三年高考（2019-2021）数学（理）试题分项汇编——04 导数及其应用（解答题）（教师版）.pdf

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1、专题0 4 导数及其应用(解答题)1.【2 0 2 1 天津高考真题】已知”,函数”幻=7.求 曲 线 尸 幻 在点/)处的切线方程：/(x)(I I)证明 存在唯一的极值点f(x)；(I I)证明见解析；(I I I)H，+G O)【分析】(I)求出/(X)在x =0处的导数，即切线斜率，求出，(),即可求出切线方程；(I I)令/(力=,可得a =(x+D e”,则可化为证明丁 =。与丁=8(力 仅有一个交点，利用导数求出g(x)的变化情况，数形结合即可求解；(川)令人(x)=(x 2 r-l)e，,(x 1),题目等价于存在x e(l,+o o),使得力(x)4b,即6 2%(x)m i

2、n ,利用导数即可求出M x)的最小值.【详解】/(x)=a (x +l)e ,则/(0)=a-l乂/=,则切线方程 为 尸(I I)令/(x)=(x+l)e =,则a =(x +l)e ,令g(x)=(x +1)/,则g (x)=(x +2)/,当XG(-8,-2)时,g (x)0,g(x)单调递增,当 X f-8 时，g(x)0,画出 g(x)大致图像如下：所以当a0时，=&与 =8(力仅有一个交点，令g(7)=a,则m-l,且fm)=a-g(m)=O当x e(-8,?)时，a g(x),则/(x)0,/单调递增，当x e(见+8)时，a g(x),则/(x)一1),人)k(x)=(x x

3、 1)若存在0,使得对任意xeR成立，等价于存在x e(T+8),使 得 叫即 b 2 0(x)m iihx)=(x2+x-2)，=(x-l)(x +2)eA x-当XG(T,1)时,、(x)0,%(x)单调递增，所以(x)m m=-e,故 2-e,所以实数b的取值范围卜4+0 0).【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明V =a与歹=8(*)仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在x e(T，+8),使得(M W%即6 2%(x)m in2.1 2 0 2 1 全国高考真题】已知函数/(x)=(x T)e*G2 +b./(X)(1)讨论 的单调性；f(x)(2)从下面两个条件中选一

4、个，证明：有一个零点1 /7 一 2。2 2 ；-0 a ,b 2a 2【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】由函数的解析式可得：/(x)=x(e 2a),当。4 0时，若XG(_ 8,0),则/(x)OJ(x)单调递增;当0 0 J（x）单调递增,若x l n（2 a）,0）,则/（x）0J（x）单调递增，若 X （o,I n（2叫,则/（x）0J（x）单调递增；（2）若选择条件：1 e2由于，,彳，故l 2 a l,/（0）=b-l （b而/（

5、-6）=（-1一6 一 2-6 0,而函数在区间（上单调递增，故函数在区间（）上有一个零点./（in（2 a）=2 o l n（2 2a in（2 a）-1 -a in （2 a）+2a=2a I n（2 a）-a in（2 a）了=a I n（2 a）2 -I n（2。）1 e2由于1 ，2 q /，故a l n（2 a）2 _ l n（2 a）N0,结合函数的单调性可知函数在区间(0 +8)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于故2 a 1，贝iJ/(0)=b-l V 2 a-l 4,4。0而函数在区间(,十 0)上单调递增，故函数在区间(,十 )上有一个零点.当6 0时，

6、构造函数(幻=/-1,则“(x)=eT,当、一 叫0)时，(x)0,(x)单调递增，注意到“二,故(X)?恒成立，从而有：x+1,此时：f(x)=(x -)ex-ax2 (x-l)(x +l)-tzx2+b=(l-z)x2+(6-1)1 1 -b当=时，(l-a)x2+(/)-l)0 则/（%）0,即：/（o）0,l-a）而函数在区间(,十 0上单调递增，故函数在区间(，T 8)上有一个零点./（I n（2 a）=2 a l n（2 a）-l -a l n（2 a）-+b42 a l n（2 a）-l -a l n（2 a）J+2 a=2 a I n（2 a）-7 in （2 a）=a I n

