三年高考（2019-2021）数学（理）试题分项汇编——08 平面解析几何（解答题）（教师版）.pdf

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1、专题0 8平面解析几何（解答题）X2 y21.【20 21 北京高考真题】己知椭圆：/+乒=1（）过 点/（0,-2），以四个顶点围成的四边形面积为4 石.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P（0,-3）的直线/斜率为A,交椭圆E 于不同的两点B,C,直线A B,A C 交 y=-3 于点 M、N,直线A C 交 y=-3 于点N,若|P M|+|P N|S1 5,求 A 的取值范围.+Z _i【答案】y 4 -1；（2）-3,-l）u（l,3 .【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求从而可求椭圆的标准方程.（2）设3（西，凹），。（无 2，必），求出直线/3,/C

2、 的方程后可得M，N 的横坐标，从而可得PM+PN联 立 直 线 的 方 程 和 椭 圆 的 方 程，结合韦达定理化简户M+网，从而可求”的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过（2）,故6 =2,因为四个顶点围成的四边形的面积为4 石，甘五。乂 2b=4也，即。=右，二+匚1故椭圆的标准方程为：4 (2)设 5（国,乂）,。（2，%）,因为直线8 C的斜率存在，故%”?0,n +2 5 X,X,故直线2 3：尸二2,令,=_ 3,则%=一/，同理y=kx-3直线8。：丁 =依-3 由（4 x 2+5/=20 可得（4 +5%2卜2-3 0 6 +25 =，故A=90 0左2 1 0

3、 0（4 +5左2）0 ,解得左 _ 或左 13 0 左 25乂3-4 +5-又1 P Mi+网=同 X W _kxx-1 kx2-1故5闷4 1 5即加3,-3,所以1%+2外+250k 3 0左2例%(X1+工2)_ 4+5左2 4+5左2 =5|川k2xlx2-A:(%)+x2)+1 25k2 3 0k2 十14 +5 公 4 +5 公+,1 A:32.1 20 21 全国高考真题】在平面直角坐标系x Q y中，已知点耳卜 百，）、&（J万,0）,|5卜|“周=2,点 的 轨 迹 为0.（1）求。的方程；1（2）设点T在 直 线 一2上，过T的两条直线分别交。于A、8两点和P，0两点，且

4、|以 明=TP-TQf求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和.【答案】（1）啖=1卜21）；o.【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹0是以点片、鸟 为左、右焦点双曲线的右支，求出“、的值，即可得出轨迹的方程；（2）设点/仕/）,设直线48的方程为yT =K（?一/），设点4（西,%）、8（马，/），联立直线力8与曲线C的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线0。的斜率廿2,同理可得出T PtTQ的表达式，由阿惘=TP-TQ化简可得左+k2的值【详解】因为阿用 一 四 眉=2力），则24 =2,可得4 =1，6 =后 二/=4,所以，轨迹0的方程为V 一 言=1（x 21）；（2）设点若过

5、点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线c无公共点,不 妨 直 线 的 方 程 为V （x 一可，即=幻+与y=k、x+1 k联立,2,消去并整理可得16x2-/=16 yx+j+16=0（k；-1 6）x2+K（2 t-占）_设点司为，必）、8（%2，%）,则 5且“2 5.由韦达定理可得玉k；2k、tA）2-16+16片 一16所以,|碎烟=（1 +的-扑；=（1 +公）.詈+：”，Z|N 乙 气）A C|-1 0（+12）（1 +代）设直线pc的斜率为,，同理可得1研 疗。1=-一 丁 亍-.P Q 左2 k2 T6（/2+12）（1 +,2）（z2+12）（1 +）因为TA-TB=TP

