2017-2021年北京高考数学真题分类汇编之三角函数.pdf

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1、2017-2021年北京高考数学真题分类汇编之三角函数一.选 择 题（共 5 小题）1.（20 21 北京）函数/（x）=c o s x-c o s 2x 是（）A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为29 9C.奇函数，且最大值为一 D.偶函数，且最大值为一8 82.（20 20 北京）20 20 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（nDay）.历史上，求圆周率n的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正6 边形的周长和外切正6 边 形（各边均与圆相切的正6 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 n 的近似值

2、.按照阿尔卡西的方法,7 T 的近似值的表达式是（）30 30A.3n（s i n-+t a n-）n n,6 0 6 0、C.3n （s i n-+t a n-）n n3.（20 19 北京）设函数/（x）=c o s x+加i n x的（）A.充分而不必要条件C.充分必要条件4.（20 18 北京）在平面直角坐标系中，记,距 离.当。、机变化时，d的最大值为（300 30、B.6n（s i n-+t a n-）n n,6 0 60、D.6 （s i n-+t a n-）n n（b为常数），则“6=0 是 V（x）为偶函数”B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件,为点 P（C OS 0

3、,s i n 0）到直线 x-my-2=0 的A.1 B.2 C.3 D.45.（20 18 北京）在平面直角坐标系中，为 g,C D，玄是圆，+=1 上的四段弧（如图），点 P其中一段上，角 a以 O x 为始边，O P为 终 边.若 t a n a V c o s a s i n a,则 P所在的圆弧是（）C.KF D.二.填 空 题(共 6 小题)式7 C6.(20 21北京)若点 A (c o s 0,s i n 0)关于 y 轴的对称点为 B (c o s (0+),s i n (0+),66则。的一个取值为.7.(20 20 北京)若函数fix)s i n(x+p )+c o s

4、x的最大值为2,则常数c p 的一个取值为.8.(20 19 北京)函数/(x)=s i n2(2r)的最小正周期是./3c9.(20 18 北京)若 A B C 的面积为？一 (a2+c2-b2),且NC为钝角，则NB=；4a的 取 值 范 围 是.10.(20 17 北京)在平面直角坐标系x O y 中，角 a与角0均以Q x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若 s i n a=,则 c o s (a -p)=.311.(20 17 北京)在平面直角坐标系x O y 中，角 a与角0均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若 s i n a=-,则 sin(?=.3三.解 答 题(

5、共 8 小题)2式12.(20 21北京)在 A B C 中，c=2bcosB,Z C=-.3(I )求 N8；(I I)再在条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使 A B C 存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长.条件c=，匕；条件AABC的周长为4+2 口；条件AABC的 面 积 为 刍 邑.4注：如果选择的条件不符合要求，第(H)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.13.(2020北京)在AABC中，a+b=,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(I)。的值；(I I)sinC 和ABC 的面积.条件：c=7,cosA=-7；条件：co

6、sA=，cosB=-.8 16注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.114.(2019北京)在ABC 中，a=3,b-c=2,cosB=-.2(I)求b,C的值；(II)求 sin(S-C)的值.115.(2019北京)在ABC 中，”=3,b-c=2,c o s -.2(I)求b,C的值；(I I)求 sin(B+C)的值.16.(2018北京)在ABC 中，a=l,b=8,cosB-7(I)求NA；(II)求AC边上的高.17.(2018北京)已知函数/(X)=sin2x+sinxcosx.(I)求/C O的最小正周期;jr 3(I I )若 f (x)在区间-，”上的最大值为

7、一，求相的最小值.3 2318.(20 17 北京)在 A B C 中，N A=6 0 ,c=a.7(1)求 s i n C 的值；(2)若 a=7,求 A B C 的面积.19.(20 17 北京)已知函数/(x)=、/gc o s (2x-)-2s i n xc o s x.3(I )求/(X)的最小正周期；7 T J T(I I)求证：当,时，f(x).4 4 22017-2021年北京高考数学真题分类汇编之三角函数参考答案与试题解析选 择 题(共 5 小题)1.(2 02 1 北京)函数，(x)=c o sx-c o s2 x 是()A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为29