7、（2 a）2 -I n（2）由于 0 Q5，0 r 故 a l n（2 a）2 _ l n（2 a）0；当时，/o,所以，X）M=/（T）=1，小/（4）=-：4.【2 0 2 1.全国高考真题】已知函数/（力=（1-1 nX）.（1）讨论/（X）的单调性：c 1 12 V I v（2）设a,力为两个不相等的正数，且b l na-4 1 nb =a,证明：a h【答案】（1）/（X）的递增区间为（），递减区间为（L+0 0）；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；j _ _（2）设=2,原不等式等价于2$+%0,前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者

8、可设=/，从而把X|+X2 ,当x l,+8）时，/（x）0,故/（X）的递增区间为（。1）,递减区间为（L +8）.I n 6 7 +1 _ I n 6+1（2）因为b l na-al nb =a-b，故gna+1）=a（ln b+l）,即&=/,设=由(1)可知不妨设%1.因为x O，l)时，/(x)=x(I n x)O x e,+oo)时，/(x)=x(l-ln x)2先让：,若花+/2必成立.若 2,即证再 2-？而0 2-/（2 “2）,即证：/（工2）/（2-工2）,其中 1于2.设g（x）=/（x）-/（2-x）,lx2则g（x）=r（x）+/（2-x）=-ln x-ln（2-x

9、）=-ln x（2-x）,因为l x 2,故 *（2 力 0,所以g（x）,故g（x）在（1，2）为增函数，所以g（x）g=,故x）/（2 x）,即/（马）/（2-9）成立，所以玉+乙 2成立，综上，玉+%2成立.设工2=/，则 1,I n a +1 _ I n 6+1 1 1结合一丁=七，=%3 =当 可得：xl（l-ln xl）=x2（l-ln x2）,即：T n X 1=/（l ln f I n xJ,故也占=-，要证：X|+W e,即证a +l）*（e,即证ln（f+l）+ln X 1,即证：W+）+-1,即证：（l）ln（/+l）T h n 1S a)=ln q+1)则+-1-ln

10、Z =I n 1 +-，+i V t2/+1，先证明一个不等式：1n(x+l)&x.设“x)=ln(x+l)-x,则/(力=17 7-1=7 7 1，当-lx 0；当 x 0 时，(x)i时，i n(i+7)*7；7T，故s(/)o恒成立，故S(。在(1，+)上为减函数，故S(，)8(1)=0 ,故。-1)111(/+1)-/皿 0成立，即X|+W e成立.c 1 12 I 1,函数/()=一 +e 2(xe R)(1)求函数/(X)的单调区间；(2)若对任意b 2e 2,函数/(X)有两个不同的零点，求a的取值范围：(3)当a =e时，证明：对任意b e 4,函数/(力 有两个不同的零点占户

11、2,满足hlnb,2“2 才+石 e=2 71828（注：是自然对数的底数）【答案】时，在&上单调递增；时，函数的单调减区间为f b g玄），单调增区间为bg aj+8m a 9/；证明见解析.【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；结合（2）的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.解析（）/（x）=a b x+e 2,/（x）=a n a -b,若6 4 0,KlJ/（x）=ax n a-b 0 所以/（外在五上单调递增;若当 x e （-8,

12、log“元J 时，/）0 J（x）单调递增.综上可得，/）0 时，/（%）在R上单调递增;b0时，函数的单调减区间为（f b g 嬴），单调增区间为U g嬴+8s /（x）八 =a-6x+e2=0-一 人才g=e”-bx+e2=0 上一人才（2）有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解,Am.l d-=0-t=xlna 则 na Inad+/，e记 g)=-,g(/)=一e(t-l)-e记似=d_l)+/l=/()(2)=0 止(0,2)0又，所以 BJ,时，卜,2(2)=e2 则8)在(0,2)单调递减，(2,+8)单调递增，.114八,i?h 9,/b 2e 2,.Ina 1 a e_

