ,可得4B过圆心且4B 1 0P,P 1 4-0 4.3又上 8=方=，二心8=一干二直线，的方

23、程为丫=即3x+4y=0,若NPBA=90。，可得4P过圆心且08 1 AP,可得0 8 的直线的方程为3x+4y=0,可得B的坐标为（一 4,3）或（4,一 3）,直线4B的方程为y+3=告空（x-4）或y-3=非&（久+4）,即x-7y-25=0或7x+y+25=0.故答案为：3x+4y=。或%7y 25=。或7x+y+25=0.分类讨论可求直线的方程.本题考查求直线方程，考查直线与圆的位置关系，属中档题.15.【答案】(苧,1)【解析】解：不妨设P(3,t),(t 0),居(一c,0),F2(C,0),设直线P 0倾斜角为a,直线PF2倾斜角为0，.tan/&Pa=tan(/?一 a)=

24、:震 温=羽&;1 一 _ (3+c)t-(3-c)t _ 2ct _ 2c 1+含 X 品-(3-c)(3+c)+t2-9-C2+t2 罕+J若tanN&PB的最大值为2奁，则t+7有最小值，又t+丁2 2反?，当且仅当 =不，即t=V 二时取等号，.-.=272,.-.c2=8(9-c2),解得c=2鱼，又 椭圆C与直线x=3无公共点，.a 挈，a 3 椭圆离心率的取值范围是(苧,1).故答案为：(苧,1).不妨设P(3,t),(t 0),&(-20),尸2(6 0),直线&倾斜角为。,直线 2倾斜角为3,由ta n/F J6 =tan(/7 a)=及 二，进可得,2=8(9-c?),由已

25、知可得a an+1=y/3y/(n+l)2 1.可得岛Pn+iy=(n+1-n)2+3(7(n+l)2-1-Vn2-I)2=1+3(7(n+l)2-1-Vn2-1)2.因为(J(n+1)2 1产(Vn2-1+l)2=n2+2n (n2-1+1+2Vn2-1)=2n 2Vn2-1 0恒成立，所以l%Pn+ir 1+3=4,即|%P+/2;%+1 X设/Q)=Vx2+2x Vx2-1(%1),/(x)=-因为(+1)2(，-1)-(%2+2x)x=-2 x -1 0,所以/(x)0,V3:.sinCcosB+sinBcosC=，:.sin(B+C)=y，4+B+C=7T,sin A 冬v c a,

26、.n/.A 3，(2)AD=(AB+AC),则 同 2=；(荏+尼)2,b=2,BC边上中线4。=夕，故|诟+2|而|-2 4 =0，解得|南|=4，S 2 ABe=Q bcsi/iA 2/3.【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解；(2)根据已知条件，推 得 而=；(南+前)，两边同时平方，求出|荏再结合三角形的面积公式,即可求解.本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)由题意，当九=1 时，SI+2=QI+2=2%,解 得%=2,当n=2时,S2+2=2a2,即由+a2+2=2。2,解得。2=4,当九N 2时，由%+2=2an,

27、可得 Sn_+2=2an_x,两式相减，可得0n=2an-261n整理,得a九=2an_i，.数 列 是 以 2为首项，2为公比的等比数列，an=2.2rlt =2n,n E N*,(2)由(1)可 得,On=2%an+1=2n+1,在册与Qn+l之间插入几个数，使得这5+2)个数依次组成公差为d的等差数列,则有 Qn+1 an=(九 +l)dn,.R _%1+1一 -71-n+l-九+11 n+l肩=f.T 1,1,1 2,3,4 ,n+l及=石+石+履=/+/+7+.“+才，乩=2 X (界+3 X (界+展(y+5+1).(y+1,两式相减，+ln+l九-2n-1-2n+-1_23+1?