8、 9C.奇函数，且最大值为一 D.偶函数，且最大值为一8 8【考点】三角函数的最值.【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算.【分析】先利用二倍角公式将函数/(x)进行化简，然后由偶函数的定义进行判断，再利用换元法，令 f=c o sx,转化为二次函数求解最值即可.【解答】解:因 为/(x)=c o sx-c o s2 x=c o sx-(2C O S2X-1)=-2 c o s2x+c o sx+1,因为/(-x)=-2 c o s2 (-x)+c o s(-x)+1 =-2C O S2X+C O S X+1 =f (J C),故函数/(x)为偶函数，令/C O S

9、 J C,则正-1,1 ,故/(f)=-2 +f+l 是开口向下的二次函数，1 1 1 1 1 Q所以当/=-=一 时，/(r)取得最大值/(一)=-2 X ()2+1=,2 X(-2)4 4 4 4 89故函数的最大值为.89综上所述，函数/G)是偶函数，有最大值一.8故选：D.【点评】本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题.2.(2 02 0北京)2 02 0年 3月 1 4 日是全球首个国际圆周率日(n D a y).历史上，求圆周率n的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当

10、正整数充分大时，计算单位圆的内接正6 边形的周长和外切正6 边形(各边均与圆相切的正6/z 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 n的近似值.按照阿尔卡西的方法,n的近似值的表达式是（）/30A.3 n(si n-n.+3nB.6,30 3 0、(si n-+ta n-)n n+ta n.6 0)nD.6+ta nC,3 (si n nJn6 0、n【考点】三角形中的几何计算.【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算.【分析】设内接正6 边形的边长为“，外切正6 边形的边长为6,运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值.【解答】解：如图，设内接正6 边形的边长为m 外

11、切正6 边形的边长为。,可得gs m竺=2，1 伫1 2 n n360 30b=2 ta n-=2 ta n-1 2 n n则 2 巾/*+6 n b=6 (sm 生+ta n 也),2n口n30 3 0、即 I T7 3 (si n-+ta n-),n n【点评】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题.3.（2 01 9北京）设函数f（x）=c o sx+te i n x（b为常数）,则 =0 是uf（x）为偶函数”的（）A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；函数奇偶

12、性的性质与判断.【专题】计算题；函数思想；定义法；简易逻辑；数学运算.【分析】*=0 =/(x)为偶函数，“/(X)为偶函数“n=0 ，由此能求出结果.【解答】解：设函数/G)=c o sx+b si n x 为 常 数)，则“6=0=7 (x)为偶函数”，7 (x)为偶函数=0”,函数/(x)=cosx+bsinx(6 为常数)，则“6=0”是“/(x)为偶函数”的充分必要条件.故选：C.【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.4.(2 01 8北京)在平面直角坐标系中，记”为 点 P(c o s9,si n G)到直线x-m y-2=

13、0 的距 离.当 仇 机变化时，d的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4【考点】点到直线的距离公式.【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆.【分析】由题意d=m sin。2|=E s i n(0-a)一红,当2si n (0-a)=-1 时，“冰=1+W3.由此能求出d的最大值.J m2+1 _r.|c osQ msin 0-2|J m-|-ls in(0 a)2|【解答】解：由题意J=-=-:_ -J r+m2/当 si n (0-a)=-1 时，2dmax 1-W 3.d 的最大值为3.故选：C.【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等

14、基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.5.（2018北京）在平面直角坐标系中，4 5.C D，市，不百是圆7+y 2=l上的四段弧（如图），点 P 其中一段上，角 a 以 Ox为始边，O P为 终 边.若 tana cosa sina,则 P所在的圆弧是（）A.市 B.C D C.D.G H【考点】三角函数线.【专题】整体思想；定义法；三角函数的求值.【分析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可.【解答】解：A.在 4 8 段，正弦线小于余弦线，即 cosasina不成立，故 A 不满足条件.B.在 C。段正切线最大，则 cosa sina tana,故 8 不满足条

