线性代数 基础和常考知识点研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

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1、线性代数基础知识点(),nTAr AnAAAxxAxAAxA AAE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R12,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在 阶矩阵使得 或 注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.()Ar AnAAAAxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是 的特征值 有非零解,其基础解系即为 关于0的特征向量 注()()abr aEbAnaEbAaEbA x 有非零解=-:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()关于12,ne ee：称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向

2、量87p教材；12,ne ee线性无关；12,1ne ee；tr=E n；任意一个n维向量都可以用12,ne ee线性表示.行列式的定义 1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaaLLLLLMMML1 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若AB与都是方阵（不必同阶）,则=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1（拉普拉斯展开式）上三角、下三角、主

3、对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaOKNN1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式：1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxxLLLMMML111 矩阵的定义 由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMML称为mn矩阵.记作：ijm nAa或m nA 伴随矩阵 1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.逆矩阵的求法:1

4、AAA 注：1abdbcdcaadbc1 LL主换位副变号 1()()A EE AMM初等行变换 私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五

5、月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年1231111213aaaaaa 3211111213aaaaaa 方阵的幂的性质：mnm nA AA ()()mnmnAA 设,m nn sABA的列向量为12,n,B的列向量为12,s，则m sABC1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbbLLLMMMLiiAc，(,)isL1,2i为iAxc的解121212,sssAAAAc cc L12,sc ccL可由12,n 线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的

6、行向量线性表示，TA为系数矩阵.即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac LLMMMMML11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaac LLLLLL 用对角矩阵左 乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD 分块矩阵的逆矩阵：111AABB 111ABBA 1111ACAA CBOBOB 1111AOAOCBB CAB 分块对角阵相乘：

7、11112222,ABABAB11112222A BABA B,1122nnnAAA 分块对角阵的伴随矩阵：私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日

8、母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年*ABABAB *(1)(1)mnmnAA BBB A 矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXAB(I)或 (II)A BE XMM初等行变换(I)的解法：构造()()TTTTA XBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变

9、动）两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p教材.向量组12,n 中任一向量i(1i)n都是此向量组的线性组合.向量组12,n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组12,n 线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.m维列向量组12,n 线性相关()r An；m维列向量组12,n 线性无关()r An.若12,n 线性无关，而12,n 线性相关,则可由12,n 线性表示,且表示法唯一.矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶

10、只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂

11、回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作()r Ar 向量组的秩 向量组12

12、,n L的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,)nr L 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B.记作：AB%向量组等价 12,n 和12,n 可以相互线性表示.记作：1212,nn%矩阵A与B等价PAQB，,P Q可逆()(),r Ar BA BA B为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价1212(,)(,)nnrr 1212(,)nnr 矩阵A与B等价.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示AXB有解12(,)=nr 1212(,)nsr 12(,)sr 12(,)nr.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且sn

13、，则12,s 线性相关.向量组12,s 线性无关,且可由12,n 线性表示,则sn.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且12(,)sr 12(,)nr,则两向量组等价；p教材94,例10 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.设A是mn矩阵,若()r Am，A的行向量线性无关；若()r An，A的列向量线性无关,即：12,n 线性无关.私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中

14、线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 矩阵的秩的性质：()AOr A 若1 ()0AOr A 若 0()m nr Amin(,)m n ()

15、()()TTr Ar Ar A A p教材101,例15 ()()r kAr Ak 若0 ()(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx 若若0的列向量全部是的解 ()r ABmin(),()r A r B()()()()Ar ABr BBr ABr A若 可逆若 可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.若()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n sr ABr Br BnB 在矩阵乘法中有右消去律.()rrEOEOr ArAAOOOO 若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型.()r AB()()r Ar B

16、 max(),()r A r B(,)r A B()()r Ar B()()AOOArr Ar BOBBO ()()ACrr Ar BOB 私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些

17、事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年121212,0,()(),AnnAnAxAnAxAxr Ar AAxAn LLML当 为方阵时当 为方阵时有无穷多解0 表示法不唯一线性相关有非零解 可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),()()()1()nAxr Ar AAxr Ar Ar Ar A MLMM教材72 讲义8性无关只有零解 不可由线性表示无解 注：AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 Ax 向量式 1122n

18、nxxx L 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb LLMMMMML 12,2,jjjmjjnLM1 1212(,)nnxxx LM 私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知

