线性代数复习总结研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nTAr AnAAAxxAxAAxA AAE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R12,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在阶矩阵使得 或 注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.()Ar AnAAAAxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是 的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量 注()()abr aEbAnaEbAaEbA x 有非零解=-具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()关于12,

2、ne ee：称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量87p教材；12,ne ee线性无关；12,1ne ee；tr=E n；任意一个n维向量都可以用12,ne ee线性表示.学习必备 欢迎下载 行列式的定义 1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaa1 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若AB与都是方阵（不必同阶）,则=()mnAOAAOA BOBOBBOAA

3、A BBOBO 1（拉普拉斯展开式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO 1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式：1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxx111 矩阵的定义 由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为mn矩阵.记作：ijm nAa或m nA 培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜

4、语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 伴随矩阵 1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA，ijA为A中

5、各个元素的代数余子式.逆矩阵的求法:1AAA 注：1abdbcdcaadbc1 主换位副变号 1()()A EE A初等行变换 1231111213aaaaaa 3211111213aaaaaa 方阵的幂的性质：mnm nA AA ()()mnmnAA 设,m nn sABA的列向量为12,n,B的列向量为12,s，则m sABC1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbb iiAc，(,)is 1,2i为iAxc的解121212,sssAAAAccc12,sc cc可由12,n 线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由

6、B的行向量线性表示，TA为系数矩阵.即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac 11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaac 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师

7、这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD 分块矩阵的逆矩阵：111AABB 111ABBA 1111ACAA CBOBOB 1111AOAOCBB CAB 分块对角阵相乘：1

8、1112222,ABABAB11112222A BABA B,1122nnnAAA 分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB *(1)(1)mnmnAABBB A 矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXA B(I)或 (II)A BE X初等行变换(I)的解法：构造()()TTTTA XBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）两个向量

9、线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p教材.向量组12,n 中任一向量i(1i)n都是此向量组的线性组合.向量组12,n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组12,n 线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.m维列向量组12,n 线性相关()r An；m维列向量组12,n 线性无关()r An.若12,n 线性无关，而12,n 线性相关,则可由12,n 线性表示,且表示法唯一.矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台

10、阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你

11、想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作()r Ar 向量组的秩 向量

12、组12,n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,)nr 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B.记作：AB 向量组等价 12,n 和12,n 可以相互线性表示.记作：1212,nn 矩阵A与B等价PAQB，,P Q可逆()(),r Ar BA BA B为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价1212(,)(,)nnrr 1212(,)nnr 矩阵A与B等价.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示AXB有解12(,)=nr 1212(,)nsr 12(,)sr 12(,)nr.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且sn

13、，则12,s 线性相关.向量组12,s 线性无关,且可由12,n 线性表示,则sn.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且12(,)sr 12(,)nr,则两向量组等价；任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.设A是mn矩阵,若()r Am，A的行向量线性无关；若()r An，A的列向量线性无关,即：12,n 线性无关.矩阵的秩的性质：()AOr A 若1 ()0AOr A 若 0()m nr Amin(,)m n ()()()TTr Ar Ar

14、A A p教材101,例15 ()()r kAr Ak 若0 ()(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx 若若0的列向量全部是的解 ()r ABmin(),()r A r B 培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在

15、生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载()()()()Ar ABr BBr ABr A若 可逆若 可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.若()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n sr ABr Br BnB 在矩阵乘法中有右消去律.()rrEOEOr ArAAOOOO 若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型.()r AB()()r Ar B

16、max(),()r A r B(,)r A B()()r Ar B p教材70()()AOOArr Ar BOBBO ()()ACrr Ar BOB 121212,0,()(),AnnAnAxAnAxAxr Ar AAxAn 当 为方阵时当 为方阵时有无穷多解0 表示法不唯一线性相关有非零解 可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),()()()1()nAxr Ar AAxr Ar Ar Ar A 教材72 讲义8性无关只有零解 不可由线性表示无解 注：AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 Ax 向量式 1122nnxxx 培

