2019中考数学试题分类汇编考点30：切线的性质和判定（含解析）.pdf

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1、2019 中考数学试题分类汇编：考点3 0 切线的性质和判定一.选 择 题（共 11小题）1.（2019 哈尔滨）如图，点 P 为。外一点，PA为0 0 的切线，A 为切点，P0交。0 于点B,NP=30,0B=3,则线段B P的 长 为（）【解答】解：连接0A,：PA为。的切线，A Z 0AP=9 0,V Z P=30,0B=3,；.A0=3,则 0P=6,故 B P=6 -3=3.2.（2019 眉山）如图所示，AB 是。的直径，PA切。0 于点A,线段P0交。0 于点C,连结 B C,若NP=36。，则/B等 于（）【解答】解：；PA切。0 于点A,Z 0AP=9 0,VZP=36 ,N

2、A0P=54,.ZB=27.故选：A.3.（2019重庆）如图，已知AB是。0的直径，点P在BA的延长线上，PD与。相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若。0的半径为4,BC=6,则PA的长为（）【解答】解：连接D0,PD与G O相切于点D ZPD0=90,.*ZC=90o,DOBC,.PDOAPCB,DQ P0 4 2,BC PB 6 3设PA=x,则x+4_2x+8 3解 得:x=4,故 PAM.故选：A.4.（2019福建）如图,AB是。0的直径,BC与。0相切于点B,AC交。0于点D,若NACB=50,则/B O D等 于（）A.40 B.5 0 C.6 0 D.8 0

3、【解答】解：；B C是。0的切线，A Z AB C=9 0,Z A=9 0-Z ACB=40,由圆周角定理得，Z B 0D=2Z A=8 0 ,故 选:D.5.（2019泸州）在平面直角坐标系内，以 原 点0为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=J 5 x+2盯上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A,则P A的最小值为（）A.3 B.2 C.73 D.V2【解答】解：如图，直线丫=/a+2我 与x轴交于点C,与y轴交于点D,作O H _ L CD于H,当 x=0 时，y=J x+2后2对，则 D （0,2我），当 y=0 时，x+2 后 0,解得 x=-2,贝 l|C（-2,0）,“D刃2?+

4、（2仃 产%V（）H CD=-O C O D,2 2.。且警正连接0 A,如图，VP A为。0的切线,；.O A_ L PA,，P A O P A V O P2-1-当0 P的值最小时，P A的值最小,而0 P的最小值为0 H的长，A PA的最小值为J（J5）2r加6.（2019泰安）如图，BM与。相切于点B,若NMBA=140则NACB的度数为（）【解答】解：如图，连接OA、0B,/.Z0BM=90,VZMBA=140,A ZAB0=50,V0A=0B,，NAB0=NBA0=50,NA0B=80,AZACB=ZA0B=40,2故选：A.7.（2019 深圳）如图，一把直尺，6 0的直角三角板

5、和光盘如图摆放，A 为 6 0角与直尺【解答】解：设三角板与圆的切点为C,连接0A、0B,由切线长定理知AB=AC=3,0A平分/B AC,A Z 0AB=6 0,在 R t AB O 中，0B=AB t a n N0AB=3代，光盘的直径为6 弋 母，故选：D.8.（2019 重庆）如图，A A B C 中，Z A=30,点。是边AB 上一点，以点0 为圆心，以0B为半径作圆，。恰好与A C 相切于点D,连 接 B D.若 B D 平分NAB C,A D=2 ,则线段CD的 长 是（）A.2 B.V 3 C.|D.1 V 3【解答】解：连接0D.0D 是。的半径，AC 是。0 的切线，点 D

6、是切点,A0D 1AC在 R t Z AO D 中，V Z A=30,AD=2,.-0D=0B=2,A0=4,.Z O D B=Z O B D,又；B D 平分NAB C,Z O B D=Z CB DZ O D B=Z CB D，O D CB,.AD AO,CD=O B即 2 M :4CD -2 CD=V 3.故选：B.9.（2019 湘西州）如 图,直 线 AB 与。0 相切于点A,AC、CD 是。0 的两条弦,且CD AB,若。的半径为5,CD=8,则弦AC的 长 为（）A.10 B.8 C.4a D.4代【解答】解：.直线AB 与0 0 相切于点A,.O AAB,又：CD AB,.-.A