6、-TQ!|i 后-16=一5 一 16一，整理可得片 二k2，即（占 一 2）（K+3 =0 ,显然%1_%2#0,故“1+%2=0因此，直线/8与 直 线 的 斜 率 之 和 为 .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3.1 2 0 2 1 浙江高考真题】如图，已知F 是抛物线/=2川（0）的焦点，乂是抛物线的准线与x 轴的交点，sMF =2,（1）求抛物线的方程;（2）设过点F 的直线交抛物线与人B两点，斜率为2 的直线/与直线x 轴依次交于点P,Q,R,N,且

7、因 寸=归 卜 1。1,求直线/在x 轴上截距的范围.【答案】（1）_/=4 x；（2）oo,7 4-/3 J U +4 /3,l j U(l,+)【分析】（1）求出。的值后可求抛物线的方程.（2）设N3：x =W +l,乂）,8（,必），N（,0）,联立直线43的方程和抛物线的方程后可得乂巳=-4，%+为=4、求 出 直 线 的 方 程，联立各直线方程可求出f w+l Y 3+4 户，根据题设条件可得:厂7=（、*1 2 ,从而可求的范围.y p Q R（2Z-1）n【详解】（1）因为1 刊=2,故。=2,故抛物线的方程为：_/=4 x.（2）设/6:x =+l,4（X|，M）,8（X 2，

8、%）,N（N,O）,_y_所以直线=5+，由题设可得声i且*5.x=ty+由1,2=4 x 可得,2 _ 4 一4 =0，故必y2 =-4,必+、2 =4/，囚为I皿2=|PNHM又MA:yX 1 +1（X +1）1词 阂,必_ 2（+1）先同理 J。2x2+2-y2，x =（y+1由H+可得3碧1,所以52（+1）%、，2（+1）乂X2%2 +2 y2 2 x j +2 yy整理得到（Iwj-lRY =（2I、）2（2x 2_%yx）yZ2+2 r），Z 224（2 1）22 2号+（丁2 力 i f 一y2 乂 一 X 乂y 2 一 2 （歹?力 J +4Q I）?3 +4/f/?+l Y

9、 3 +4旌故 J-(2/-I)2 _ +l令s =2/l,则 一 且S HO,3 +4/2 S2+2S+4,2 4 /1 1 V 3、3K(2 r-l)s s s1(s 4)4 4,故I +lv?-in w 1 2 +1 4 +1 0n w 11 4即,解得 4一7-4百或一7 +4疗4 1故直线/在轴上的截距的范围为 “7-4百 或-7 +4百 W 1.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.4.【2 0 2 1 全国高考

10、真题（理）】在 直 角 坐 标 系 中，的圆心为C（2），半径为1.O C（1）写出 的一个参数方程；（2）过点/（4，1）作 C的两条切线.以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.x=2+c o sa 式【答案】（l）jy=l +si n a，7 为参数）；2p c o s（e +）=4-6或2p c o s(0-1-)=4+V 3【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程:（2）先求得过（4,1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，的普通方程为J-2）一+8-1）2=1,x=2+c o sa所以 C的参数方

11、程为jy=l +si n a，为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 即米一 y+1-4女=0 _一1由圆心到直线的距离等于1可得VF+F ，解得 一 3 1所以切线方程为Ji x 3y+3 4百=0或J5x+3y_ 3 _ 4百=0，,x=p c o s0 y=p si n 0 ,、将,产 代入化简得20 c o s（6+2）=4 6 2p c o s（6-）=4+V 33 或 3【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.5.【20 21 全国高考真题（理）】已知抛物线。：/=2 0（?。）的焦点为尸，

12、且夕与圆M :/+4）2 =1上点的距离的最小值为4.（1）求。；（2）若点尸在河 上，尸从尸 是。的两条切线，是切点，求尸”8面积的最大值.【答案】（1）0 =2；（2）2。6【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出P的值；（2）设点（再，必）、（，8）、P（X o，%）,利用导数求出直线P/、尸8,进一步可求得直线A B的方程，将直线A B的方程与抛物线的方程联立，求 出 以 及 点p到直线A D/PA R的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.（p【详解】抛物线c的焦点为TR，=f 4,7+4-1 =4所以，尸与圆/：/+3 +4）2=1上

