因式分解例题中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、因式分解 例题讲解及练习【例题精选】：(1)5x2y 15x3y2 20 x2y3 评析：先查各项系数(其它字母暂时不看)，确定 5,15,20 的最大 公因数是 5,确定系数是 5，再查各项是否都有字母 X，各项都有时，再确定 X的最低次幕是几，至此确认提取 X，同法确定提丫，最后确 定提公因式 5乂丫。提取公因式后，再算出括号内各项。解.5x2y 15x3y2 20 x2y3=5x2 y(1 3xy-4y2)(2)-3x2y 12x2yz-9x3y2 评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最 大公因数为 3,且相同字母最低次的项是 XY 2 2 3 2 解：-3x y 1

2、2x yz-9x y 3 2 2 2=-(9x y-12x yz 3x y)=_3(3x y-4x yz x y)2=-3x y(3xy-42 1)(3)(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中，y-x和 x-y都可以做为公因式，但应避免负号过 多的情况出现，所以应提取 y-x 解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)3 4 3(4)(4)把32x y-2x分解因式 评析：这个多项式有公因式 2x3，应先提取公因式，剩余的多项式

3、 16y4-1具备平方差公式的形式 解：3 4 3 3 4 3 2 2 3 2 32x3y-2x3=2x3(16y4-1)=2x3(4y-1)(4y2 1)=2x3(2y _ 1)(2y 1)(4y2 1)7 2 8 t,(5)(5)把x y-xy分解因式 评析：首先提取公因式 xy2，剩下的多项式 x6-y6可以看作 3 2 3 2(X)-(y)用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。2 3 2 3 对于 x6-y6也可以变成(x)-(y)先运用立方差公式分解，但比较 麻烦。w 7 2 8 解：x y-xy 2 6 6 2 3、2 3、2 2 3 3 3 亠 3、=xy(x-y)=

4、xy (x)-(y)=xy(x-y)(x+y)=xy2(x-y)(x2 xy y2)(x y)(x2-xy y2)(6)把(x y)2-12(x y)z 36z2 分解因式 评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次 三项式，并且为降幕排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项 式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的 a,(6Z)换公式中的 2 2 解：(x y)-12(x y)z 36z 2 2=(x y)-2(x y)(6z)(6z)=(x+y-6z)2 1,2 小2、2 _ 2 小2、2 小4(7)(7)把 2(x

5、_ y)_(x _ y)y y 分解因式 评析：把 x2-2 y2和 y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于 x2-2y2 和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边 实际上就是一个完全平方式。(X2-2y2)2-2(X2-2y2)y2 2y4 解：2 1 2 2 2 2 2 2 2 2-(x-2y)-2(x-2y)2y+(2y)=2 1 2 2 2 2 1 2 2 2-(x-2y-2y)=-(x-4y)=1(x 2y)(x-2y)=、,2 2(8)(8)分解因式 a-b-2b-1 评析：初看，前两项可用平方差公式分

6、解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是 一个完全平方式，应采用“一、三”分组。2 2 解：a-b-2b-1=a2-(b 2-2b+1)=a2-(b+1)2=a+(b+1)a-(b+1)=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。(9)(9)把 a2-ab+ac-bc 分解因式 解法一：a2-ab+ac-bc=(a 2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a2-ab+ac-bc=(a 2

7、+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)2 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体

8、那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应(10)(10)把 2x 2 分解因式 2 解法一：2x 2xy-3x-3y=(2x 2xy)_(3x 3y)二 2x(x y)_ 3(x y)=(x y)(2x _ 3)2 解法二：2x 2xy-3x-3y是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平

9、方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应2 2=(x-1)(x-1)=(x-1)(x-1)(x 1)=(x-1)(X 1)X3-X2-X 1=X3-x(-X2 1)=X(X2-1)-(X2-1)2 2(x-1)(x-1)=(x-1)(x 1)(X-1)=(X-1)(X 1)X3-X2-X 1=(x3 1)(X2 X)=(X 1)(x2X 1

10、)x(x 1)2 2 2(x 1)(x-x 1-x)=(x 1)(x-2x 1)=(x 1)(x-1)2 2(12)分解因式(a-b)-1-2c(a-b)+c 解法二 解法三:二(a-b)2-2c(a-b)+c 2-1=(a-b)-c c-1)2 2-1=(a-b-c)-1-(a-b-c+1)(a-b-=(2x 3x)(2xy 3y)=x(2x 3)y(2x 3)=(2x 3)(x y)说明：例(2)和例(3)的解法一和解法二虽然分组不同，但却 有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。(2)题解法一 1:1,解法二也是 1：1；(3)题解法一是 1：1,解法二是 2：(-3)(11)分解

11、因式x3 x2 x1 评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组 解法一：X3-X2-X 1 3 2 2=(x-X)(-X 1)=x(X-1)-(x-1)(12)评析：本题将(a-b)看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方 式，可以“一、三”分组 解:(a-b)2-1-2c(a-b)+c(13)分解因式 8a2-5ab-42b 2、/8a-21b 解：8a2-5ab-42b2 a+2b=(8a-21b)(a+2b)-21ab+16ab=-5ab(14)(14)分解因式 a6-10a3+16 解：a6-10a3+16 a 一 3-2=(