7、O CD,记垂足为E,V CD=8,；.CE=D E=LD=4,2连接 0 C,则 0C=0A=5,在 R t Z 0CE 中，2=2 2=3,，AE=A0+0E=8,则 AC刃 C E 2+AE 7 4 2+8 2=4代,故选：D.10.（2019 宜昌）如图，直线A B 是。的切线，C 为切点，O D AB 交。0 于点D,点 E在E D,则N C E D 的度数为（）A.30 B.35 C.40 D.45【解答】解：直线AB 是。的切线，C 为切点,Z 0CB=9 0,V 0D/7 AB,，NC0D=9 0，A Z CE D-Z CO D=45 ，2故 选:D.11.（2019 无锡）如

8、图，矩形AB CD 中，G是 B C的中点，过 A、D、G三点的圆。与边AB、CD 分别交于点E、点 F,给出下列说法：（1）AC与 B D 的交点是圆0 的圆心；（2）AF 与 D E的交点是圆。的圆心；（3）B C与圆0 相切，其中正确说法的个数是（）【解答】解：连接D G、A G,作 G H L A D 于 H,连接0 D,如图,是 B C的中点，；.AG=D G,；.G H 垂直平分AD,.点0 在 H G 上，V AD/7 B C,.B C与圆0 相切；V O G=O G,.点0 不是H G 的中点，圆心0 不是AC与 B D 的交点；而四边形AE F D 为。0 的内接矩形，/.A

9、F 与 D E 的交点是圆0 的圆心;A（1）错误，（2）（3）正确.故选：C.填 空 题（共 14小题）12.（2019 安徽）如图，菱 形 AB 0C的边AB,A C 分别与。0 相切于点D,E.若 点 D是 AB的中点，则ND 0E=6 0 .BAEI O /【解答】解：连接O A,.四边形AB O C是菱形，.,.B A=B O,；AB 与。相切于点D,A0D 1AB,点D是 AB 的中点,/.直线0D 是线段AB 的垂直平分线,.O A=O B,.AO B 是等边三角形，O A B 与。相切于点D,A0D X AB,.,.Z A0D=Z A0B=30，2同理，Z A0E=30,Z D

10、 0E=Z A0D+Z A0E=6 0o,故答案为：6 0.13.（2019 连云港）如图，A B 是。0 的弦，点 C 在过点B的切线上，且 0CL 0A,0C交 AB于点 P,已知N0AB=22,则/O CB=44 .cB,B C是。的切线，A0B1BC,AZ0BA+ZCBP=90o,VOCOA,A ZA+ZAP0=90,VOA=OB,NOAB=22,.ZOAB=ZOBA=22,A ZAP0=ZCBP=6 8,VZAPO=ZCPB,/.ZCPB=ZABP=6 8,/.Z0CB=180-6 8-6 8=44,故答案为：4414.（2019泰州）如图，AABC 中,ZACB=90,sinA=,

11、AC=12,将ABC 绕点 C 顺时13针旋转9 0 得到ABC,P为线段A B 上的动点，以点P为圆心，PAZ长为半径作。P,当。P与4ABC的边相切时，O P的半径为 孚 或 警 .【解答】解：如 图 1 中，当。P 与直线AC相切于点Q 时，连接PQ.设 PQ=PA，=r,.PQCA,.PQ _ PByA，B，.r _13T 一 ，12 13r=15 6南 如图2 中，当。P 与 AB相切于点T 时，易证A 、B 、T 共线,V A A,BTAABC,.A7 T _ A?B，-AC-AB-.A T _ 17，12 13，r=4 T=-.2 13综上所述，OP的半径为电2 或 善.25 1

12、315.（2019 宁波）如图，正方形AB CD 的边长为8,M是 A B 的中点，P 是 BC边上的动点，连结P M,以点P 为圆心，PM 长为半径作。P.当。P 与正方形ABCD 的边相切时，BP的长为3 或 4 五【解答】解：如 图 1中，当。P 与直线CD 相切时，设 PC=PM=m.在 Rt APBM 中，,/PM2=BM2+PB2,.xM2+(8-x)2,x=5,APC=5,BP=BC-PC=8-5=3.如图2中当。P 与直线AD 相切时.设切点为K,连接P K,则 PKJ _ AD,四边形PKD C是矩形.K D；.PM=PK=CD=2 BM,.BM=4,PM=8,在 R 3B