15、件.C.在 E F段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足 tanacosasina,D.在 G”段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足 cosasinatana 不满足 tanacosasina.故选：C.【点评】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键.填 空 题(共6小题)兀7 C6.(2 02 1 北京)若点 A(c o s0,si n O)关于 y 轴的对称点为 B(c o s(G+)，si n (6+),6 65 7 T则9的一个取值为_一(答 案 不 唯 一).12【考点】诱导公式.【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；逻辑推理.

16、【分析】利用点关于)，轴对称，可知横坐标相反，纵坐标相等，利用诱导公式分析求解,写出一个符合题意的角即可.兀 兀【解答】解：因为尸(c o sQ,si n 0)与。(c o s(0+)，si n (0+)关于y轴对称，6 6故其横坐标相反，纵坐标相等，兀 兀即 si n。=si n (0+)且 c o s8=-c o s(0+)，6 6由诱导公式 si n a=si n (I T-a),c o sa=-c o s(T C-a),所以 e+二=i r-e,解得 e=57二r,6 125 jr则符合题意的0值可以为.125 7 T故答案为：一(答 案 不 唯 一).12【点评】本题考查了三角函数的

17、化简，三角函数诱导公式的应用，点关于线的对称性问题，属于基础题.7.(2 02 0北京)若函数/(x)=si n (x+(p)+c o sx的最大值为2,则常数年的一个取值为2 一【考点】三角函数的最值.【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理.【分析】由两角和差公式，及辅助角公式化简得/(x)=yc 0 S2(p+(l+s in(p)2sin(J C+0),其 中 C OS0C O S05/cos*p+(l+s in(j)si n 0,1+s in(p三,结合题意可得/J co s-(p +(l+s in(p)cosq)+(l+sin2 27 T：.f(x)的周期 T=,2故答案为

18、：2【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题.9.（2 0 1 8 北京）若 A B C 的 面 积 为/（/+0 2-序），且/C为钝角，则/8=_ 工 _；4 3 a的取值范围是（2,+8）.【考点】余弦定理.【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形.【分析】利用余弦定理，转化求解即可./3【解答】解：ZS A B C 的面积为（J+c 2-*）,4可得：v 3（a2+c2-b2）=-c s i n B,=4 2 cosB可得：t a n B=q,兀所以B=,N C为钝角，A C （0,）,36tanA=1cot A-j+8)ta nA vc sinC

19、sin(AH-B)1 1 1=-=-=cos8+-sinB=-1-6a sin A sin A ta nA 2 2 ta nA故答案为：；（2,+8）.3【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力.10.（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角 a 与角0 均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称，若 sina=,贝！J cos（a-P）=-_.3 9-【考点】两角和与差的三角函数.【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值.【分析】方法一：根据教的对称得到sina=sin0=-,cosa=-c o s 0,以及两角差的余3弦公式即可求出方法二：分 a 在第一象限，或

20、第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：.角a 与角。均以Qx为始边，它们的终边关于），轴对称，C 1；.sina=sinB=，cosa=-cos0,3cos(a-|3)=cosacosp+sinasinp=-cos+sin2a=2sin2a-1 =-1=-9 9方法二：V sina=3当 a 在第一象限时，cosa=.,3a,0 角的终边关于y 轴对称,1 22P 在第二象限时，sinp=sina=,cosp=-c o sa=-3 3272 2J2 1 1/.cos(a-P)=cosacosp+sinasinp=-X-+X=733 3 391：sin