13、 ex+e2注意到函数，=二 在区间（0,2）上单调递减，在区间（2,+8）上单调递增,故X 2%2,又由一5 5，bnb e1.e2要证 三 七+石，只需马 I n了,_ *+e2 2*e2，二丁（三旦关于b的函数g.）=M +不 在b /上单调递增,所以只需证马只需证l1 n e v2 _ 山1 不2eX一1 亦e2x7 0.e2x只需证I 2天 一 山2 0 0,故函数 单调递增,/2(5)=In 5-In 2 =In -0又 l e5 2 /4 xh(x)=In x-l n 2 .,故 ex 在x 5时为正,从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具

14、，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.xa6.【2 0 2 1 全国高考真题（理）】已知。0且4/I，函数/*）=/（*）.（1）当4 =2时，求/（X）的单调区间；（2）若曲线V=/（x）与直线3 =1有且仅有两个交点，求。的取值范围.【答案】(0 而 一 上单调递增；*十)上单调递减；(2

15、)(l,e)u(e,+a).【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；(2)利用指数对数的运算法则，可以将曲线、=/(、)与直线歹=1有且仅有两个交点等In x _ In。_ a价转化为方程丁 二 丁有两个不同的实数根，即曲线y =g(x)与直线，=记1有两个交点，利用导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到 二-发现这正好是0 g(a)g(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到。的取值范围.【解析】(1)当=2时，/、x2、2.I n 2/(x)-1 J (x)-/22 62 2令/3 =0得

16、京,当,当 京时，/(x)x，在(，e)内g (x)O,g(x)单调递增；在(e,+8)上 g (x)O,g(x)单调递减:，g(x)M=g(e)=。又g =0,当x趋近于+8 时，g G)趋近于0,a所以曲线歹=/(x)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线歹=g(x)与直线歹=启有两个交点的充分必要条件是丁,这即是0 g(a)g(e),所以。的取值范围是(1*)5 d+8)【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.7.【2 02

17、1 全国高考真题(理)】设函数/(、卜皿“)，已知X =。是函数y=V(x)的极值点.(1)求 O；_ x+/(x)(2)设函数x/(x).证明:g(x)L【答案】1；证明见详解y a【分析】(1)由 题 意 求 出，由极值点处导数为0即可求解出参数；x+l n(l-x)(2)由(1)得g *xl n(l-x),x l x 0,分类讨论“w(0,l)和x-8,0)，可等价转化为要证g(x)/*(%)=-【解析】由八 )x-a ,y=4(x)=y，=l n(a-x)+-又x=0 是函数，=M(x)的极值点，所以y()=l n a =,解得a =l；4出 _x+/(x)J+l n(l-x)(2)i

18、 l l (1)得/(力=皿 1 一x)，切(x)xl n(l-x)X 0,l n(l-x)0 /.xl n(l-x)xl n(l x)，化简得x+(l-x)l n(l-x)0；.x)_x+ln(I)i同理，与 X(-8,O)时，要讥 xl n(l-x),v x 0,.0.xl n(l -x)xl n (1 x)化简得 x+(l -x)l n(l x)0令M x)=x+(l-x)l n(l-x),再令f =l x,则，e(O,l)U(l,+8),x =.t(令g(z)=1 -r+/In/=-1+In/+1=In/当，e(O,l)时，g (x)g(l)=O；当海(1，+8)时，g (x)0,g(

19、x)单增，假设g 能 取到，则g=,故g(/)g =0.x+l n(l-x)综上所述，g(x)=xl n(l-x)在X e (00,0)U(0,1)恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为。可求参数。，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.8.【2 02 0年高考全国I 卷理数】已知函数/(x)=e +a?-x(1)当a=l 时，讨论/(x)的单调性；1(2)当疮0 时，/(X)2 万片+1，求 a 的取值范围.【解析】(1)当a=l 时，f(x)=ex+x2-x,则/(x)=e*+2