28、+27T-1-2得可1 122 2n+1 n+l=1+14_ 一 科3 n+3=2 一 科T Q n+3Tn=3-pr【解析】（1）先将n=1代入题干表达式计算出的=2,再将n=2代入题干表达式即可计算出a2的值，当兀2 2时，由$+2=2M，可得%_1+2=2即-1，两式相减进一步推导即可发现数列 即是以2为首项，2为公比的等比数列，从而计算出数列 在 的通项公式;(2)先根据第(1)题的结果写出即与即+i 的表达式，再根据题意可得即+1 -an=5+l)dn,通过计算出d”的表达式即可计算出数列；的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n项和%.an本题主要考查数列求通项公式，以及运用错

29、位相减法求前n项和问题.考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的判定，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.1 9.【答案】(1)证明：设点F 为P C 的一个三等分点，且F =2 P F,连接EF,A F,因为EC=2P E,FD =2 P F,所以EF/CD,EF.CD,又因为4 B/CD,A B =CD,所以A8/EF,A B =E F,所以四边形4 BEF是平行四边形，所以 BE/AF,又因为ZF u平面P AD,B E C 平面R4 D,所以BE 平面P AD.(2)因为4。1 CD,平面4 BCD CI 平面P CD=C D,则 丝=y =0 ，令

30、”1,得元=Qoa；n-A P=-3%+y +V 3 z =0同理，PB =(3,0,-V 3).B C =(-3,2,0).设平面P BC的法向量为沆=(x,y,z),则 恒 竺=3-岳=0,令 2,则y =3,z =2g，所以记=(2,3,26),(m-B C =-3%+2y =0所以平面4 P B 与平面P BC的夹角的余弦值为n_ m-nCOSu=LI LI2+0+6 _ 4Vl+0+3xV4+9+12 5,【解析】(1)取P D 的一个三等分点F，连接EF,A F,证明四边形4 BEF是平行四边形，得出BE/1F,即可证明BE 平面P 2D.(2)由4。1 C D,平面4 B C D

31、，平面P CD,得出4 D _ L 平面P CD,PD 1.A D,N P O C是二面角P -A D -C的平面角，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出平面P 4 8、平面P BC的法向量，用法向量求平面A P B 与平面P BC夹角的余弦值.本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了空间向量的应用问题，是中档题.20.【答案】解：(1)假设为：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关,7计笆,2 _ 200 x(65x75-25x35)“100 x100 x90 x110 3 2.3 23 10.828,根据小概率值a =0.0 0 1的独立性检验，我们推断不成立,即认

32、为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.0 0 1.(2)(i)由题意知，P i=l,P 2=0,P3=j,P4=j x 0 +(1-x 1=i；证明：第n 次触球者是甲的概率记为七,则当 2 2时，第n 1次触球者是甲的概率为治-1，第n -1次触球者不是甲的概率为1-Pn_则=Pn-i x 0 +(1-Pn_)=P Q,从而分=_|(P n-i-,又p】V=l，所以 匕是以I 为首项，公 比 为 的 等 比 数 列，第 n 次触球者是甲的概率为4=|x (-扔 T+3,所以 P 15=|x(V)14 +*击+*,第15次触球者是乙的概率为Q 15=*1 P 15)=*1 V

33、X会 今=A：X六 4，所以第15次触球者是甲的概率比第15次触球者是乙的概率大.【解析】(1)假设飞：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，计算K 2,对照附表即可得出结论.(2)。)根据题意写出 3、”的值，第建 次触球者是甲的概率记为七，nN 2时，第n-l次触球者是甲的概率为七 1，第711次触球者不是甲的概率为1 Pn-i，由此得出&一4=*P n-l 勺，即可判断6 号是等比数列；写 出 计 算 P15和Q 1 5=*l P15）的值，比较大小即可.本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了概率与统计的应用问题，是难题.21.【答案】解：（1）依题意，离 心 率,=