13、点的距离的最小值为2,解得p =2；2_ X,_ X（2）抛物线C的方程为2=4N，即 =了，对该函数求导得丁=5，设点力（王，乂）、8（,必）P（X o Jo）,直线P N的方程为丁一切=寸（），=S 一%，即 卒-2%-2y=0,同理可知，直线P 8的方程为“2一2%2y=0,卜 西-2乂-2j，o =0由于点 为这两条直线的公共点，贝UX2XO_2/_2%,=O,所以，点A、8的坐标满足方程守 一 2广2yo =0,所以，直线Z8的方程为、心一2 2%=（）,x0 x-2y-2y0=0联立J H，可 得2 ，“4 x -2x0 x+4yo =0由韦达定理可得%+%=2%,%匕=4y0,所

14、以,22A B=J1+团,+%y-g=,1+团.，4片-16%=J（x；+4）（x；-4%）,忖-4%|点 到直线 的距离为=一 ”，P AB Jxj+4所以，=；|叫 /=J/（片+4）（其一4%）-t=J =；（x；-4%，22 西+4 2:x；-4%=1-（%+4）-4%=-4 -12%-15=-（%+6）+21,由已知可得一5 为一3,所以，当 为=一5时，尸4 6的面积取最大值19-x202=20后2【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值

15、问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.Y-*6.【2 0 2 0 年高考全国I 卷理数】己知4 B分别为椭圆E：+/=1(a l)的左、右顶点，G 为 E的上顶点，A G GB=8,P为直线x=6 上的动点，力与后的另一交点为C,P 8 与 E 的另一交点为D.(1)求 E 的方程：(2)证明：直线CD 过定点.【解析】(1)由题设得A (a,0),B(a,0),G(0,1).则 就=(4,1),G B=(O,-1).由 万.丽=8 得。2-1=8,即a=3.2所以E 的方程为5+，=L（2）设C（Xi，y i）,D（x2,y2）,P（6,t）.若t x O,设直线

16、CD的方程为x=m y+n,由题意可知-3 n -1 彳 （加2 +9）y2+2mny+n2-9 =0.所以必+%=一2mnni2+9n2-9代入式得(2 7 +/)(/-9)-2m(n+3)mn+(+3)2(/w2 4-9)=0.人 3解得=-3 (含 去)，n=.3 3故直线CD的 方 程 为+即直线CD过 定 点(Q,0).3若to,则直线CD的方程为片o,过 点(5,0).3综上，直线c o过 定 点(,o).【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.7.【2 0 2 0 年高考全国I I 卷理数】已知椭圆G：+4=1(7 0)

17、的右焦点下与抛物线6a b的焦点重合，G 的中心与C?的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交Ci于4,8 两点，4交 G 于 C,D 两 点,J i|CD|=y|/l S|.(1)求 G 的离心率：（2）设M是G与Cz的公共点，若|MF|=5,求G与G的标准方程.【解析】（1）由己知可设G的方程为V=4 c x,其中C =jq 2 _/上不妨设4。在第一象限，由题设得4 8的纵坐标分别为了，一 丁；C,。的纵坐标分别为2c，-2 c 故I 卜二，|C。|=4c.A Q A C D=-A B c =g p3 x-=2-2（-）2（解 得 厂-2（舍去），c _ 1a 2.j_所以G的离心率为5

18、.2 2L C-W1(2)由(1)知q=2c，b=&，故4c2 3c2 ，x；y；=X；4/=设(X o/o),则 4c2 3/,yl=4cx0,故 4c2 3c .由于。2的准线为x=-C,所以也/l o+c,而1 3=5,故/=5-。，代入(5-c)2,4(5-C)彳？4c2 3c,即/2c 3=0，解得c=1(舍 去)，c=3工+J所以G的标准方程为正 药 一，G的标准方程 为/=12%.2 2 /8.12。2。年高考全国III卷理数】已知椭圆的离心率为 学”8分别为C的左、右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点。在直线x =6上，且1 8 P l=|8。|,B P 1 B Q