13、M 中，PB=A/g2 _42=45/3,综上所述，BP的长为3 或 4 y.1 6.（2 01 9台州）如图，A B 是。的直径，C 是。上的点，过点C 作。的切线交A B 的【解答】解：连接0C,则/D=2 6 度.由圆周角定理得，Z C0D=2 Z A=6 4,：CD 为。的切线,.0C1 CD,Z D=90-Z C0D=2 6 ,1 7.（2 01 9长沙）如图，点 A,B,D在。0 上，Z A=2 0 ,BC是。的切线，B 为切点，0D的延长线交BC于点C,则N 0CB=5 0 度.【解答】解：V Z A=2 0,A Z B0C=40,：BC 是。的切线，B 为切点,；./0BC=9

14、0,A Z 0CB=900-40 =50 ,故答案为：50.1 8.（2 01 9香坊区）如图，BD 是。的直径，BA是。0 的弦，过点A 的切线交BD 延长线于点 C,0E L AB于 E,且 AB=AC,若 CD=2 加,则 0E 的长为.【解答】解：连接0A、A D,如右图所示，BD 是。的直径，BA是。0 的弦，过点A 的切线交BD 延长线于点C,0E L AB于 E,A Z D AB=90 ,Z 0AC=90,V AB=AC,Z B=Z C,在ACO和A B A D 中，rZ C=Z BAC=AB Z CA0=Z BAD，A A A C O A B A D (ASA),AA0=AD,

15、V A0=0D,/.AO=OD=AD,/.A A O D 是等边二角形,A Z AD 0=Z D A0=6 0,Z B=Z C=3 0,Z OAE=3 O0,/D AC=3 0,.AD=D C,；CD=2&,，AD=2&,.点 0 为 AD 的中点,OE AD,OE AB,；.0E=&,故答案为：1 9.（2 01 9山西）如图，在 Rt Z X ABC 中，Z ACB=90,AC=6,BC=8,点 D 是 AB 的中点，以CD 为直径作。0,。分别与AC,BC交于点E,F,过点F 作。0 的切线F G,交 AB于点G,在 Rt z ABC中，根据勾股定理得，AB=1 0,.点D是 A B 中

16、点，；.CD=BD*B=5,连接D F,：CD 是。的直径，A Z CFD=90,BF=CF与C二 4,2ADF=VC DCF3 连接OF,V0C=0D,CF=BF,A OF/7 AB,/.Z0FC=ZB,FG是。的切线，/.Z0FG=90,/.Z0FC+ZBFG=90,NBFG+NB=90,20.（2019包头）如图，AB是。的直径，点 C 在。0 上，过点C 的切线与BA的延长线交于点D,点 E 在 筋 上（不与点B,C 重合），连接BE,C E.若ND=40,则NBEC=1 1 5 度.OBD.E 解答解：连接OC,V D C 切。0 于 C,A Z D C0=90,V Z D=40,/

17、.Z C0B=Z D+Z D C0=1 3 0,血 的 度 数 是 1 3 0，二施的度数是 3 6 0 -1 3 0 =2 3 0,A Z BE C=y X 2 3 00=口5。，故答案为：1 1 5.2 1.（2 01 9湘潭）如图，AB是。0 的切线，点 B 为切点，若N A=3 0,则N A0B=6 0【解答】解：AB是。0 的切线,A Z 0BA=90,Z A0B=90-Z A=6 0,故答案为：6 0 .2 2.（2 01 9徐州）如图，AB是。的直径，点 C 在 A B 的延长线上，CD 与。相切于点D.若Z C=1 8,则 N CD A=1 2 6 度.【解答】解：连接0 D,

18、则N0DC=90,ZC0D=72；VOA=OD,A ZODA=ZA=ZC0D=36 ,2A ZCDA=ZCD0+Z0DA=90+36 =126 .23.（2019青岛）如图，RtAABC,ZB=90,ZC=30,。为 AC 上一点，0 A=2,以 0 为圆心，以0A为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、0 F,则图中阴影部分的面积是【解答】解：NB=90,ZC=30,A ZA=6 0,V0A=0F,.,.AOF是等边三角形，AZC0F=120,V0A=2,扇形OGF的面积为：与但兀360 3VOA为半径的圆与CB相切于点E,A Z0EC=90,.0C=20E=4,AAC=0C

