平面几何四大定理中学教育竞赛题_中学教育-试题.pdf

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1、 平面几何四个重要定理 四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线)Z1ABC 的三边 BC、CA.AB 或其延长线上有点 P、Q、R,则 P.Q、R 共线的充矣条件是=lo PC QA RB 塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点)厶 ABC 的三边 BC.CA.AB 上有点 P、Q、R,则 AP、BQ、托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充妥条件是 该四边形内接于一圆。例题：1.设 AD 是 4ABC 的边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 F。求.AE 2AF 证：=_ O ED FB【分析】CEF 裁 OABD -=1(梅氏定理)ED CB

2、FA【评注】也町以添加辅助线证明：过 A、B、D 之一作 CF 的平行 线。2.过-ABC的重心 G 的直线分别交 AB.AC 于 E、F,交 CB 于心充+喘喘糾。A Do 占 r.BE 亠 CF.】2 甄+冠 i 【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M,则 M 为 BC 的中点。DEG=1（梅氏定理）EA GM DB DGF 截 AACM-餐害 曽=1（梅氏定理）FA GM DC BE CF GM（DB+DC）GM-2MD _ +_ _ =_ EA FA AG MD 201-MD【评注】梅氏定理 3.D、E、F 分别在 AABC 的 BC、CA、AB 边上，RD AF CF=AD.BE

3、、CF 交成ZiLMNo DC FB EA 求 S_LMNo【分析】4.以厶 ABC边为底边向外作相似的等腰 4BCE、乙 CAF、AABGo 求证：AE、BF、CG 相交于一点。【分析】【评注】塞瓦定理 5.已知 AABC 中，ZB=2ZCo 求证：AC?二 AB?+AB BC .wd【评注】梅氏定理 【分析】过 A 作 BC 的平行线交 AABC 的外接圆于 D,连结 BD。则 CD=DA=AB,AC=BD0 由扌毛勒密定理,ACBD=ADBC+CDAB。【评注】托勒密定理 6.已知正七边形 22ZZ44。求证：+!o（第“届全苏数学竞界）A|A A j Aj A j 【分析】【评注】托勒

4、密定理 7.AABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接罔于 P,作 PE 丄 AB 于E,延长 ED 交 AC 延长线于 F。求证：BC EF=BF CE+BE CF0【分析】【评注】西姆松定理（西姆松线）&正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N【评注】面积法 9.0 为 AABC 内一 CA、AB 的距离,分成的比为 AM:（23-IMO-5）【分析】距离。求证:(1)a-Rab-db+c-dc;(2)a-Rac-db+b-dc;(3)Ra+Rb+Rc 2(da+db+dc)o【分析】【评注】面积法 10.厶 ABC 中，H.G、0 分别为垂心、重心、夕卜

5、心。求证：H、G、0 三点共线，且 HG=2GO。（欧拉线）【分析】【评注】同一法 厶 ABC 中，AB 二 AC,AD 丄 BC 于 D,BM、BN 三等分 ZABC,与 AD 相交于 M、N,延长 CM 交 AB 于 E。求证：MB/NE0【分析】【评注】对称变换 12 G 是 zlABC 的重心，以 AG 为弦作圆切 BG 于G,延长 CG 交闻于 D。求证：AG2=GCGD。A C B【分析】【评注】平移变换 13.C 是直径 AB 二 2 的 OO 上一点，P 在乙 ABC 內，若 PA+PB+PC的股小值是、厅、求此时 AABC 的面积 S。【分析】【评注】旋转变换 负马点：已知

6、0 是厶 ABC 内一点，ZAOB=ZBOC=ZCOA=120S;P 0的切线交 AB、BC、CD、DA 分别于 M、N、P、Qo 求证：MQ/NP0【分析】由 AB/CD 知：要证 MQ/NP,只需证 _AMQ CPN,结合 ZA=ZC 知，只需证 厶 AMQsPN AM CP ZEOM=a,上 FON 邛，Z EOF=2a+2?=180 2 養/.ZBON=90-ZNOF-ZCOF=90S-p-=a 上 CNO 二匕 NBO+Z NOB=?+a=Z AOE+匕 MOE=Z AOM AM AO 又_OCN 二厶 MAO,OCNSMAO,于是=-,CO CN/.AM CN=AO CO 同理,A

7、QCP=AOCOo【评注】15.（96全国竞OOOi 和 OO2 与 AABC 的三边所在总线 都相切，E、F.G.H 为切点，EG、FH 的延长线交于 P。求证：RA丄 BC。【分析】,AM CN=AQ CPo AQ CN 连结 AC.BD,其交点为内切圆心 Oo设 MN 与 OO 切于 K,连结OE、OM、OK、ON.OFo 彳己匕 ABO=ZM0K=a,ZKON=p,则【评注】16（99全国竞赛）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分上 BAD。在 CD 上取一点 E,BE与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G。求证：ZGAC=ZEAC0 证明：连结 BD 交 AC

8、 于 H。对 Z1BCD 用塞瓦定理，町得 CG BH DE,GB HD EC 因为 AH 是 ZBAD 的角平分线，由甬平分线定理，BH AB“CG AB DE.HD AD GB AD EC 过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I,过 C 作 AD 的 平行线交 AE 的延长线于 J。CGDE GB AB EC CJ CI AB AD f -=I AB AD CJ 又因为 CI/AB,CJ/AD,z ACI=n-Z BAC=n-/DAC=/AC J 0 因止匕，zlACIAACJ,从而 ZIAOZJAC,即 ZGAC=ZEAC0 已知 AB 二 AD,BC=DC,AC 与 BD

9、交于 0,过 0 的任意两条立线 EF 和 GH 与四 边形 ABCD 的四边交于E、F、G、Ho 连 结 GF、EH,分别交 BD 于 M、N。求证：B OM=ON0（5 届 CMO）证明：作厶 EOH AEW,则只需证 E、M.H 共线，即 EH、BO.GF 三线共点。记上 BOG=ot,ZGOEo连结 EF 交 BO 于 K只需证票黑.藝=1（Ceva 逆定 GB H F KE 理）。所以 从而 CI=CJo A E G BH FK _ SEG SJQBH S 卫脉 _ OEsin 卩 OBsina OF 而丽走SJOGB SJOH F S JOKE OB sin ct OFsinfJ

10、西 注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。对应于 99 联赛 2:ZEOB 二 ZFOB,且 EH；GF、B0 三线共点。求证：ZGOB 二 ZFTOB。事实上，上述条件是充矣条件，且 M 在 0B 延长线上吋结论仍 然成立。证明方法为：同一法。蝴蝶定理：P 是 O0 的強 AB 的中点，过 P 点引 00 的两弦 CD、EF,连结 DE 交 AB 于 M,连结 CF 交 AB 于 N。求证：MP=NP0【分析】设 GH 为过 P 的直径，F GmFF,显然=00。又 PGH,PF=PF。PF S(GH)PF PA S(GII)PB,匕 FPN 二 ZFPM,PF 二 PF。又 FF1 丄 GH,AN 丄 GH,.FF li AB0 上 FPM+厶 MDF 二匕 FPN+ZEDF=ZEFF+ZEDF=180,/.P.M、D、F1 四点共圆。/./PFM=ZPDE=ZPFNo/.APFNAPF*M,PN=PMO【评注】一般结论为：已知半径为尺的 00 内一孩 AB 上的一点 P,过 P 作两条相交 狡 CD、EF,连 CF、ED 交 AB 于 M、N,已知 OPh,P 到 AB 中点的距离为 a,则 1 1 PM PN=,2a o（解析法证明：利用二次曲线系知识）R-_厂 r t