19、,求/尸。的面积.收5-加2 7 1 5 2 2 5【解析】（1）由题设可得一5一=丁，得心=记，江+己-1所 以 的 方 程 为2 5 2 5C1 6 设 尸（与 外）（6，）,根据对称性可设歹。由题意知力3由已知可得以5,0）-直线8 P的方程为V =一 京（X 一 5）I=7,因为|3尸|=|即|,所 以 力=L将=1代入的方程，解得马=3或-3由直线8 P的方程 得 为=2或&所以点P 的坐标分别为6（3/）06,2）；（-3）,。2（6,8）_ 1V i o|PQ|=V 1 0，直线6 Q的方程为歹=5，点N（5,0）到直线耳&的距离 为 ,故的面积为g x乎=g_7 io Vim面

20、，白:线6 0 2的方程为 =+点/到 直 线82的距离 为 方 一，晨闹X闹_ 5故的面积为2 W -5综上，工尸。的面积为5.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.【20 20年高考北京】已知椭圆9./十/一 过 点/（2,-1），且。=2人（I ）求椭圆c的方程：（I I）过点8（一4，）的直线/交椭圆c于点M，N,直线加4 M l分别交直线x =4于点PBP,Q.求|8 0|的值.V-2 V2【解析】设椭圆方程为：=+3=1（6 0）,由乜意:：a b _ L =I，解得

21、J =8,a=2b 力 =22 2L+匕 7故椭圆方程为：8 2 （2）设（%，必），N（X 2/2）,立 线 的 方 程 为：y =%（x +4）,与椭圆方程三 十 万=联立可得：1+4公（+4）-=8,即.（4严+l）x2+3 2 H x+（64产-8）=0一32r 64A2-8贝生玉+“2=诉？%v+1 =必+1（Y I 2、直线M4的方程为：7 一玉+21）Y 4令一可得:_ 2 x .l=-2x 吐业%+2%+2须+2 （24+1）（再+4）国+2 斗+2同理可得：坨-（2k+1）（4 +4）%+2很明显孙 儿 0 且：国一仁注意到:力+“=-（2%+1）、再+2%+2,_ +1）X

22、（再+4）（丁2 +2）+（+4）（占+2）（X,+2）（X2+2）而.（玉 +4）G +2）+（+4）（X 1 +2）=2 玉+3（西 +/）+8=264左2 8、（-3 2k-。：+3x-+84左 一+1 （4 左 一 +1,（64公 一8）+3x（-32公）+8（4-+1）2 x4左2+1=0故 yp+yo=o，j=-y从而网 一 口=1【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面枳等问题.Y1 0.【2020年高考浙江】如图，已 知

23、 椭 圆 ：万+/=1,抛物线02：/=2 川(0 0)，点4 是椭圆G 与抛物线C?的交点，过点A 的直线/交椭圆C 于点B,交 抛 物 线 于 点M(8,/W不同于A).(I)若 P=,求抛物线C 的焦点坐标;lo v2(I I)若存在不过原点的直线/使M 为线段AB的中点，求 p 的最大值.【解析】(I)由p=2得 c的焦点坐标是(，0).lo J 32(I I)由题意可设直线/：x=m _V +f(机XO/HO),点 4%,为).将直线 的方程代入椭圆G +=1得 面+2)/+2抄+_ 2=。mt所以点“/的纵坐 标 加=-1 F.M m +2将直线/的方程代入抛物线C2-.y2=2p