19、+0A=6,.AB=AC=3,2由勾股定理可知：B C=3 .ABC 的面积为：-X 3 XS-y x/3OAF 的面积为：-j-X 2 x73=73,阴影部分面积为:IVs-Vs-l51-!3 14J /J故答案为:v Vs-4n2 4.（2 01 9广东）如图，矩形ABCD 中，BC=4,CD=2,以 AD 为直径的半圆。与 BC相切于点E,连接B D,则阴影部分的面积为n .（结果保留【解答】解：连接0 E,如图，：以AD 为直径的半圆。与 BC相切于点E,；.0D=2,0E 1 BC,易得四边形OE CD 为正方形，2由弧D E、线段E C、CD 所围成的面积=S 止 方 形 O E

20、C D -S 血 形 E OD=Z 2-三 4-冗,360.阴影部分的面积=-1 X 2 X 4-（4-n ）=i t .故答案为九.E25.（2019南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以 CD为直径作。0.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A B C D 的边A B 与。0 相切，切点为E,边 C D 与0 0 相交于点F,则 CF的 长 为 4.B C【解答】解：连接0 E,延长E0交 CD于点G,作 OHLB C 于点H,AAB C则/OEB=Z0HBz=90,.矩形ABCD绕点C 旋转所得矩形为A B C D,NB=NB CD=90,AB=CD=5、BC=B C=4,

21、二四边形OEB H和四边形EB CG都是矩形,OE=OD=OC=2.5,.B H=0E=2.5,.CH=B,C-B H=1.5,CG=B E=OHWOC2 V H2.5 2-1.S-.四边形EB CG是矩形,A Z0GC=90,即 OG_LCD,；.CF=2CG=4,故答案为：4.三.解 答 题（共 25小题）26.（2019柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是。的切线，切点为B.AC经过圆心0 并与圆相交于点I）、C,过 C 作直线C E _LA B,交 AB的延长线于点E.(1)求证：CB平分/ACE；(2)若 BE=3,CE=4,求。0 的半径.【解答】(1)证明：如 图 1,连

22、接0B,；AB是。0 的切线，AOBI AB,V CE AB,；.OBCE,V OB=OC,.Z 1=Z 2N 2=N 3,.CB 平分 N ACE；(2)如图2,连接BD,V CE AB,A Z E=90,BC=VBE2+C E2=V32+4Z=5，Y C D 是。的直径，A Z D BC=90,N E=N D BC,AAD BC ACBE,.CD BC 二 一 ,BC CE.BC2=CD*CE,.,.CD=-1=,4 42 7.(2 01 9天津)已知AB是。的直径，弦 CD 与 AB相交，Z BAC=3 8,(1)如图，若 D为定的中点，求N A B C 和N A B D 的大小；(I

23、I )如图，过点D作。0 的切线，与 A B 的延长线交于点P,若 D P/7AC,求/0 C D 的大小.图 图【解答】解：(I )：AB是。的直径，弦 CD 与 AB相交，Z BAC=3 8,A Z ACB=90,A Z ABC=Z ACB-Z BAC=90-3 8 =52 ,为 定 的 中 点,Z A0B=1 80,A Z A0D=90 ,A Z ACD=45；(ID连接0D,D P切。0 于点D,.OD I D P,即 N 0I)P=90,由 DPA C,又/BAC=38,NP二NBAC=38,ZAOD是AODP的一个外角，.ZA0D=ZP+Z0DP=128,A ZACD=6 4,VO

24、C=OA,ZBAC=38,/.ZOCA=ZBAC=38,AZOCD=ZACD-Z0CA=6 4-38=26 .图28.(2019荆门)如图，AB为。的直径，C为。上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E,ADJ_EC交EC的延长线于点I),AD交。0于F,FM_LAB于H,分别交。0、AC于M、N,连接 MB,BC.(1)求证：AC平分NDAE；(2)若cosM=冬B E=1,求。的半径；求FN的长.5【解答】(1)证明：连接0 C,如图,直线DE与。相切于点C,A0C1DE,XVAD1DE,A0C/7AD.A Z 1=Z 3VOA=OC,A Z 2=Z 3,A Z 1=Z 2,AC平方ND

25、AE；(2)解：AB为直径,A ZAFB=90,而 DEAD,ABF/7DE,AOCBF,人CF BOAZCOE=ZFAB,而 NFAB=NM,ZC0E=ZM,设。的半径为r,在RtaOCE中，cosNCOE二 冬 即 上 鸟，解得r=4,0E 5 r+1 5即。的半径为4；连接B F,如图,在 Rtz2kAFB 中，cosNFAB二处,AB AF=8X_ 4 3 2T T在 RtZkOCE 中,0E=5,0C=4,ACE=3,VAB1FM,余命 N5=N4,VFB/7DE,A Z 5=Z E=Z 4,CBGN1=N2,AAFNAAEC,:里 雪 即 田 管39,CE AE 3y39.FN=.