19、道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkA TAA()TTTABAB 11()()TTAA()()TTAA 矩阵可逆的性质：11()AA 111()ABB A 111()kAk A 11AA 111()ABAB 11()()kkkAAA 伴随矩阵的性质：2()nAAA ()ABB A 1()nkAkA 1nAA*()ABAB 11()()AAAA ()()kkAA ()()1 ()10

20、()1 nr Anr Ar Anr An 若若若 ABA B nkAk A kkAA ABAB AAA AA E（无条件恒成立）私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是

21、六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年线性方程组解的性质：121212121 1221212(1),(2),(3),(4),(5),(6kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx LL 是的解也是它的解 是的解 对任意也是它的解齐次方程组 是的解 对任意 个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解2112121 122121 12212),(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx L 是的解 则也是它的解是其导出组的解 是的解 则 也是的解 是的解 设A为

22、mn矩阵,若()r Am()()r Ar AMAx一定有解，当mn时,一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m是()()r Ar AM和的上限.判断12,sL是Ax的基础解系的条件：12,sL线性无关；12,sL都是Ax的解；()snr A 每个解向量中自由未知量的个数.一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.若是Ax的一个解，1,sL是Ax的一个解1,sL线性无关 Ax与Bx同解（,A B列向量个数相同）,则：它们的极大无关组相对应,从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系.两个齐次线性线性方程组Ax与Bx同解()()Arr Ar

23、 BB .两个非齐次线性方程组Ax与Bx都有解，并且同解()()Arr Ar BBMM.私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二

24、个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 矩阵m nA与l nB的行向量组等价齐次方程组Ax与Bx同解PAB（左乘可逆矩阵P）；101p教材 矩阵m nA与l nB的列向量组等价AQB（右乘可逆矩阵Q）.关于公共解的三中处理办法：把(I)与(II)联立起来求解；通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,是(I)的基础解系,45,是(II)的基础解系，则(I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,)(,)rrcc M 当(I)与

25、(II)都是非齐次线性方程组时，设11122cc是(I)的通解，233c是(II)的通解，两方程组有公共解2331c 可由12,线性表示.即：12122331(,)(,)rrc M 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求公共解。标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.向量12,Tna aaL与12,Tnb bbL的内积 1 1221(,)niinnia ba ba ba b L 与 正交(,)0.记为：向量12,Tna aaL的长度 2222121(,)niniaaaa L 是单位向量(,)1.即长度为1的

26、向量.内积的性质：正定性：(,)0,(,)0 且 对称性：(,)(,)双线性：1212(,)(,)(,)1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)ccc A的特征矩阵 EA.A的特征多项式 ()EA.()是矩阵A的特征多项式()AO A的特征方程 EA 0.AxxxAxx(为非零列向量)与 线性相关 私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报

27、因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 12nA L 1niAtr，Atr称为矩阵A的迹.上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.若0A,则 0为A的特征值,且Ax的基础解系即为属于 0的线性无关的特征向量.()1r A A一定可分解为A=1212,nnaabbba LM、21 122()nnAa ba b

28、a bA L,从而A的特征值为：11 122nnAa ba ba b Ltr,23nL0 p指南358.注12,Tna aaL为A各行的公比，12,nb bbL为A各列的公比.若A的全部特征值12,nL，()f A是多项式,则:若A满足()f AOA的任何一个特征值必满足()if 0()f A的全部特征值为12(),(),()nfffL；12()()()()nf AfffL.初等矩阵的性质：(,)E i j 1 ()E i kk ,()E i j k 1(,)(,)TE i jE i j ()()TE i kE i k ,(),()TE i j kE j i k 1(,)(,)E i jE i

29、 j 11()()kE i kE i 1,(),()E i j kE i jk*(,)(,)E i jE i j *1()()kE i kkE i*,(),()E i j kE i jk 设1110()mmmmf xa xaxa xa L，对n阶矩阵A规定：1110()mmmmf Aa AaAa Aa E L为A的一个多项式.1 231122,TAmmkkAabaAbEAAAAAA L 是 的特征值 则:分别有特征值 .私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无

30、私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 1 231122,AmmkkAabaAbEAxAxAAA L 是 关于 的特征向量 则 也是关于的特征向量.2,mA A的特征向量不一定是A的特征向量.A与TA有相同的