24、x得/_ 2 p m y-2Pt=0,所以vv _ 2.,解得为 2),No%=-2 Pt m因此=型 坐 交m2 o y由上 +4 =1 得r=4(m+y+2(m+1602 p m m所以当 h，时，n 取到最大值N?。tn=72 5 P 4 0【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值,考查学生的数学运算能力，是一道有定难度的题.【2020年高考江苏】在平面直角坐标系x Oy中,X2 v2已知椭圆:一+乙=1的左、右焦4 3点分别为F”6，点4在椭圆E 上且在第一象限内，A F i l F ,直线A F i 与椭圆E 相交于另一点8.(1)求力耳 尸 2的周

25、长；(2)在 x 轴上任取一点P,直线A P 与椭圆E 的右准线相交于点Q,求 而 中 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记 04 8 与 M4 8 的面积分别为S i，S2,若 5 2=3 ,求点例的坐标.【解析】椭 圆 E:二+乙=1 的长轴长为2 a,短轴长为2 b,焦距为2c,4 3则/=4,h2=3,C2=1.所以/百鸟的周长为2a +2c =6.(2)椭圆E 的右准线为x =4.设 P(x,O),0(4 j),则 加=(x,0),/=(x _ 4 f),d P-0 P =x(x-4)=(x-2)2-4 -4,在x=2时取等号.所以丽的最小值为-4.(3)因为椭圆E:1 +g=l

26、的左、右焦点分别为耳，用，点/在椭圆E上且在第一象限 内,A F J g,3则片(1,0),6(1,0),4(15).所以直线/3：3x-4y+3=0.设因为S 2=3 S 1,所以点M到直线”距离等于点O到直线4 8距离的3倍.|3x-4y+3|3 x 0-4 x 0 +3|由此得J Y 1=3x-L贝lj 3x-4y+12=0 或 3x-4y-6=0.3 x-4 y+12=0,由 住+J1得 方+2 4 3 2 =。，此方程无解;4 33x-4 y-6=0,2由J?y2 得7/一12%一4=0，所以x=2或1=一 三.+=1 74 3代入直线/：3x 4y 6=0,对应分别得y=0或、=一

27、亍.因此点M的坐标为(2,0)或(-21-y12).【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,d-熟悉运用公式以及根据S2=3 5,推出 5是解答本题的关键.12.【2020年新高考全国I 卷】已知椭圆C：+与=1560)的 离 心 率 为 二，且a b 2过点4 (2,1).(1)求C 的方程：(2)点M,可在。上，且4 V?_ L4 V,A D A.M N,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|DQ|为定值.4 1 a2-b2 1【解析】由题设得r+万=1,解 得 2久，二a b a 2 a=6 b=32 2所以的方程为一+一=1.C o 3(2)设(再,必)，

28、N(x2,y2).若直线M N 与x 轴不垂直，设 直 线 的 方 程 为 卜=丘+?,x2 y2代入不+7=1得(l +2/)f +4 m x +2加2-6 =0-于是否+x2-4 km1 +2/2m2-61 +2A-2 由 A M L4 N 如 而 不=0,故(演-2)(X2-2)+(乂 -1)(%-1)=0,可得(y+l)x,x2+(km-k-2)(x,+x2)+(?n-1)2+4 =0.将代入上式可得(&2 +2)y +(/n-l)2+4 =0.1 +Z K 1 +2,K整理得 Qk+1)(2%+m 1)=0.因为Z(2,l)不在直线 山 上，所以”+机-1 工0,故2火+3 加+1

29、=0,k.2 1于是M N的方程为=%(工一)一3(4/1).2 1所以直线M N过点尸若直线 N与x 轴垂直，可得N（F，-乂）.由 A M -A N=0 得（再 -2）（石 -2）+（乂-1）（一 切 一 1）=0.又*+,=1,可得3 x；-8 玉+4 =0.解得芯=2（舍去）,x,=|.2 1此 时 直 线 过点尸4 1令。为4 尸的中点，即。（，?若。与尸不而合，则山题设知4P是R t Z Z Q P 的斜边，故|。|=；|/尸|=孚.若。与尸重合，则|。0 上1|么尸.综上，存在点。（会4 1?,使得|。|为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键