21、a=,3当 a 在第二象限时，co sa=-义 23；a,0 角的终边关于y 轴对称,1 2J2.0 在第一象限时，sin0=sina=,co s0=-co sa=-3 3、2/2 27T 1cos(a-p)=cosacosp+sinasinp-X-+1X=3,33 397综上所述cos(a-p)=9方法三：a,0 角的终边关于），轴对称,A a+P=ir+2/rn:,k6Z,cos(a-p)=cos(a-(Tr+2/nr-a)=cos(2a-TT)=-cos2a=2sin2a-1=2X(-)39ry故答案为：9【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基

22、础题11.（2017北京）在平面直角坐标系X。），中，角 a 与角0 均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称，若 sina=-,则 sin 0=_ _.3-3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值.【分析】推导出a+0=n+2 A n,依Z,从而s i n 0=s i n （n+2 E-a）=s i n a,由此能求出结果.【解答】解：在平面直角坐标系x O y 中，角 a与角0均 以 O x 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，:.a+0=i r+2 匕 i,kWZ,1V s i n a=,3/.s i n p =s i n （TT+2 AT

23、I-a）=s i n a=.3故答案为：_1.3【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题.三.解 答 题（共 8 小题）2 T Z1 2.（2 0 2 1 北京）在 A B C 中，c=2bcosB,N C=-.3（I ）求N B；（I I）再在条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使 A B C 存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长.条件c=2。；条件 A B C 的周长为4+2/；条件AABC的面积为4注：如果选择的条件不符合要求，第（H）问得0分；如果选择

24、多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【考点】正弦定理；余弦定理.【专题】方程思想；分析法；解三角形；数学运算.【分析】（I ）根据已知条件，运用正弦定理，即可求解，（H）选不满足正弦定理，ABC不存在，选周长为4+2/,结合已知条件，运用正弦定理可求三角形各边长度,在4C D中，运用余弦定理，即可求解，选面积3 J 3为SAABC=T，通过三角形面积公式，可求得a 的值，再结合余弦定理，即可求解.4【解答】解：（I）：c=2bcosB,由正弦定理可得 sinC=2sin/?cosB,即 sinC=sin23,7 T 当C=2 B 时，B=，即C+3=TT,不符合题意，舍去,(II)选

25、c=为b,由正弦定理可得c sinCb sinB=、/,与 已 知 条 件 矛 盾，故48 C 不存在,选周长为4+2/,n b c QbCcc由正弦定理可得-=-=-=2 R即 丁=-=2 R,in A vi n R c i n C 1 1 J 3a R,b=R,ca+b-c=(2+/)R=4+2/,:.R=2,即 a=2,b=2,c=2 ,，ABC存在且唯一确定,设 BC的中点为,：.CD=,在4CO 中，运用余弦定理，A D1=A C2+CD1-2AC-CDcosZC,即 A D*=4+1-2 X 2 X 1 X(5)=7,卜。=3。边上的中线的长度3 /T选面积为SAABC=，4c 式

26、,*A=B=6 a=b,1 1 9 ABC 2 2 2 4 v 0余弦定理可得,?,2冗 c 3 .2 1AD2=AC2+CD2-2XACXCDX C0S=3 +-1-/3 X-=3 4 v 2 42=叵2【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题.13.(2020北京)在 ABC中，a+b=1 1,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(I)a 的值；(II)sinC 和ABC 的面积.条件：c=7,cosA=-；71 9条件：cosA=,cosB=-.8 16注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【考 点】正弦定

27、理.【专 题】综合题；函数思想；转化法；解三角形；数学运算.【分 析】选 择 条 件 (I)由 余 弦 定 理 求 出(a+b)(a-b)=4 9+2 6,再 结 合“+b=ll,即 可 求 出a的值，(II)由正弦定理可得sin C,再根据三角形的面积公式即可求出，选 择 条 件 (I)根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得巴=上?=一,再结b sin B 5合a+6=ll,即 可 求 出。的 值，(II)由两角和的正弦公式求出sin C,再根据三角形的面积公式即可求出.【解 答】解：选 择 条 件 (I)由余弦定理得。2=y+,2-2儿。0$4即J -2=49 7 4 bX(-A)=49+