20、 x-l.故当(-8,0)时，ff(x)|x3+l 等价于-ax2+x+1)葭 。.所以g(X)在(0,2)单调递增，而g (0)=1,故当x d(0,2)时，g(x)1,不合题意.1 1(i i )若 0 2 a+l 2,a-,则当x(0,2 a+l)U(2 ,+8)时，g(x)0.所以g(x)在(0,2 a+l),(2,+-)单调递减，在(2 a+l,2)单调递7-e2增.由于g(O)=l,所以g(x)S l当且仅当g(2)=(7-4 a)e yi,即应 .7-e2 1所以当一丁一时.，g(x)l.(iii)若 2。+1 2 2,即 a*,则 9优)4(53+x +1)口.7-e2 1 1

21、由于故由(jj)可得+才+1把-*1.故当。2；时，g(x)l.7-e2综上，。的取值范围是-1一,+8).【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微 积 分 相 联 系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性;已知单调性，求 参 数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.9.【2 0 2 0年高考全国I I卷理数】已知函数/(x)=s in2%s in2 x.(1)讨论/(x)在区间(0,H)的单调性；证明

22、：|/(刈4手；(3)设 EN*，证明：s in2xs in22 xs in24 x-s in22,x 0：当工 呜,争 时，仆)0.所以“X)在区间(0 5),(g，兀)单调递增，在区间(y,y)单调递减.(2)因为/(0)=/(兀)=0 )知，x)在区间 0,兀 的最大值 为 吗)=乎，最小值为/(?)=-挛.而.是 周期为 的周期函数，故 x)区 挛.3 8 7 W K 83(3)由于(s in?xs in2 2 x-s in2 2xy=|s in3 xs in3 2 x-s in3 2x=|s inx|s in2 xs in3 2 x-s in3 2n-,xs in2nx s in22

23、nx|=1 s in x|f(x)f(2x)f(2n-x)|s in2 2n x|整理可得8 (=3(1)：.+1).令g，(x)=o,解得X X XX =1 当X变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表：X(0,1)1。,+8)g(x)-0+g(x)极小值/所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8)；g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值.(1 1)证明：由/(x)=1+左 I nx,得/(x)=+&.X对任意的X 1,2 口，+)，且%2，令 五 =f(fl),则(须-工2 乂/(X J +/()-2 (/(X J -/()(k k、(xi -x2)3 x

24、：+3 x；+一 X X2 )(2 x：x：+上 I n -、X2 7、%：-x；一3%；工2+3 X X；+左 -2 A:ln X2 X)X2=x(Z3-3/2+3 r-l)+A:L-j-2 1 nZ j.令(x)=x-1-2 1 nx,xe l,+o o).当 1时，/z,(x)=l +-=f 1-0 .X X X y x)由此可得人(x)在 l,+o。)单调递增，所以当f l时，h(t)/?(1),C Pr-2 1 n/0 .t因 为2 1,r 3 r+3/1 =。1)3 0,左 2 3,所以，b 1 3厂+3/1)+4(/-2 I n/(-3厂+3 f 1)3(/-2 h i/3=t3

25、-3/2+6 1 n/+-l.ta 、3由(I)(i i)可知，当 f l 时,g(0 g(l),即，-3 f +6 1 n/+1,tR 7 3故/一3 广 +6 h n +-l 0 .t由可得(石一%2乂/(石)+)(X 2)2(/(项)一)(%2)。,所以，当。2-3叶 肝 仟 音 的 x x e f l+o o)F l xx 右/(x J +/(X 2)/一/伉)2 X j -x21 2.【2 0 2 0年高考北京】已知函数X）=1 2 _ x 1（I ）求曲线 =/（）的斜率等于一2的切线方程；（I I）设 曲 线 在 点 亿 处 的 切 线 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的

26、 面 积 为S）,求S）的最小值.【解析】（I）因为/（x）=1 2一 所 以“x）=-2 x,设切点为（。2一%）,贝广2/=-2,即x 0=l,所以切点为（I/】），由点斜式可得切线方程：V U =2（x 1）,即2 x +y-1 3 =0 0（1【）显然，因为V =/（x）在点，1 2 2）处的切线方程为：一（1 2-）=一2一。,_+1 2令 x =0，得 y=+1 2，令 y=0，得 x 一 2t-，1 /2 /+1 2所以 s ）=5 x（厂+1 2）.可 丁，不妨设 2,由及(。,得0 f 2,所以S)在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，所以，=2时，S(f)取得极小值，S