26、1 529.(2019随州)如图，AB是。0的直径，点C为。上一点，CN为。的切线，0M1AB于点0,分别交AC、CN于D、M两点.(1)求证：MD=MC；(2)若。的半径为5,A C M jm求MC的长.;C N为。0的切线,/.0C1CM,Z0CA+ZACM=90,V0M1AB,A Z0AC+Z0DA=90，V0A=0C,AZ0AC=Z0CA,，Z ACM=Z OD A=Z CD M,.,M D=M C；（2）由题意可知AB=5X 2=1 0,AC=4旄,。AB是。0 的直径,A Z ACB=90,1 0 （4x/5）2 5,V Z AOD=Z ACB,Z A=Z A,/.AAOD AAC

27、B,.Q D AO OP _ _ 5,而 W 2后 一 烟可得：0D=2.5,设 M C=M D=x,在 Rt z OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52,解得：x=学，4即 M C=.43 0.（2 0 1 9 黄冈）如图，A D 是00的直径，A B 为（DO的弦，0 P 1 A I）,0 P 与 A B 的延长线交于点P,过 B点的切线交0 P 于点C.（1）求证：Z C B P=Z A D B.（2）若 0 A=2,A B=1,求线段B P 的长.【解答】（1）证明：连接0 B,如图,；A D 是。0的直径，A Z A B D=9 0 ,A Z A+Z A D B=9

28、0 ,V B C 为切线，A0B1BC,/.Z0BC=90,A Z0BA+ZCBP=90,而 OA=OB,ZA=Z0BA,ZCBP=ZADB；(2)解：VOPAD,A ZP0A=90,A ZP+ZA=90,NP=ND,.AOPAABD,AP_AO n nl+B P _2-,b|J-，AD AB 4 131.（2019襄阳）如图，AB是。0 的直径，AM和 BN是。0 的两条切线，E 为。0 上一点,过点E 作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且 CB=CE.（1）求证：DA=DE；（2）若 AB=6,C D=4 ,求图中阴影部分的面积.【解答】解：（1）证明：连接0E、0C.VOB=OE,Z

29、OBE=ZOEB.VBC=EC,AZCBE=ZCEB,I.ZOBC=ZOEC.,BC为。的切线，A Z0EC=Z0BC=90；0E为半径，CD为。的切线，AD切。0 于点A,ADA=DE；(2)如图，过点D作 DFJ_BC于点F,则四边形ABFD是矩形，AAD=BF,DF=AB=6,DC=BC+AD=4.ABC-AD=275，,.BC=3 仃在直角(：中，ta n N B O E=E Jf,BO V。A ZB0C=6 0.在a o E c与a o B c中，OE=OB-oc=oc.LCE=CBAAOECAOBC(S S S),.ZB0E=2ZB0C=120.；S阴账部分二S四边形B C E O

30、-S扇形O B E=2 X BOOB-1 2 义 二X B，96 3-2360D.V32.(2019长春)如图，AB是。的直径,半径为6,ZC=40.(1)求/B的度数.(2)求 命 的 长.(结 果 保 留n)BA C【解答】解：(1)AC切。于点A,ZBAC=90,V ZC=40,NB=50；B(2)连接 0D,1 。一一下、A CV ZB=50,A ZA0D=2ZB=100，AC切。0于点A,BC交。0于点D.已知。的33.(2019白银)如图，点0是aA B C的边AB上一点，。与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D,F,且DE=EF.(1)求证：ZC=90；(2)当 BC=

31、3,sinA=C寸，求 AF 的长.【解答】解：(1)连接OE,BE,VDE=EF,D E=EF NOBE二 NDBEVOE=OB,AZOEB=ZOBE/.ZOEB=ZDBE,OEBC 。0 与边AC相切于点E,AOE1ACA B C!ACA ZC=90(2)在/XABC,3ZC=90,BC=3,sinA二 5 AB=5,设。0 的半径为r,贝ijAO5-r,在 RtAAOE 中,sinA=Q E-rOA 5-r 5.15.r=-81 R c.A F=5-2X 2-8 434.(2019绵阳)如图，AB是。0 的直径，点 D在。上(点 D不与A,B 重 合)，直线AD交过点B 的切线于点C,过