17、养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着

18、课文学习必备 欢迎下载 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb 12,2,jjjmjjn1 1212(,)nnxxx 矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkA TAA()TTTA BAB 11()()TTAA()()TTAA 矩阵可逆的性质：11()AA 111()ABB A 111()kAk A 11AA 111()A BAB 11()()kkkAAA 伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABB A 1()nkA k A 1nAA*()A BAB 11()()AAAA ()()kkAA ()()1 ()10 ()1 nr A

19、nr Ar Anr An 若若若 ABA B nkAkA kkAA ABAB AAA AA E（无条件恒成立）培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼

20、音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 线性方程组解的性质：1212121211221212(1),(2),(3),(4),(5),(6kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx 是的解也是它的解 是的解 对任意也是它的解齐次方程组 是的解 对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx 是的解 则也是它的解是其导出组的解 是的解 则 也是的解 是的解 设A为mn矩阵,若()

21、r Am()()r Ar AAx一定有解，当mn时,一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m是()()r Ar A和的上限.判断12,s是Ax的基础解系的条件：12,s线性无关；12,s都是Ax的解；()snr A 每个解向量中自由未知量的个数.一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.若是Ax的一个解，1,s是Ax的一个解1,s线性无关 Ax与Bx同解（,A B列向量个数相同）,则：它们的极大无关组相对应,从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系.两个齐次线性线性方程组Ax与Bx同解()()Arr Ar BB .两个非齐次线性方程组

22、Ax与Bx都有解，并且同解()()Arr Ar BB.矩阵m nA与l nB的行向量组等价齐次方程组Ax与Bx同解PAB（左乘可逆矩阵P）；101p教材 培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也

23、喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 矩阵m nA与l nB的列向量组等价AQB（右乘可逆矩阵Q）.关于公共解的三中处理办法：把(I)与(II)联立起来求解；通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,是(I)的基础解系,45,是(II)的基础解系，则(I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,)(,)rrcc 当(I)与(II)都是非齐次线

24、性方程组时，设11122cc是(I)的通解，233c是(II)的通解，两方程组有公共解2331c 可由12,线性表示.即：12122331(,)(,)rrc 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.向量12,Tna aa与12,Tnb bb的内积 1 1221(,)niinnia ba ba ba b 与 正交(,)0.记为：向量12,Tna aa的长度 2222121(,)niniaaaa 是单位向量(,)1.即长度为1的向量.内积的性质：正定性：(,)0,

25、(,)0 且 对称性：(,)(,)双线性：1212(,)(,)(,)1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)ccc A的特征矩阵 EA.A的特征多项式 ()EA.()是矩阵A的特征多项式()AO A的特征方程 EA 0.AxxxAxx(为非零列向量)与 线性相关 12nA 1niAtr，Atr称为矩阵A的迹.上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.若0A,则 0为A的特征值,且Ax的基础解系即为属于 0的线性无关的特征向量.培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌

26、能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 ()1r A A一定可分解为A=1212,nnaabbba 、21 122()nnAa ba ba bA,从而A的特征值为

27、：11 122nnAa ba ba b tr,23n 0 p指南358.注12,Tna aa为A各行的公比，12,nb bb为A各列的公比.若A的全部特征值12,n，()f A是多项式,则:若A满足()f AOA的任何一个特征值必满足()if 0()f A的全部特征值为12(),(),()nfff；12()()()()nf Afff.初等矩阵的性质：(,)E i j 1 ()E i kk ,()E i j k 1(,)(,)TE i jE i j ()()TE i kE i k ,(),()TE i j kE j i k 1(,)(,)E i jE i j 11()()kE i kE i 1,

28、(),()E i j kE i jk*(,)(,)E i jE i j *1()()kE i kkE i*,(),()E i j kE i jk 设1110()mmmmf xa xaxa xa，对n阶矩阵A规定：1110()mmmmf Aa AaAa Aa E 为A的一个多项式.1 231122,TAmmkkAabaAbEAAAAAA 是 的特征值 则:分别有特征值 .培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示

29、花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 1231122,AmmkkAabaAbEAxAxAAA 是 关于 的特征向量 则 也是关于的特征向量.2,mA A的特征向量不一定是A的特征向量.A与TA有相同的特征值，但特征向量不一定相同.A与B相似