27、 J 6 x l 6 =也 是 最 小 值 为 1 8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值,属于中档题.13.【2 0 2 0 年高考浙江】己知l=/(x)在(o,+8)上有唯一零点；(I I)记X。为函数y=/(x)在(0,转)上的零点，证明：(i )la-l x0(e-l)(a-l)a .【解 析】(I )因为/(0)=1-。e2-4 0,所以 y=/(x)在(0,+8)上存在零点.因为f (x)=e、-1,所以当x 0 时，/(幻0,故函数/(x)在 0,+8)上单调递增，所以函数以y=/a)在(0,+8)上有唯一零点.(IuT )，(、i，)，令q

28、 g(x)e 2 x-x l(x 2 0)八,gf，(/x)、=e x-x-1,=/，(/x)、+a -1.,由(I )知函数g (x)在 ，+8)上单调递增，故当x 0 时，g (x)g (0)=0 ,所以函数g(x)在 0,+8)单调递增，故g(x)g(0)=0 .由 g(j 2(a-l)20 得j2(f)=e 时-J 2(a-1)-a 0 =/(x0),因为/(x)在 0,+0 0)单调递增，故令(x)=e-1(0 4 x 4 1),h(x)=ex-2x-,令 h(x)=ex-2 x -1(0 x 1),A/(x)=er-2 ,所以X0(0,l n 2)i n 2(I n 2,1)1砧X

29、)-10+e-2似X)0/e-3故当0 五 1时，似 乃 0,即如)0,所以3)在 0 J 单调递减,因此当 0 4 x 4 1 时，/i(x)/i(0)=0 .由人(7 1)4 0 得/(7 1)=6内 _7 1_。4 0 =/口0),因为/(X)在 0,+8)单调递增，故GFwx。.综上，y l x0l 时，(x)0,故函数”(x)在区间 1,+8)上单调递增，因此=0.由 e =%+a 可得 x0/(ex)=xof(xo+a)=(e -l)x；+a(ea-2)x0(e-l)a r；,由.2 V a-1 得xof(er)(e-l)(a-l)a .14.【2 0 2 0年高考江苏】某地准备在

30、山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底。在水平线MN上，桥A B与MN平行，。为 铅 垂 线 在A B上).经测量，左侧曲线A。上任一点D到M N的距离九(米)与D到O O,的距离。(米)之间满足关系式1,九=京 ；右侧曲线B。上任一点F到/WN的距离(米)与F到 c c，的距离b(米)之间4 U 2 (7(7满足关系式色=-诉/+6 b.已知点B到 cc的距离为4 0 米.oU U U U（1）求桥A 8 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于。的桥墩8和 E F,且 C E 为 80 米，其中C,E 在3A 8 上（不包括端点）.桥 墩 E F 每米造价k（万元）、桥墩C D

31、 每 米 造 价 万元张 0）,问。上为多少米时，桥墩CD与E F的总造价最低?【解析】（1）设 4 4,8%。,他 都 与 垂 直，4,综。，耳是相应垂足.由条件知，当0 5 =4 0 时，BB.=-x 4 0J+6 x 4 0 =16 0,则 4 4=16 0.80 01由 圭。为 2=16 0,得。/=80.所以/8=0%+0 6 =80 +4 0 =120 (米).（2）以。为原点，0 0 为V轴建立平面直角坐标系无。（如图所示）.设尸(x,%),x e(0,4 0),则当=-工 ，+6 x,T=16 0-y,=16 0 +X3-6X.2 80 0因为 CE=80,所以 OC=80-x

32、.设Z(x-80,必),则必$(8 0 7)2,所以。=160 M=160 亮(80-x=-X2+4X记桥墩CD和 E F 的总造价为/(x),13 1f(x)=k(60+x3-6x)+-一一/+4x)800 2 40人13=k(x3 x2+160)(0 x)之力(x)N g(x).(1)若/(x)=x+2x,g(x)=-x2+2x =(-+oo),求 h(x)的表达式；(2)若x)=f-x +l,gU)=knx h(x)=kx-k,D=(0+oo),求 k 的取值范围;(3)若 x)=t 4-2/，g(x)=4x2-8 h(x)=4(/3-/)x-3/4+2/2(0p|kx+b-x2+2x,