30、是笫二问中证明直线M N经过定点，并求得定点的坐标，属综合题，难度较大.x2 y213.【2020年新高考全国n卷】已知椭圆C：/+屏过点M （2,3）,点A为其左顶点，且AM 的斜率为万，（1）求 C的方程；（2）点 N为椭圆上任意一点，求 4 W N 的面积的最大值.【解析】由题意可知百线AM的方程为：y-3 =（x-2）,即x_2y=_4Y=-A当y=0时，解得，所以a=4,X2 y2 4 9椭圆U7 +7过点M(2,3),可 得 记+记=1,解得b2=12.2 2工+2 一1所以c 的方程：记17.设与直线AM平行的直线方程为：,，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与

31、椭圆的切点为M此时 AMN的面积取得最大值._ L.r _联立直线方程x-2 y =/%与椭圆方程16 12可得：3（加 +2歹）2+4/=48,16y2 +12/HV+3/?2-4 8 =0化筒可得：/,所以 A =1 4 4*一 4、1 6（3 加2一4 8）=0,即疗=6 4,解得 m=8,与AM 距离比较远的直线方程：一2）=8,x 2 y 4直线AM 方程为：,点N到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，8 +4 _ 1 275利用平行线之间的距离公式可得：d =7 耳 彳=-y-,由两点之间距离公式可得1 4 M|=7（2+4）2+32=3 75 .1 x 3 7 5 x 1 =1

32、8所以 A MN 的面积的最大值：2 5【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元.次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.314.【201 9年高考全国I 卷理数】己知抛物线C：必=3 x 的焦点为F,斜率为2 的直线/与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.（1）若|+|B F|=4,求/的方程;（2）若 存=3 而，求|A B|._ 3 7 4 5/1 3【答案】（1）y =2X S （2）-J-.3【解析】设直线/：7=5（*必）6（孙 ）（1）由

33、题设得下（*o,故|尸|+|3/|=%+%+，由题设可得由“3y=x+t2 ，可得y2=3x,则=12(/-1).9 x2+12(/-l)x +4 z2=0 玉+%=从而一12 1)5927得 =一 .837所以，的方程为丁=彳-三I 2 o（2）由=3而 可得必=一3%.由“3y =%+/2 ,可得y2=3x y2-2 y+2t-0所以乂+%=2.从而-3%+%=2,故=-1,凹=3.、1代入。的方程得再=3,%=.故|阳=平【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系

34、.1 5.【2 0 19年高考全国I I卷理数】已知点4-2,0）,8（2,0）,动点M（x,y）满足直线A M与B M的斜率之积为-2 .记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，P E L x轴，垂足为E,连结Q E并延长交C于点G.P Q G(i)证明：是直角三角形；(i i)求 丫面积的最大值.16【答案】(1)见解析；(2)(i)见解析；(i i)V，y y i【解析】(i)由题设得m.三一一5,化简得W 三 一 川 所以c为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)(i)设直线P Q的斜率为k,则

35、其方程为歹=履(左 0).y=kx由*/得 2 .+=1 x =I-V4 2 V 1+2 A:22J 1+2左2 J P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0)-k k于是直线0G的斜率为5,方程为二 5(一).ky=-(x-u),由 2 2 得二+J 4 2(2 +k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0,(3公+2)uk3设G(%JG)，则一和 与 是方程的解，故%=2 +/，由此得儿uk-UK2 +F从而直线 的斜率为“（3炉+2）PG 2+k2 所 以P上Q 1 PG，即 尸。丫G是直角三角形._ _ pg|_+1(i i)由 得|P 0=2 J 1+左2 ,2+k2,所以PQG

36、的面积襄 合 创 小=瑞 黑 访=等1设“%,则由k。得M当且仅当I 时取等号.c 8因为S =+2,在 2,+）单调递减，所以当t=2,即k=l时，5取得最大值，最大值16为瓦.16因此，a p a G面积的最大值为9【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.|1 6.【20 1 9年高考全国HI卷理数】已知曲线C：y,。为直线y=-a上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A,8.（1）证明：直线A8过定点：5（2）若以E（0,5）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点