32、点D作。0 的切线DE交 BC于点E.(1)求证：BE=CE；(2)若 DEA B,求 sinNACO 的值.【解答】(1)证明：连接0 D,如图，EB、ED为。的切线,AEB=ED,0D1DE,AB1CB,A ZAD0+ZCDE=90,ZA+ZACB=90,VOA=OD,A ZA=ZADO,ZCDE=ZACB,AEC=ED,BE=CE；(2)解：作 OH_LAD于 H,如图，设。0 的半径为r,VDEAB,A ZD0B=ZDEB=90,四边形OBED为矩形，而 OB=OD,.四边形O B E D 为正方形,.D E=C E=r,易得a A O D 和4 C D E 都为等腰直角三角形，.O

33、H=D H=r,C D=V r,在 Rt/X O C B 中，在 刃（Zr+r V r，在 Rt A O C I I 中，s i n Z O C H=-2-r=2!S o c 而 1。即 s i n N A C O 的值为1 03 5.（2 0 1 9 德州）如图，A B 是。的直径，直线C D 与。相切于点C,且与A B 的延长线交于点E,点 C是前的中点.（1）求证：A D 1 C D；（2）若N C A D=3 0 ,。的半径为3,一只蚂蚁从点B出发，沿着B E -E C -&爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程（口Q 3.1 4,7 3 1.7 3,结果保留一位小数）.【解答】（1）证明：连接

34、0 C,.直线C D 与。0相切,A O C I C D,丁点C是前的中点，NDAC=NEAC,VOA=OC,ZOCA=ZEAC,/.ZDAC=ZOCA,OCAD,A ADCD；(2)解：V ZCAD=30,A ZCAE=ZCAI30,由圆周角定理得，ZC0E=6 0,.0E=20C=6,EC=J&C=3y反，祕=空穿n，loU.蚂蚁爬过的路程=3+3后“M l.3.36.(2019北京)如 图，AB是。的直径，过。0外一点P作。0的两条切线PC,P D,切点分别为C D,连接OP,CD.(1)求证：0P1CD；(2)连接 AD,B C,若NDAB=50,ZCBA=70，0 A=2,求 0P

35、的长.【解答】解：(1)连接0C,0D,；.0C=0D,VPD,PC是。的切线,V Z 0 D P=Z 0 C P=9 0 ,在 Rt Z O D P 和 Rt A O C POD=OCOP=OPA R t A O D P R t A O C P,A Z D O P=Z C O P,V O D=O C,A O P C D；(2)如图，连接O D,O C,A O A=O D=O C=O B=2,A Z A D 0=Z D A 0=5 0 ,N B C O=N C B O=7 0 ,A Z A 0 D=8 0 ,Z B 0 C=4 0 ,A Z C 0 D=6 0 ,V 0 D=0 C,/.C O

36、 D是等边三角形，由(1)知,Z D 0 P=Z C 0 P=3 0 ,在 Rt Z O D P 中，0 P=.。cos30 33 7.(2 0 1 9铜仁市)如图，在三角形A B C中，A B=6,A C=B C=5,以B C为直径作。0交A B于点D,交A C于点G,直线D F是。的切线，D为切点，交C B的延长线于点E.(1)求证：D F 1 A C；(2)求t a n N E的值.【解答】（1）证明：如图，连接OC,CD,B C是。的直径，A ZBDC=90,/.CDAB,VAC=BC,AD=BD,VOB=OC,0D是aA B C的中位线.*.OD/AC,DF为。的切线，A0D1DF,

37、DF_LAC；(2)解：如 图,连 接BG,BC是。的直径，A ZBGC=90,V ZEFC=90=ZBGC,EFBG,J ZCBG=ZE,RtBDC 中，.BD=3,BC=5,ACD=4,SA*加 C D=,A C B G，6 X4=5BG,BG罩，5由勾股定理得：C G=,5 2-（誉 产 卷3 8.(2 0 1 9 昆明)如图，A B 是。的直径，E D 切。0于点C,A D 交。0于点F,/A C 平分Z B A D,连接 B F.(1)求证：A D 1 E D；(2)若 C D=4,A F=2,求。的半径.【解答】（1）证明：连接0 C,如图,V A C 平分N B A D,.-.Z