28、267(a+b)(a-b)=49+26a+h=,Ila-116=49+26,即 lla-13A=49,联立.a+b=1111a-13b=49解得 a=8,b3,故 a=8.(II)在ABC 中，sinA0,由正弦定理可得-=-sin Asin Cc s in A/.sinC=-ar 4737X不78211r.SMBC=sin C=X8 X 3 X222选择条件(I)在ABC 中，sinA0,sinB0,C=T T-(A+B),.1 cosA ，cosi58916：.s in A=/l c o s NC1 cos-B=168由正弦定理可得-=-s in A s i n B.a s i n A 6

29、b s i n B 5/+/?=!,tz=6,b=5,故 Q=6；(I I)在A3C 中,C=it-(A+B),/.sinC=sin CA+B)=sinAcosB+cosAsinB=8 16 168 4y/7 15/74 411，S&ABC=absinC=X 6 X 5 X22【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化月化归能力，属于中档题.14.(2019北京)在ABC 中，a=3,b-c=2,cosB=-.2(I)求C的值：(II)求 sin(B-C)的值.【考点】余弦定理.【专题】计算题；解三角形.【分析】(

30、I)利 用 余 弦 定 理 可 得 层 代 入 已 知 条 件 即 可 得 到 关 于 h的方程，解方程即可；(I I )s i n (B -C)=s i n B c o s C-c o s B s i n C,根据正弦定理可求出 s i n C,然后求出 c o s C,代入即可得解.【解答】解：(I )：a=3,b-c=2,cosB=.2，由余弦定理，得序=j+d -2 a c c o s B=9+(b-2)-2 X 3 X(b-2)X(-).2:.b=7,:c=b-2=5；/3(I I )在 AB C 中，V c o s B=-,：.sinB=-,2 2由正弦定理有：一-=-,sinC

31、sinB5X四.c csinB 2 573 s m C =-=-=-，b 7 1 4：b c,：.B C,；.C 为锐角，._ 1 1 c o s C ,1 4/.s i n (B-C)=s i n B c o s C-c o s B s i n C7【点评】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题.1 5.（2 01 9北京）在 AB C 中,a=3,bc=2,cosB=-.2(I )求 b,C的值；(I I )求 s i n (B+C)的值.【考点】余弦定理.【专题】计算题；解三角形.【分析】(1)利用余弦定理可得廿=a 2+c.2-2“c c o s B,代入已知条件即可得

32、到关于b的方程，解方程即可；(2)s i n (B+C)=s i n (兀-A)=s i n A,根据正弦定理可求出s i n A.【解答】解：(1)V a=3,b-c=2,c o s B=-.2/.由余弦定理，得 从=t z2+c2-2accosB=9+(b-2)-2 X 3 X(b-2)X(-).2:.b=7,；.c=b-2=5；(2)在a A B C 中，V c o s B=-,：.sinB=,2 2由正弦定理有：-=-,sin A sinB3asinB 2 35/3s i n A=-=-=-,b 7 14、3战s i n (B+C)=s i n (兀-A)=s i r k 4=-.14

33、【点评】本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题.1 6.(2 01 8北京)在 A8C 中，a=7,b=8,cosB=-.7(I )求NA；(I I )求 A C 边上的高.【考点】正弦定理.【专题】方程思想；定义法；解三角形.【分析】(1 )由正弦定理结合大边对大角进行求解即可.(I I )利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可.【解答】解：(I )：ab,：.A s x=-+s i n 2 x/兀、1=s i n (2 x -)+,622 JCf（x）的最小正周期为7=-=n；27T 3(I I)若/Xx)在区间-一,汨上的最大值为一,3 2_57r j c可得 2

34、%-6 1 -,2m-J,6 6 67T 7T JT即有2 L 2 ，解得m 2,6 2 3则m的最小值为3【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题.31 8.（2 01 7北京）在 AB C 中，乙4=6 0,c=a.7（1）求 s i n C的值;（2）若 a=7,求 AB C的面积.【考点】正弦定理.【专题】计算题；转化思想；定义法；解三角形.【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出c o s C,再根据两角和正弦公式求出s i n B,根据面积公式计算即可.3【解答】解：（1）N A=