33、取x=0,得020,所以6=0.由/+2 丫 2 ，得公+（2-左）x2 0,此式对一切x e（-8,+oo）恒成立,所以(2-A)2 0,则左=2,此时2x 2+2 x 恒成立，所以旗x)=2x.(2)A(x)-g(x)=k(x-I n x),x e (0,-H)7 u(x)=x-1-l n x ,则(X)-令/(x)=0，,J%=1,X(0,1)1(1.+)-0+M（X）极小值/所以(x)m M =w =0 .则x-121n x 恒成立，所以当旦仅当 2 0时，/(x)N g(x)恒成立.另一方面,/(x)N A(x)恒成立,即V-x+l W A x-a 恒成立,也即f-(l +1)x +

34、1+1 N O 恒成立.1 +k因 为 八 c，对称轴为*=-，A r 0 2所以(1+k)2-4(1+%)4 0,解得 I V 左 4 3.因此，k 的取值范围是0 4 3.(3)当1 4Y后 时，由 g(x)4，(x),得4-8 4 4(-/口一3 r+2/，整理得2/3、3/4 2t 8厂-(/-t)x+-0.(*)4令 4=(-t)2-(3/4-2t2-8),则 一 5/+3 +8.i己 叭 t)=t6-5 f 4 +3/2+8(l r V 2),则(p(t)=6t5-20/+6t=2f(3/一 1)(-3)(1),即2 4/)4 7.所以不等式(*)有解，设解为占4x4%，因此 一

35、加 4 /_%=y v7.当0 t l时，/(-I)-A(-l)=3 r +4/-2r-4 t-l.设 v(t)=3?+4 t3-2t2-4 t-l,v(t)=2t3+12 6-4 f-4 =4(f +1)(3/-1),令，得”正v v,(t)=0 ,3 ,当，(0,g)时，次)0,皿 是 增 函数.v(0)=-l ,v(l)=0 ,则当0 /1 时,v(0 0 .(或证：0=+1)2(3/+1)(1)0.)则/(T)-(T)0 ,因此n).因为 加，口-女近 ,所以-加4及+1 7 7 .当-&4f 1,求a的取值范围.【解析】“X)的定义域为(0,+8)，/(x)=a e i-g.(1)当

36、a =e 时,/W=et-l n x +1 ,/,(l)=e-l ,曲线N =/(x)在点(1,/(1)处的切线方程为P-(e +l)=(e-l)(x-l),即y=(e-l)x +2 .直线y =(e-l)x +2在x轴，轴上的截距分别为 言，？因此所求三角形的面积为二7 .e-1 当 0 1 时，/(l)=a +l n a l .当a =l时小)=尸 _1W小)=产 一.当 X w (0,1)时,fx)0 .所以当x =l时，/(X)取得最小值，最小值为/(1)=1,从而/(x)N l.当 a 1 时，,f(x)=a ev-l n x +l n a ev-1-I n x 1.综上，a的取值范

37、围是口，+8).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.1 7.【2 0 19年高考全国I卷理数】已知函数/(x)=s i n x-l n(l +x),/(X)为/(x)的导数.证明:/4兀(1)/(X)在区间(-I,m存在唯一极大值点;(2)/(x)有且仅有2个零点.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)设 g(x)=/(X),则 g(x)=c o s x ,=-s i n X +1.1 +x (1+x)当时，g (x)单调递减，而g，(O)O,g或)0,可 得g (x)在 卜 J有唯一零点，设为a

38、.则当x w(-l,a)时，g (x)0：当时，gf(x)0.所以g(x)在(T,a)单调递增，在(a,单调递减，故g(x)在(T,：)存在唯一极大值点，即/(x)在 存 在 唯 一 极 大 值 点.(2)/(x)的定义域为(1,+8).当x e(1,0 时，由 知，/(x)在(一1,0)单调递增，而r(0)=0,所以当时,f (x)0,故/(x)在(一1,0)单调递减，又/(0)=0,从而x =0是/(x)在(-1,0 的唯一零点.(i i)当时，由(1)知，/(X)在(0,a)单调递增，在(a,调递减，而/(0)=0,0.当xe夕看 时，/(X)0,所 以 当x e l 0,y时,/(x)