38、 1=Z 2,V O A=O C,.Z 1=Z 3,，/2=N 3,；.0 C A D,：E D 切。0 于点CA 0 C 1 D E,.A D I E D；(2)解：0 C 交 B F 于 H,如图,A B 为直径，A Z A F B=9 0 ,易得四边形C D F H 为矩形，；.F H=C D=4,Z C H F=9 0 ,，B H=F H=4,B F=8,在 R S A B F 中，A B=AF2+Bp 2=Ay22 +g 2=2 ,.o o 的半径为3 9.(2 0 1 9 陕西)如图，在 Rt A B C 中，Z A C B=9 0 ,以斜边A B 上的中线C D 为直径作。0,分

39、别与A C、B C 交于点M、N.(1)过点N 作。0的切线N E 与 A B 相交于点E,求证：N E 1 A B；(2)连接 M D,求证：M D=N B.【解答】证明：(1)连接0 N,如图,V C D 为斜边A B 上的中线，；.C D=A D=D B,V 0 C=0 N,AZ2=ZB,ONDB,VNE为切线，AONNE,ANE1AB；(2)连接D N,如图，;A D为直径，A ZCMD=ZCND=90,而 NMCB=90,四边形CMDN为矩形,.DM=CN,VDNBC,Z1=ZB,ACN=BN,AMD=NB.40.(2019曲靖)如图，AB为。0的直径，点C为。上一点，将 弧BC沿直

40、线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心0重合，连接0C,CD,B D,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接A D,在PB的另一侧作NMPB二NADC.(1)判断PM与。0的位置关系，并说明理由；(2)若P C=,求四边形0CDB的面积.C【解答】解：（l）P M 与。0相切.理由如下：连接D O 并延长交P M 于 E,如图，.弧B C 沿直线B C 翻折，使弧B C 的中点D 恰好与圆心0重合,；.O C=D C,B O=B D,.O C=D C=B O=B D,四边形O B D C 为菱形，A O D I B C,A A 0 C D 和A O B D 都是等边三角形，A Z C 0

41、 D=Z B 0 D=6 0 ，：.Z C 0 P=Z E 0 P=6 0 ，：Z M P B=Z A D C,而 N A D C=N A B C,Z A B C=Z M P B,.P M/7 B C,O E 1 P M,.O E=-1)P,；P C 为。的切线,.O C P C,.O C=O P,O E=O C,而 O E J _ P C,.P M 是。的切线;(2)在 R S O P C 中，0C=PC=X后,3 3四边形O C D B 的面积=2 S=2 x l x/=返.424 1.（2 0 1 9 邵阳）如图所示，A B 是。0的直径，点 C为。上一点，过点B作 B D J _ C

42、D,垂足为点D,连结B C.B C 平分N A B D.求证：C D 为。0的切线.【解答】证明：；B C 平分N A B D,Z O B C=Z D B C,V O B=O C,Z O B C=Z O C B,Z O C B=Z D B C,；.O C B D,V B D 1 C D,A O C I C D,，C D 为。0的切线.4 2.（2 0 1 9 黄石）如图，已知 A、B、C、D、E 是。上五点，。的直径 B E=2，5,Z B C D=1 2 0 ,A为前的中点，延长B A 到点P,使 B A=A P,连接P E.（1）求线段B D 的长；（2）求证：直线P E 是。的切线.BO

43、【解答】(1)解：连接D B,如图，VZBCD+ZDEB=180,A ZDEB=180-120=60,BE为直径，A ZBDE=90,在R SB D E中，DE寺E=*X 2亚 百,BD 二 V5)E=d X J=3；(2)证明：连接E A,如图，VBE为直径，A ZBAE=90,*.A为前的中点，A ZABE=45，VBA=AP,而 EAIBA,BEP为等腰直角三角形,NPEB=90,A PE BE,直线PE是。0的切线.C4 3.(2019怀化)己 知：如图，A B 是。0 的直径，A B=4,点 F,C是。0 上两点，连接A C,A F,0 C,弦 A C 平分N F A B,ZB 0C

44、=6 0,过点C作 C D L A F 交 A F 的延长线于点D,垂足为点D.(1)求扇形OB C 的面积(结果保留)；(2)求 证:C D 是。的切线.【解答】解：(1)VA B=4,；.OB=2V ZC 0B=6 0,_6 07 l X 4_ 2 K o M O K-TTT-360 3(2)：A C 平分/F A B,ZF A C=ZC A 0,VA 0=C 0,ZA C 0=ZC A 0/.ZF A C=ZA C O，A D OC,VC D 1A F,A C D I OC：C在圆上，；.C D 是。0 的切线4 4.(2019新疆)如图，P A 与。0 相切于点A,过点A作 A B O