31、特征值，但特征向量不一定相同.A与B相似 1P APB （P为可逆矩阵）记为：AB:A与B正交相似 1P APB （P为正交矩阵）A可以相似对角化 A与对角阵相似.记为：A:（称是A的相似标准形）A可相似对角化()iinrEAk ik为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，1P AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,)(,)(,)(,)nnnnnnPPAAAA LLLLO1 44 2 4 431 44 2 4 431 4 44 2 4 4 4 3.注：当i 0为A的重的特征值时，A可相

32、似对角化i的重数()nr A Ax基础解系的个数.若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.若A可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）()r A.若A:kA=1kPP，1211()()()()()nggg APgPPPgO 相似矩阵的性质：EAEB,从而,A B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索

33、取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年注x是A关于0的特征向量,1P x是B关于0的特征向量.ABtrtr AB 从而,A B同时可逆或不可逆()()r Ar B TTAB:；11AB:（若,A B均可逆）；*AB:kkAB:（k为整数）；()()f Af B:，()()f Af B,ABAB CDCD :注前四个

34、都是必要条件.数量矩阵只与自己相似.实对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的特征值,该特征值i的重数=()inrEA；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似有相同的特征值.正交矩阵 TAAE A为正交矩阵A的n个行（列）向量构成n的一组标准正交基.正交矩阵的性质：1TAA；TTAAA AE；正交阵的行列式等于 1 或-1；私的爱增加学生的责任感学会感恩父

35、母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 A是正交阵,则TA，1A

36、也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组.二次型 1211(,)nnTnijijijf x xxx Axa x xL ijjiaa，即A为对称矩阵，12(,)Tnxx xxL A与B合同 TC ACB.记作：AB;（,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵）正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp 符号差 2pr (r为二次型的秩)两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.两个矩阵合同的充分条件是：AB:两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B 12(,)Tnf x xxx AxL经过正交变换 合同变换

37、可逆线性变换xCy化为21niifd y标准形.二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A正惯性指数 负惯性指数 唯一确定的.当标准形中的系数id为-1 或 0 或 1 时,称为二次型的规范形.实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵111100OOO合同.用正交变换化二次型为标准形:求出A的特征值、特征向量；对n个特征向量正交规范化；私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母

38、爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 构造C（正交矩阵）,作变换xCy,则1112221()()TTTTTnnnydyydyCyA Cyy C ACYy C ACYydy MOM新的二次型为21nii

39、fd y,的主对角上的元素id即为A的特征值.施密特正交规范化 123,线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)正交化 单位化：111 222 333 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.例如：123xxx 0取1 1 1 0，2112.正定二次型 12,nx xxL不全为零，12(,)nf x xxL0.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.()Tf xx Ax为正定二次型（之一成立）：x ，Tx Ax 0；A的特征值全大于0；f的正惯性指数为n；A的所有顺序主子式全

40、大于0；A与E合同，即存在可逆矩阵C使得TC ACE；存在可逆矩阵P，使得TAP P；存在正交矩阵C，使得121TnC ACCACO （i大于0）.合同变换不改变二次型的正定性.私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父

41、亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年 A为正定矩阵iia 0 ；0A.A为正定矩阵1,TAAA也是正定矩阵.A与B合同，若A为正定矩阵B为正定矩阵 ,A B为正定矩阵AB为正定矩阵，但,AB BA不一定为正定矩阵.私的爱增加学生的责任感学会感恩父母用实际行动回报家人四班会形式学生演讲朗诵讲故事五班会过程一班主任发言慈母手中线游子身上衣临行密密逢意恐迟迟归诗人孟郊的这首游子吟道出了母爱的无私与伟大家是温暖的港湾父母实的大山在流水的滋润下茁壮成长可是我也发现有一小部分同学视父母的爱为理所当然一味索取而不懂回报因为他们缺乏一颗感恩的心今天我们来上一堂主题为感恩父母的班会课我希望能够唤醒你们那颗尘封的感恩之心下面让我们最爱吃什么呢知道父亲节母亲节是哪一天吗周末你为父母做哪些事情父亲节是六月份的第三个星期日母亲节是五月份的第二个星期日四讲故事故事一条未发出的短信年月日下午时分我国四川省汶川发生了罕见的级大地震当时一位年