321立体几何中的向量方法中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、 3.2.1立体几何中的向量方法 方向向量与法向量 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平

2、面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不/直钱的方向向置 如图，2为经过已知点A且平行于非零向量:的直线，那么非零向量。叫做直线/的方向向量。换句话说，直线上的非零向量叫做直线的 方向向量 直线 I 的向量式方程op OA+ta 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷

3、變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不的法平面（X 的向量式方2.年而的依向量 如果直线 1 丄平面 a 取直线 1 的方向向量乳 则向量 0 叫做平面 a 的法向量.换句话说，与平面垂直的非零向量叫做平面 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面

4、垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不练习如图所示，正方体的棱长为1(1)直线0A的一 方向向量坐标为(1,0,0)(2)平面0ABC的一个法向量坐标为(0,0,1)(3)平面ABC的一个法向量坐标为 d，1

5、)Z O1 C y A 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方

6、取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不练习.在空间直角坐标系内，设平面经过 点PQWOMO）,平面G的法向量为e=（A.B.C M（兀 z）为平面&内任意一点,满足的关系式。解：由题意可得丽=（兀一兀o，y_yo，Z_Zo）,e-PM=Q BP(A,B,C)-(X-X0,J-Jo,Z-Zo)=O 化简得：A(x x0)+B(y j0)+C(z z0)=0量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平

7、面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不 例：已知而=（Z 2,1）,AC=（4,5,3）,求平面ABC的 单位法向量。解：设平面的法向量为=（刘 贝阮丄AB,n丄疋/.（兀，y,d,2,1）=0,（上%加4,5,3）=0,2x+2y+z=0 寸 A c a，取z=l，4x+5y+3z

8、=0 1 一 3 斤=（；厂1,1）,n=-2 2%Z）得 由衡个三无一茨方程 值啟的方程他的解足 菜惟一的，鬲方便起 見，取夕=/載合理。衷變年而的试向量来 足锥一的。1 x=2?=i 1?2 平面他的单位法向量为（亍巧叩 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一

9、的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不fZ=(1，-1，练习 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD 是 正方形，侧棱PD丄底面ABCD,PD=DC=1,EMPC 的中点，求平面 EDB 的一个法向量.解：如图所示建立空间直角坐标系.依题意得 D(0,0,0),P(0,0,l),E(0,打 B(1.1,0)ZZE=(O,3，J DB=(1,1,0)设平面EDB的法向量为n二(x,y,1 贝阮丄万

10、E,ri丄丽 干曰J丄y+丄=o 一 于是2 2 二 x+y=0 E A 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的

11、两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不则这两个平面平行 已知直线I与m相交，定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，求证a0.证明取l,m的方向向量3,方 取0的法向量I匸 I/队m/ft:.a丄讥方丄v 又弘方不共线，所以v是a的一个法向量 于是v同时是a、0的一个法向量/.a/0.量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量

12、解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不(1)l/m o 3.年行矣橐：设直线I,m的方向向量分另!J为方，厶,平面的法向量分另!）为u.v,贝I a I lb OM=2v.u7丄0 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向

13、向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不巩固性训练 设7,分别是平面偽卩的法向量，根据 下列条件，判断偽卩的位置关系.(1)：=(2,2,5),v=(

14、6-4,4)垂直(2)：=(1,2,2),v=(-2-4,4)平行(3=(2-3,5),v=(-3,1-4)相交 量叫做直线的方向向量换句话说直线上的非零向量叫做直线的方向向量直线的向量式方程年而的依向量如果直线丄平面取直线的方向向量乳则向量叫做平面的法向量的法平面的向量式方换句话说与平面垂直的非零向量叫做平面练习直角坐标系内设平面经过点平面的法向量为例已知而求平面的单位法向量解设平面的法向量为刘由衡个三无一茨方程值啟的方程他的解足菜惟一的鬲方便起見取夕載合理衷變年而的试向量来足锥一的贝阮丄丄疋兀上加寸取得一斤厂示建立空间直角坐标系依题意得打设平面的法向量为二贝阮丄万丄丽干曰丄丄一于是二则这两个平面平行已知直线与相交定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行求证证明取的方向向量方取的法向量匸队丄讥方丄又弘方不