45、P,垂足为C,交。0 于点B.连接 P B,A 0,并延长A 0交。0 于点D,与 P B 的延长线交于点E.(1)求证：P B 是。的切线；(2)若 0C=3,A C=4,求 s in E 的值.p.o Jo E【解答】(1)证明：连接OB；P O_L A B,.A C=B C,，P A=P B在A P A O 和P B O中PA=PB AO=BOJO=PO.二 P A O 和好ZP B O，Z0B P=Z0A P=90；.P B 是。的切线.(2)连接 B D,则 B D P O,且 B D=20C=6在 R tA C O 中，0C=3,A C=4A A 0=5在 R tZXA C O 与

46、 R t P A O 中，ZA P 0=ZA P 0,ZP A 0=ZA C 0=90A A C O-A P A OAQ-PQ行 而.P 0=,P A=3 3.P B=P A=3在E P O与E B D 中，B D P O.,.E P O A E B D.BD_EB,时而4 5.(2019安顺)如图，在A B C 中，A B=A C,0 为 B C 的中点，A C 与半圆0 相切于点1).(1)求证：A B 是半圆0 所在圆的切线；(2)若 c os/A B C=A B=12,求半圆。所在圆的半径.【解答】解：(1)如图，作 OE J _A B 于 E,连接0D,OA,VA B=A C,点 0

47、 是 B C 的中点，ZC A 0=ZB A 0,:A C 与半圆0 相切于D,.OD 1A C,VOE 1A B,A 0D=0E,V A B 径半圆0 的半径的外端点,A A B 是半圆0 所在圆的切线;(2)VA B=A C,0 是 B C 的中点，A A OI B C,在 R tZXA OB 中，0B=A B c os ZA B C=12X-1-根据勾股定理得，0 AAB 2-0 B-代,由三角形的面积得，S.OE=LBOA,2，。安 孚即：半圆o 所在圆的半径为色度.4 6.（2019衡阳）如图，。是a A B C 的外接圆，A B 为直径，N B A C 的平分线交0 0 于点D,过

48、点D 作 D E 1A C 分别交AC、A B 的延长线于点E、F.（1）求证：E F 是。的切线；（2）若 A C=4,C E=2,求 而 的 长 度.（结果保留”）E D F【解答】解：（1）如图，连接0D,E D FV0A=0D,ZOAD=ZODA,VAD 平分NEAF,.ZDAE=ZDAO,AZD AE=ZAD O,ODAE,V A E E F,/.OD EF,E F是。的切线；(2)如图，作OG_LAE于点G,连接BD,则 AG=CG=LC=2,NOGE二N E二NODE=90,2 四边形ODEG是矩形，A 0A=0B=0D=CG+CE=2+2=4,ZD0G=90,V ZDAE=ZB

49、AD,ZAED=ZADB=90,J A A D EA A B D,AE_AD 即 6 _A D,A A B)、出石，.AD M 8,在 RtAABD 中，B D=AB2_A D2=4,在 Rt/XABD 中，VAB=2BD,A ZBAD=30,.ZB0D=6 0,则m u BD的1Vl必长曲度*为60一两兀“4 4兀47.(2019孝感)如图，ZABC中，A B=A C,以A B为直径的。交B C于点D,交A C于点E,过点D作D F 1 A C于点F,交A B的延长线于点G.(1)求证：D F是。0的切线；(2)已知BD=2遥，C F=2,求A E和B G的长.GG（备用图）【解答】解：（1

50、）连接OD,A D,A B 为。的直径，/.ZA D B=90,即 A D _L B C,VA B=A C,.B D=C D,XVOA=OB,.OD A C,VD G 1A C,A 0D 1F G,直线F G 与。0 相切；（2）连接 B E.；B D=2旄,，C D=B D=2 娓，VC F=2,D F=J（2泥）2-2 区4,A B E=2D F=8,*.*c os ZC=c os ZA B C,.C F _B D 年 初.2 _ 2A/5A A B=10,AETI（5 2-82=6,VB E A C,D F A C,B E/G F,，A A E B A A F G,.A B _A E*A