37、，求四边形AD8 E的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或4垃.【解析】设-5）则才=2%.1V i H由于，所以切线DA的 斜 率 为，故 2 _ 丫 .一八1yr=x$xx t整理得2因一2%+1=0.设8（9,7 2），同理可得2a 2-2%+1=0.故直线A8的方程为2枕-2y +1 =0.所以直线A8过定点（0，!）.1（2）由（1）得直线AB的方程为歹=”+万.由,1y=tx+.2x2蚱 万可得x2-2tx-1 =0于是玉+x2=2t,xxx2=-l,必+%=%（玉 +%2）+l =2+1,I AB|=J l+k -X2|=J 1 +*X J（X +%2_4中2 =2（/+1）.

38、设M为线段AB 的中点，则“，,+；).由 于 两 J,方，而 两=，尸一 2),翦与向量()平行，所以，+(/-2)/=0.解得t=0 或/=1.当f=0 时，5=3；当，=1 时，5 =4 7 2.因此，四边形4 D8 E 的面积为3 或4 后.【名师点睛】此题笫一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.17.【20 1 9年高考北京卷理数】已知抛物线C：X=-2p y 经 过 点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设。为原点，过 抛 物 线 C的焦点作斜率不为。的 直 线/交 抛 物 线 C于两点M

39、,N,直线y=-l分别交直线。M,ON于点A 和点B.求证：以A B 为直径的圆经过y轴上的两个定点.【答案】(1)抛物线的方程为“二-4 ,准线方程为y =l；(2)见解析.【解析】(1)由抛物线。：/=一 2眇 经过点(2,-1),得P=2所以抛物线C的方程为犬=-4y，其准线方程为 =1.(2)抛物线。的焦点为尸(0,T).设直线/的方程为y=kx-(k0).y=kx-l,由 2 _ /得2-d =-x2+4kx-4 =0设“(再,必),N(X 2，%),则xx2=-4.直线八 的方程为歹=OM 玉令,，得点A的横坐 标 肛=一个y =-l 必同理得点8的横坐标乙=一 寸x2设点，则0(

40、0,)-五，-1-J5By)-巴,-1-，%)刀.丽=+(“+1)2yty2XxX2立、+(+1)2=-+(+1)2中2=-4 +(+1)2.令 夕 丽=0，即-4 +(+1)2=0,则=1 或=3.综上，以A B为直径的圆经过y轴上的定点(0/)和(0,-3).【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.x2/_18.【20 1 9年高考天津卷理数】设椭圆/+乒=1()的左焦点为尸，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为彳.（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，

41、点 为直线P 8与x轴的交点,点N在歹轴的负半轴上.若|O N|=|CA|（。为原点），且求直线尸8的斜率.x2 y2,27 3 0 2廊【合案:】（1）1-=1 ；（2）-或-5 4 5 5【解析】（1）设 椭 圆 的半焦距为，依题意，26 =4,=又2,2 2,可c a 5 a=b-+c得。=逐，b=2,c=l .2 2所以椭圆的方程为9+3=1.（2）由题意，设尸国，孙乂小工0）,河 国,0）.设直线尸8的斜率为左（4*0），又8（0,2）,则 直 线 的 方 程 为y=Ax +2,与椭圆方程联立彳y=kx-F 2,x2 整理得+丁 =1，(4+5公 卜2+2 0 6 =020k可得X

42、p=_ 4+5 左7 T，代入 k,。得VP2 y=Ax +2，P8-1 0公4+5 42yP 4-5k2进而直线 的斜率-O P x-1 0 左2在 广 点+2中，令_ y=0,得知=一 心由题意得N（0,-l），所以直线M M的斜率为一?4 5 公由 ，得1 kOPLMN T O人-扪T，化简得心卷从而一学.所以，宜线PB27 3 0,、27 3 0的斜率为 或-.55【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.1 9.（201 9年 高 考 江 苏 卷】如 图，在 平 面 直 角