30、 1P APB （P为可逆矩阵）记为：AB A与B正交相似 1P APB （P为正交矩阵）A可以相似对角化 A与对角阵相似.记为：A （称是A的相似标准形）A可相似对角化()iinrEAk ik为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，1P AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,)(,)(,)(,)nnnnnnPPAAAA .注：当i 0为A的重的特征值时，A可相似对角化i的重数()nr A Ax基础解系的个数.若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.若A可相似对角化,则其非零特征

31、值的个数（重根重复计算）()r A.若AkA=1kPP，1211()()()()()nggg APgPPPg 相似矩阵的性质：EAEB,从而,A B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注x是A关于0的特征向量,1P x是B关于0的特征向量.培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳

32、下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 ABtrtr AB 从而,A B同时可逆或不可逆()()r Ar B TTAB；11AB （若,A B均可逆）；*AB kkAB （k为整数）；()()f Af B，()()f Af B,ABAB CDCD 注前四个都是必要条件.数量矩阵只与自己相似.实对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；不同特征值对应的特征向量必定

33、正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的特征值,该特征值i的重数=()inrEA；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似有相同的特征值.正交矩阵 TAAE A为正交矩阵A的n个行（列）向量构成n的一组标准正交基.正交矩阵的性质：1TAA；TTAAA AE；正交阵的行列式等于 1 或-1；A是正交阵,则TA，1A也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组.二次型 1211(,)nnTnijijijf x

34、xxx Axa x x ijjiaa，即A为对称矩阵，12(,)Tnxx xx A与B合同 TC ACB.记作：AB （,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵）正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp 符号差 2pr (r为二次型的秩)两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼

35、花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B 12(,)Tnf x xxx Ax经过正交变换 合同变换可逆线性变换xCy化为21niifd y标准形.二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系

36、数的个数是由()r A正惯性指数 负惯性指数 唯一确定的.当标准形中的系数id为-1 或 0 或 1 时,称为二次型的规范形.实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵111100合同.用正交变换化二次型为标准形:求出A的特征值、特征向量；对n个特征向量正交规范化；构造C（正交矩阵）,作变换xCy,则1112221()()TTTTTnnnydyydyCyA Cyy C ACYy C ACYydy 新的二次型为21niifd y,的主对角上的元素id即为A的特征值.施密特正交规范化 123,线性无关,112122111313233121122

37、(,)(,)(,)(,)(,)(,)正交化 培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的

38、谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文学习必备 欢迎下载 单位化：111 222 333 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.例如：123xxx 0取1 1 1 0，2112.正定二次型 12,nx xx不全为零，12(,)nf x xx 0.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.()Tf xx Ax为正定二次型（之一成立）：x ，Tx Ax 0；A的特征值全大于0；f的正惯性指数为n；A的所有顺序主子式全大于0；A与E合同，即存在可逆矩阵C使得TC ACE；存在可逆矩阵P，使得TAP P；存在正交矩阵C

39、，使得121TnC ACCAC （i大于0）.合同变换不改变二次型的正定性.A为正定矩阵iia 0 ；0A.A为正定矩阵1,TAAA也是正定矩阵.A与B合同，若A为正定矩阵B为正定矩阵 ,A B为正定矩阵AB为正定矩阵，但,AB BA不一定为正定矩阵.培养学生独立阅读能力完成口语交际培养学生口语表达能力学习热情的待客之道教学过程第一课时一了解灯谜自读课文元宵节试编谜语学过了元宵节这一单元的两首儿歌能说一说你对元宵节的了解吗元宵节还有一个有趣的活动就是老师这里就有几条谜语课件示花灯上面有灯谜聪明的小朋友准能猜中小鱼花灯一群小孩排成队手拉手儿臂挽臂碰上火星就散开噼噼啪啪叫声脆谜底鞭炮山羊花灯一群小白鹅纷纷跳下河个个能浮水全都上餐桌谜底水饺教师放慢读谜语在生活中学习必备欢迎下载我们的好朋友丁丁也喜欢猜谜语你想知道丁丁猜的谜语是什么吗借助拼音自己来读读课文猜灯谜和小组内同学合作读文章订正读音并找到丁丁猜的谜语想想为什么是元宵课件再出示一个花灯上面写着课文