34、。2+底,-=1,解得。2=1,扭=4,双曲线E的方程为一一1=1.（2）证明:设P（/,y i）,Q（x2,y2）直线PQ为x=ty+2（t丰0）,代入双曲线/一步=1方程得（轨2 一 I）y2+1 6 ty+12=0.则4t2-1#：0且4=16（4t2+3）0,12,八 八 2 1.16t%丫2=V ，.0 t 得：VN=X22=-y2-p 即可（-%2，-、2-，设线段MN的中点坐标为T（x0,yo）,则x=型 宇 力 =a _%V。=空=-p 过 点 P的切线方程为：/无 一 牛=1,要证双曲线在点P处的切线平分线段EF,即证点P处的切线经过线段MN的中点T,1 xixo 5 b =

35、X 1 哈 一”2 一今（一 1）=+2）（骼 一 -2）+%=-y!y2+（y i+y 2）-4 =x+x（-）-4 =i.点 P处的切线过线段MN的中点T,即点P处的切线平分线段MN.【解析】（1）由已知可求a2,b2,可求双曲线E的方程.（2）设P（xi，y），Q（x2,y2）,与双曲线联立方程，求得AP,BP的方程求得M,N坐标，可求得中点7 的坐标，点P处的切线经过线段MN的中点7 即可.本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题.2 2.【答案】解：若/(x)=k x +2(k WR)是增函数，则广(x)=恒成立,所以k 22在(0,+8)上恒成立，令W。)=%0，则 joQ

36、)=所以W(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)递减，所以W(%)m a x =所以k 2(p(x)m a x=I，所以k的取值范围为弓,+oo).(2)。)证明：由(1)知，当k 时，f(x)=；x +W，令/(%)=。得 检,V由(1)知9(x)=5,在(0,1)上递增，在(1,+8)递减，W(X)m a x=所以W(x):,所以在(0,+8)上(x)N O,f(x)单调递增，因为0 /小,所以J Q i)m所以竟一言 配%1 -厩2 =-1咤,(*)令g(%)=%+1,x o,g(,x)=g-1在(0,+8)上单调递减，又g=0,所以在(0,1)上g(x)0,g(x)单调递增,在(1,

37、+8)上g，(x)1-羊所以(*)不等式为鼎一扁 l n Xl l n X2=f 1 -所 以 岛 一 导 1 一言.(五)证明：依题意：/(%)=：-=0 有两个不同实数根%1%2，由(1)知0 Xi 1 0)，则“(X)=生 泮，当0 x 1 时,(1 x)lnx 1 时，(1 -x)lnx 1，所以0 g(%2)g(l)=：，所以0/。2)；，先证明p(x)=I nx%4-1 0,0%。，所以p(x)在(0,1)上单调递增，所以p(x)p(l)=0,所以mx -%+1 0,所以 仇%1,所以 无 仇 4-1%(%1),令q(%)=x(x 1)ex,0 x 1,q0,叭 1)=2 -e V

38、 0,所以存在沏 6 (0,1)使得 。)=0,即2 =峭。，所以在(o,%o)上q(%)。，qO)单调递增，在(%0，+8)上q(%)V 0,q(%)单调递减，所以q(x)q(%o)=2%0-1-ex。=2x0 1 2=2x0 3 0,所以q(x)在(0,1)上单调递减，所以q(%)V q(0)=-1 V 0,所以工(%-1)exf因为0 /1,所以i(x-1)+1 eX1,所以不等式放缩为仇%1 4-1%i(x-1)+1 eX1,所以;/(/)所以，(右)一火电)1 0,只需k N 中(X)max，即可得出答案.(2)(i)由(1)知,当k=；时，f(x)=+求导分析单调性,推出/Q i)lnxr-lnx2=-l n (*),再证明T n 孑 1-?,即可得出答案.人1人1 人1(五)依题意：/(X)=-2=0有两个不同实数根刀1刀2，/(X1)=klnxr+=修 黑：+1,y(x2)=klnx2+焉=型贷里令g(x)=写出(0),求导分析单调性，可得0 /(犯)会 证明/伍 石+1 与0 1)+1 1,即可得出答案.本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.