35、6 0,。=一，73 3 3 73由正弦定理可得s i n C=s i n A=X =-,7 7 2 1 4(2)a=7,则 c=3,C 2；q：x 0.显然x C p,则 x q.等价于x C q,则x即一定成立.2、充要条件：如果既有“p n q”，又 有“q n p”，则称条件p 是 4 成立的充要条件，或称条件 4 是p 成立的充要条件，记 作“p o g”.与q 互为充要条件.【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件,必要性理解为必要条件，学生答题时往往

36、混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.判断充要条件的方法是：若p=q为真命题且q a p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若p=q为假命题且q 0 P为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若p=q 为真命题且q=p为真命题，则命题p 是命题q的充要条件；若p n q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题q 的关系.【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小

37、题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关,所以命题的范围特别广.2.函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】如果函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有-X)=-fix),那么函数/(x)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.如果函数/(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有-X)=f(x),那么函数/G)就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.【解题方法点拨】奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f(x)=-/(-x)解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用/(x)=/(-%

38、)这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.例题：函数 y=x|x|+p x,x C R 是()A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶 D.与p有关解：由题设知/G)的定义域为R,关于原点对称.因为 f(-X)=-x|-x|-px=-x|x|-px=-f(x),所以/(x)是奇函数.故选出【命题方向】函数奇偶性的应用.本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率.3.三角函数线【知识点的认识】几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在X轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1

39、,0).如图中有向线段M P,OM,A T分别叫做角a的正弦线，余弦线和正切线.4(1.0)(M【命题方向】若 上V aA，则（）4 2A.sina cosa tanaB.cosa tana sinaC.sinatanacosaD.tanasinacosa【分 析】根据题意在坐标系画出单位圆，并 且 作 出 角a得正弦线、余弦线和正切线，再 由a的范围比较出三角函数线的大小.解：由三角函数线的定义作出下图：O P是 角a的终边，圆。是单位圆，则 A T=tanal,OMcosa,MPsina,42OMMPsinacosa,故选。.【点 评】本题考查了利用角的三角函数线比较三角函数值大小，关键是

40、正确作图，利用角的范围比较出三角函数线的大小.4.诱导公式【概 述】三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益.【公式】正弦函数：表达式 为 丫=4 2；有 sin(ir+x)=sin(-x)=-sin%；sin(IT-x)=sinx,sin(+x)=sin(-x)=2 2cosx余弦函数：表达式 为 旷=8$1;有 cos(ir+x)=cos(IT-x)=cosx,cos(-x)=cosx,cos(-x)=sinr2正切函数：表达式兀tan(-x)=-taar,tan(-x)=cotr,tan(ir+x)=tanx2余切函数

41、：表达式为=8 伏；/兀、cot(-x)=-cotx,cot(-x)=tanx,cot(n+x)=cotx.2【例题解析】例 1：tan300+tan765 的值是 1 -.石.解：原式=tan(360-60)+tan(2X360+45)=-tan60+tan45=1-R.故答案为：1 -利用360-60=300,2X360+45=765,诱导公式化简表达式，然后求出表达式的值.例 2：诱导公式tan(/in-a)=()(其中6Z)解：tan(nn-a)=tan(-a)=-tana【应用】1、公式：公式一：sin(a+2/7R)=sina,cos(a+2Air)=cos a,其中依Z.公式二：

42、sin(ir+a)-sin a,cos(ir+a)=-cos a,tan(ir+a)=tan a.公式三：sin(-a)-sin a,cos(-a)=cos_a.公式四：sin(n-a)=sin a,cos(n-a)=-cos a.公式五：sin=cos a,cos=sin a.公式六：sin=cos a,cos=-sin a2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.3、在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tana=5化成正、余弦.cosa(2)和积转换法：利 用(sin0cose)2=i 2 sin Ocos。的关系进行变形、转化.(3)巧 用 1 的变换：1

