36有限群的分类中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、 9 有限群的分类 1.凯莱定理：设G是n阶群，则G一定与对称群nS的某个子群同构。凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群nS研究透就够了，但由于nS的阶数(!)n非常大，很难找出G具体与nS的哪个子群同构。实际当中采用具体研究的方式。，2。群的直和分解概念 定义 设12,sN NN是群G的正规子群。如果xG，都存在唯一的iixN，使得12sxx xx；同时当ij时，iN中的元素与jN中的元素可交换，则称G为12,sN NN的直和，记为 12.sGNNN 例如，以克莱茵四元群为例，4,Ke a b c，取1,Ne a2,Ne b 则 124,N NK 且有 12,eee eN eN 1

2、2,aae aN eN 12,beb eN bN 12,cab aN bN 从而根据定义有 412.KNN 再比如，6 阶循环群2345,Gae a aaaa，6ae。取 331,Ne aa，2422,Ne aaa，则不难验证有12GNN。3.有限群的结构定理 群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的 群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将 一般的群分解成循环群的直和。以下将n阶循环群记为nC。情形 1：有限交换群的情形 定理 1 每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为12,sm mm，满足12|,mm 23|,mm1|ssmm，即 12s

3、mmmGCCC。通常称12,sm mm为G的不变因子（Invariant factors）。定理 2 设正整数1212tnnntmp pp，其中12,tp pp为互不相同的素数，0in，则 1212.nnnttmpppCCCC（即循环群还可以进一步分解为更小的循环群的直和）的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已知的群的直和而循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有

4、限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都是素数的方幂不可能再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范围内作因式分解由于因此必有 结合定理 1 和定理 2 得 定理 3 任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和，其中每个循环群的阶都是素数的方幂。定理 4 素幂阶循环群npZ不可能再分解成阶数更小的循环群的直和。定理 5 若m与n互素，则mnmnCCC。将12,sm mm在整数范围内作因式分解，由于 12|,mm 23|,mm1|ssmm，因

5、此12,sm mm必有相同的素因子，把它们按从高到低的次序排列如下：11112112,tnnntmppp 22122212,tnnntmppp 1212,ssstnnnstmppp 其中有些ijn可以为 0，且 120.jjsjnnn 称以上分解出的真因子(0)ijnjijpn 都叫G的一个初等因子(elementary factor).定理 1，2，3 可以简写成形式 的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已

6、知的群的直和而循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都是素数的方幂不可能再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范围内作因式分解由于因此必有 111nijijsstmpiijGCC 例 1 确定所有 4 阶和 6 阶交换群。解。（1）242 22n ，全部初等因子组为2，2，22，因此只有两种 4 阶交换群：22CC，4C。其中22CC就是克莱茵四元群4K（

7、见前面例子）。（2）62 3n ，初等因子组只有2，3，因此 6 阶交换群只有一个：236CCC。但要注意，这里给出的仅仅是交换群的情形，还有 6 阶非交换群存在：3S。例 2 列出所有 1500 阶的有限交换群 解。23150023 5,n 全部初等因子组为 22,3,5,5,5，222,3,5,5，232,3,5 2,2,3,5,5,5，22,2,3,5,5，32,2,3,5，因此共有6 种 1500 阶的交换群，分别为 143555,GCCCCC 243525,GCCCC 343125,GCCC 4223555,GCCCCCC 的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子

8、群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已知的群的直和而循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都是素数的方幂不可能再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范围内作因式分解由于因此必有 5223525,GCCCCC 6223125.GCC

9、CC 注意：利用定理 5 可以将123456,G G G G G G重新改写成 15560GCCC,25300GCC,31500GC,451030GCCC,510150GCC,62750GCC,最后得到123456,G G G G G G的不变因子分别为：5，5，60，5，300，1500，5，10，30，10，150，2，750。作业：（1）决定 20 及 20 阶以下交换群的结构；（2）给出 2250 阶交换群的所有结构，并求出相应的不变因子。再给出两个关于交换群的结论 定理 6 素数阶的群总是交换群而且只有一个，即素数阶的循环群。定理 7 设G是n阶交换群，m是n的任何一个正因子，则G总

10、存在m阶的子群。注意:定理 7 对非交换群不成立。如取G为4S的全部偶置换作成的群（即交错的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已知的群的直和而循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都是素数的方幂不可能

11、再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范围内作因式分解由于因此必有群4A），它是一个 12 阶非交换群，但可以验证4A没有 6 阶子群。情形 2：非交换群的情形 正n边形的对称群概念：令T为正n边形顺时针旋转2n的旋转对称，S为关于过中心的对称轴的镜面对称，则正n边形总共有2n个对称，正n边形的对称群表示为：11,nnnDI TTS STST，其中，21,nTI SI STT S I为恒等变换。定理 5 设|,Gpq p q为素数，且不妨设pq。若q不整除1p，则pqGZ；若|1q p，则G同构于由c和d生成的非交换群：,pce ,qde sdcc d 其中，p不

12、整除1s，|(1)qps。例子：155 3，5,3,pq q不整除1p，所以 15 阶的群只有循环群15C。的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已知的群的直和而循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都

13、是素数的方幂不可能再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范围内作因式分解由于因此必有 推论 设p是奇素数，则2p阶的群要么是循环群2 pC，要么是正p边形的对称群pD。例如，62 3 阶群只有6C和33()DS；102 5 阶群只有10C和5D；142 7 阶群只有14C和7D。定理 6 8阶非交换群只有两个：一个是正四边形的对称群4D；另一个是四元数群8Q 定理 7 12 阶非交换群有三个：一个是正六边形的对称群6D；一个是交错群4A；一个是由两个元素,a b生成的群，记为R 6,ae 22,ba 15.baa ba b 总结:15 及 15阶以下交换和非交换群

14、列表 n 群 个数 的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已知的群的直和而循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都是素数的方幂不可能再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范

15、围内作因式分解由于因此必有 1 e 1 2 2C 1 3 3C 1 4 22CC,4C 2 5 5C 1 6 6C,3D(即3S，非交换)2 7 7C 1 8 222CCC,24CC，8C,4D，8(Q 非交换）5 9 33CC,9C 2 10 10C,5D(非交换)2 11 11C 1 12 26CC,12C,4A，6D，R(非交换）5 13 13C 1 的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已知的群的直和而

16、循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都是素数的方幂不可能再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范围内作因式分解由于因此必有 当16n 时，共有 14 个不同的 16 阶群，其中交换群有 4 个：2222,CCCC 224,CCC 28,CC 16C，其余 10 个为非交换群。当32n 时，共有 51 个不同的交换和非交换群。因此，没有一个关于n阶群个数的

17、公式。14 14C,7D(非交换)2 15 15C 1 的阶数非常大很难找出具体与究的方式研究透就够了但由于的哪个子群同构实际当中采用具体研群的直和分解概念定义设使得为是群的正规子群如果都存在唯一的同时当的直和记为中的元素与时中的元素可交换则称例如以克莱茵四群分解成简单的结构完全已知的群的直和而循环群的结构最简单完全清楚因此总是将一般的群分解成循环群的直和以下将阶循环群记为情形有限交换群的情形定理每个有限交换群都同构于一些循环群的直和这些循环群的阶数分别为直和结合定理和定理得定理任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和其中每个循环群的阶都是素数的方幂不可能再分解成阶数更小的循环群的直和定理素幂阶循环群定理若与互素则将在整数范围内作因式分解由于因此必有