39、0.从而,/(x)在0看 没有零点.(i i i)当xe泉 攵 时，f (x)0,/(兀)l,所以/(x)0,所以/(X)在(0,1),(1,+8)单调递增.e +p-+1 e 2 3因为/(e)=1-0,所以/(x)在(1,+0)e-1 e -1 e -1有唯一零点 X”即/(X1)=0.又 0 +=-fxx)=0,故A k iJ C t 11f(x)在(0,1)有唯一零 点 一.再综上，f(X)有且仅有两个零点._ -lnx0(2)因为看,故点B(-l n x0,x0)在曲线y=e，上.I n _ x。+1由题设知/(%)=0,即故直线A8的斜率1 l.n x1 x0+10-27.k=o=

40、%=1T n x。-/_ Xo+2_ x0 1人0X。T曲线y=e*在 点（玉）处 切 线 的 斜 率 是,曲线歹=I n x 在点4（x（）,l n x 0）处切线1的斜率也是x0.所以曲线 =Mx在点收0,I n、。）处的切线也是曲线y=ex 的切线.【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.1 9.【20 19 年高考全国H I 卷理数】已知函数/（%）=2 万 3-公 2+/.（1）讨论/（X）的单调性；（2）是否存在4,6,使得/（X）在区间 0,1 的最小值为一 1且最大值为1?若存在，求出凡人的所有值；若不存在，说明理由.（2=0

41、 =4【答案】见解析；j b =_ i 或j b =i .【解析】（1）/（X）=6/2a x =2x（3 x-a）.令/（X）=。,得 x=o 或 X=.若 a 0,则当 xe（-8,0）u（|,+o o）时，fx 0 ；当 xw。,）时，f x）0 .故/（X）在（一 8,0）,件+0 0）单调递增，在（0 片）单调递减；若。=0,/（X）在（-%+8）单调递增；若 a 0 ；当时，f（x）0 .故/(x)在g j,(0,+8)单调递增，在 单 调 递 减.(2)满足题设条件的a,b 存在.(i)当a s O时，由(1)知，/(x)在 0,1 单调递增，所以/(x)在区间 0,I 的最小值

42、为/(0 尸6,最大值为/=2-。+6.此时a,b满足题设条件当且仅当6=1,2 一 a +b =1，即 o=0 b 1.(i i)当。23时,由(1)知，/(x)在 0,1 单调递减，所以/(x)在区间 0,1 的最大值 为/(0)=6,最 小 值 为/(1)=2-。+6.此 时。，b满 足 题 设 条 件 当 且 仅 当2 o +&=1,b=l,即。=4,b=l.(3y=+b,最大值为 b 或2-。+6.若-+力=-1,b=l,贝!)Q=3啦，与 0 。3 矛盾.27若一方+匕=-1,2-a +b=l,则。=3百 或 a =-3j j 或。=0，与 0 a 3 矛盾.综上，当且仅当。=0,

43、6=-1 或 a=4,b=l 时，/(x)在 0,1 的最小值为-1,最大值为1.【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少,考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算.2 0.【20 19 年高考北京理数】已知函数/(刈=:/一/+.4(I )求曲线V =/(x)的斜率为1 的切线方程；(I I)当x e|-2,4 时，求证：x-6 f(x)一0+。)|(4 1；一 方=x ,64即夕=X与y=_ 力.(II)令 g(x)=/(x)-x,xe-2,4.I 3由 g(x)=一X，-0得 g(x)=-x2-2x.4 4Q令g(x)=0得x=0 或x=.g(

44、x),g(x)的情况如下：所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.40故-6 4 g(x)0,即x-6/(x)O x.(Ill)由(I I)知，当 a F(0)=|g(0)-a=-a3；当 a 3 时，M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+3:当。=一3 时，M(a)=3.综上，当最小时，a=-3.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2 1.【20 19年高考天津理数】设函数x)=e c o s x,g(x)为/,(x)的导函数.I )求/,(X)的单调区间；7T T T T T A(