43、=sin20+cos20=cos20(l+tan20)=tan45=.4、注意：(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.5.三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性.【公式】兀兀正弦函数有 y=sin(2hr+x)=sinx,sin(+JC)=sin(-x)

44、=cosx2 2余弦函数有 y=cos(2内T+X)=COSX,COS(-x)=sirir2兀正切函数有 y=tan(E:+x)=tanx,tan(-x)=cotr,2余切函数有 y=cot(-x)=tanx,cot(Znr+x)=cotr.2【例题解析】例：sin60 cos(-45)-sin(-420)cos(-570)的值等于解：sin60=-,cos(45)=cos450,2 2/3sin(420)=sin(1 X 360 60)=sin60=-，2cos(570)=cos(1 X360 210)=cos210=co s(180+30)=cos30=2.原 式=迈 乂 比 一(一 四)

45、(一 造 尸 金.2 2 2 2 4先利用诱导公式把sin(-420)和cos(-570)转 化 成-sin60和-cos300,利用特殊角的三角函数值求得问题的答案.这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换.【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的.6.三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1.同 角 三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2a+cos2a=l.(2)商数关系：-S*n a.=tana.cosa2.诱导公式公式一:sin

46、(a+2ku)=sin a,cos(a+2n)=cosa,tan(a+2Zn)=ta n a,其中公式二:sin(n+a)=-sina,cos(ir+a)=-cosa,tan(n+a)=tan a.公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.公式四:sin(IT-a)=sin a,cos(n-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana.公式五：sin兀 兀 兀(-a)=cosa,cos(-a)=sin a,tan(-a)=cota.2 2 2公式六:sin/兀、/兀、/兀、(+a)=cosa,cos(+a)=-sina,tan(+a)=-cot

47、a.2 2 23.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)邛)：cos(a-P)=cosacosp+sinasinp；(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacosp-sinasinp；(3)邛)：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；(4)S(a-p)：s i n (a -p)=s i n a c o s p -c o s a s i n p；(5)T(a+p：t a n(6)Tt a n)=tan a+tanB1 tana ta n,tana tan(a-p)=-1+tanatanB4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)5 2 a：s i n 2 a=2 s i n a

48、 c o s a；(2)C2 a：c o s 2 a=c o s 2 a -s i n%=2 c o s 2 a -1 =1 -2 s i n2a；2tana(3)T b a：t a n 2 a=-.21 ta n-a7.两角和与差的三角函数【知识点的认识】(1)C a-p i：c o s (a -p)=c o s a c o s B+s i n a s i n 0：(2)C a+p)：c o s (a+p)=c o s a c o s B -s i n a s i n B:(3)S(a+p)：s i n (a+p)=s i n a c o s B+c o s a s i n B；(4)S ：

49、s i n (a -p)=s i n a c o s B -c o s a s i n B；ta na-|-ta np(5)T：t a n (a+p)=-.1 tana ta n tana tan(6)T：t a n (a-0)=-.1+tan atanB8.三角函数的周期性【知识点的认识】周期性一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有/(x+T)(x),那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(%)的最小正周期.函数 y=As i n(3 x

50、+c p),x R 及函数 y=Ac o s(3 x+p)；x CR (其中 A、3、0)的周期 T=-.(D【解题方法点拨】1 .一点提醒求函数y=As i n (a)x+(p)的单调区间时，应注意3的符号，只有当30时，才能把3 x+(p看作一个整体，代入)，=s i n f 的相应单调区间求解，否则将出现错误.2 .两类点y=s i n x,x 0,2 nycosx,x G O,2T T 的五点是：零点和极值点(最值点).3 .求周期的三种方法利用周期函数的定义.f(x+T)=/(x)2兀利用公式：y=As i n (w x+(p)和 y=4 c o s(3 x+1）a-c-bcosB=