43、 坐 标 系 x O y 中，椭 圆 C:X V-7+*=1(。6 0)的焦点为三(-1、0),F2(1,0).过 F z 作 x 轴的垂线/,在a b-x 轴的上方，/与圆F 2：口-1）2+_/=4 4 2 交于点4与椭圆C 交于点D.连结A R并延长交圆下 2于点8,连结BF z 交椭圆C 于点E,连结D F i.5己知D F i=.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）求点E 的坐标.X2 V2 3【答案】（1）彳+丁 =1；（2）（1,万）.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c.因为 0),F2(l,0),所以 F R=2,c=l,又因为 D F，AF x 轴，所以 DF2=NDF；_

44、F F；=Jg)2 _ 22=,因此 2a=DF1+DF2=,从而 a=2.由得按=3.x2 y2因此，椭圆C 的标准方程为二 +J=l.4 3x2 y2(2)解 法-：由(1)知，椭圆 C：+=1 ,a=2,4 3因为AF z _ Lx 轴，所以点A 的横坐标为1.将 X=1 代入圆F2的方程(x-l)2+y2=i 6,解得y=4.因为点A 在X 轴上方，所以A(l,4).又 F i(-1,0),所以直线A&：y=2x+2.y=2x+2 11由.八2 2“，得，解得 或X =(x-l)-+y=1 6 5X2+6X-11=0 x =l 51 1 1 2将一 行 代 入 尸 2x +2 得 k一

45、 亍因此 6(-,一-).3又 2(1,0),所以直线BF z：y=-歹=(x-l)4由1 2 2,得工+匕=1.4 3 7 x?1又因为E 是线段8 F 2与椭圆的交点,3 /八将 代入V =1(x -1)，得歹x =-l 4(x-1).，解得 或X 3 =0 x =-I 7所以x=-L_23因此（一1,一/）.V解法二：由（1）知，椭圆c：=1.4 3如图，连结E R.因为班=2。，EFy+EF2=2a,所以 E R=E 8,从而 N 8 F i E=/8.因为 F 2A=F 2&所以N A=/8,所以N A=N 8&E,从而 R F 2A.因为轴，所以E F i x 轴.因为R(-l,0

46、),由,x=-1V/得 3.I 4 3 23又因为E 是线段B R 与椭圆的交点，所以 =-5.3因此.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.2 0.【201 9年高考浙江卷】如图，已知点“(1 )为抛物线V=2 px(P0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得C 的重心G在 x 轴上,直线A C 交x 轴于点Q,且 Q在点F 的右侧.记 4F G,0。6的面积分别为5,5 2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；A(2)求 S 2 的最小值及此时

47、点G的坐标.【答案】(1)p=2,准线方程为x=-l；(2)最小值为1 +巨，此时G (2,0).2【解析】由题意得春=1,即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=-l.（2）设 4（乙，为），8（XB，%）,C（XC，”），重心 6&,凡）.令 为=2。7 0,则X，=.由于直线A8过F,故宜线AB方程为X =u-y +1,代 入2 /，得2t y=4x，2“2 Ty-y-4 =0 t故2%=4即 为=,所以8（*,一：又 由 于XoMl+Xs+XcbyGMC+NB+K）及 重 心G在X轴 上，故所以，直线AC方程为y_2/=2/（x _/），得0（*_1,0）由于Q在焦点F的右侧，故 2.从而1 2一2/+2 百 _5图|帆|靖一】2 J 己2 JS QG-yc|/2-l-2f4y+2|-|-2/|I T令2=J 2,则m0,S,_ m 1 _ 1 .V3吩=2 -=2-2 j =1 +-S,n i +4”?+3,3,4 I 3 22加+4 2.m-+4m V m当 尻时，密取得最小值1 +且，此时G (2,0).【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.