45、n )当XG 时，证明/(x)+g(x 45 x j 2 0；(I I I)设X“为函数(x)=/(x)-l在区间2 兀+z，2 7i +J内的零点，其中eN,兀证明 2/771H-Xn c os x,得/(x)0,则/（X）单调递增.37r 7T所以，/（X）的单调递增区间为2 k n-,2 k n +-/e Z）,/（x）的单调递减区间为7 1 J 1T2kTt+-,2kit+(左 eZ).4 4 _(I I )证 明：记/?(%)=/(x)+g(x)l|-xj.依 题 意 及(I ),有g(x)=ev(c os x -s i n x),从而 g(x)=-2 e“s i n x .当工 ，

46、5)时，g(x)。，故 (x)=/(X)+g x)1-x)+g(x)(-l)=g(x)5 -x)0.(HI)证明：依题意，(%)=/(%)-1=0,即 e%c os x“=l.记 兄=Z一2 兀，则,w(；，T j，且/(x,)=e1 c os y,=e*-2 *c os(x“-2 m c)=e-2 K(eN).由/Eb i Wl=/(%)及(I),得”由(I I)知,当x ef 时,T T.T C.I 7T g(x)0 ,所以g(x)在 上 为 减 函 数，因此g(匕,)K g(%)gw J =0,乂由(H)知，/C y“)+g(”)(/N,JN O,故一 r/i,c-2兀 八 一2 K c

47、-2”兀 八 一2 汽兀 /（Z j _ e e e e2 一 g（K）g（y“）-gC vo）e（s i n%c os%）s i n x0-c os x0 兀 e-2 n n所以，2mt H-xn 0.4 4,八 3 1 (7177-2)(2 71+1)/(X)=-+-f=-,4x 2 vl+x 4x j l+x所以，函数/（x）的单调递减区间为（0,3）,单调递增区间为（3,+00）.I/o(2)由 /X I)丁，得 注.2a 4当 0 a 4 也 时，f(x)0.4 2a a2 a令 M t 2 V2 .a设g Q)=J l+x -2 1nx,t 2 /2 ,则 g(。=_ J l i)

48、2 j=2 I n x.-1)(i)当 X y,+00j 时,1+-g(2 后)=8A/X-4 V2 V l T x -2 I n x .记 p(x)=4 V 7 -2 V2 V1+x -I n x,x 2 ；,则P(x)=(x-l)l+Vx(V2 x +2-l)x j x +l(4 +l)(J x +l +V2 x)故所以，p(x)p(l)=0.X7e.D1(1,+8)p(x)一0+p(x)P(；)单调递减极小值p(l)单调递增因此，g(t)g(2V2)=2p(x)0.(i i)当e-2 Vx ln x-(x +l)2fx令 q(x)-2x I n x +(x +l),x e贝 W (x)=

49、ln x +2+l 0,1 _7 5故g）在 J；上单调递增，所以q（x）q所 以,q(x)0.因 i H:g(/)g由 (i i)知对任意x e ,+oo j,t e2 ,+oo),g(/)*,0.即对任意x e ,+j,均有/1（x）,.e J 2a综上所述，所求。的取值范围是0,一 .I 4 J【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微 积 分 相 联 系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求 参 数.（3）利用导数求函数的最值（

50、极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.2 3.【2019 年高考江苏】设函数/,(x)=(x-a)(x-b)a-c),a,b,cw R、/(x)为/(x)的导函数.(1)若 a=b=c,f(4)-8,求。的值;(2)若oM,b=c,且/(x)和尸(x)的零点均在集合-3,1,3中，求f(x)的极小值;4(3)若。=0,06,1,。=1 ,且/(x)的极大值为 M,求 证:.27Q =2【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)因为Q =b=c,所以/(%)=(工一4)(工一6)(工一。)=(工一4)3因为/(4)=8,所以(4-4=8,解得。=2.(2)因