12、a 3-2)(a 3-8)a 3-8 3 2 3 3=(a-2)(a-2)(a+2a+4)-8a-2a=-10a(15)(15)分解因式-x 2+x+30 解：-X2+X+30(先提出负号)x+5=-(x 2-x-30)x-6=-(x+5)(x-6)+5x-6x=-x 2 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再

13、运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应(16)(16)分解因式 12(x+y)-8(x+y)-7 解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y)+1是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公

14、因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应二2(x+y)+16(x+y)-7 6(x+y)-7=(2x+2y+1)(6x+6y-7)-14+6=8(17)把 x y x2 xyy2分解因式 评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后

15、组与组 之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1 3 3 提出后，实际上是X-y按立方差公式分解后的一个因式：匚 3 3 2 2 解：x-y-x-xy-y 3 3 2 2=(x-y)-(X xy y)2 2 2 2=(X-y)(x xy y)-(x xy y)2 2=(x xy y)(x-y-1)2 2 2、,(18)(18)把 x-y-z-2yz-2XT 分解因式 评析：把x2x 1看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公 式继续分解。2 2 2 解：x-y-z-2yz-2x 1 2 2 2=(x-2x 1)-(y 2

16、yz z)2 2=(x-1)-(y z)=(x-1 y z)(x _ 1 _ y _z)(19)分解因式(x x 1)(x x 2)-6 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这 两个二次三项式的前两项都是 x2 x这一显著特点，我们不妨设 x x=a 可得(a+1)(a+2)-6 即 a+3a+2-6，即 a+3a-4，此时可分 解为(a+4)(a-1)解：(X2 x 1)(x2 x 2)6=(x2 x)2 3(x2 x)2-6=(x2 x)2 3(x2 x)-4=(x2 x)4(x2 x)-1=(x2 x 4)(x2 x-1)2 2(20)把(x 2x 4)(x 2x-3)-

17、8 分解因式 解：(x2 2x 4)(x2 2x-3)-8 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是

18、关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应=(x2 2x)2-(x2-2x)-12-8=(x2 2x)2(x2 2x)-20=(x2 2x)5(x2 2x)-4 2 2=(x 2x 5)(x 2x-4)2 2(21)把(x 3x 2)(x 9x 20)72 分解因式 评析：它不同于例 3(1)的形式，但通过观察，我们可以对这 两个二次三项式先进行分解，有 2 2(x 3x 2)(x 9x 20)=(x T)(x 2)(x 4)(x 5)。它又回到例 3(1)的 形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了(x2-3x)2 2 解:(x 3x 2)

19、(x-9x 20)-72=(x 1)(x 2)(x-4)(x-5)-72=(x 1)(x-4)(x 2)(x-5)-72 2 2=(x-3x-4)(x-3x-10)-72=(x3-3x)2 _14(x2 _3x)_32=(x2-3x)-16(x2-3x)2 2 2 2=(x-3x-16)(x _3x 2)=(x _3x_16)(x_2)(x _1)2(22)把(a 1)(a 2)(a 3)(a 6)a 分解因式 评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有 1 x 6=2X 3=6 利用结合律会出现 a2+6 2 解：(a 1)(a-2)(a 3)(a 6)a=(a 1)(a 6)(a

20、 2)(a 3)=a2 2 2 2=(a 6 7a)(a 6 5a)a 2 2 2 2 2 2=(a 6)12 a(a 6)36a=(a 6 6a)(2 3)把(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 分解因式 评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到 1+7=3+5,如果利用乘法结合律，把(x+1)(x+7)和(x+3)(x+5)2 2 分别乘开就会出现(X 8x 7)(x 8x 159的形式，这就不难发现(x2+8x)作为一个整体 a 同时出现在两个因式中，即(a+7)(a+15)a 6 2 2 2=(x 8x)22(x 8x)+96 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕

21、是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应-9的形式，展开后有 a+2 2

22、 a+96,利用十字相乘a 16，得到(a+6)(a+16)而分解。解：(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9=(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)-9=(x2 8x 7)(x2 8x 15)-9 以下同于例 3 2 2 2=(x 8x)22(x 8x)105-9 2 2=(x 8x)16)(x 8x)6 2 2=(x2 8x 16)(x2 8x 6)(24)把 x(x+1)(x+2)(x+3)-24 分解因式 评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现(X2+3X),第二和第三个一次式相乘出现(X2+3X)。可以设 x2+3x=a,会有 a(a+2)-24，此时已易于分解 解：

23、x(x+1)(x+2)(x+3)-24=x(x+3)(x+1)(x+2)-24 2 2=(x 3x)(x 3x 2)-24 2 2=(x 3x)(x 3x)2-24 2 2 2=(x 3x)2(x 3x)-24 2 2=(x 3x 6)(x 3x-4)2 2 2(25)把(x 3x 1)-2(x 3x)-10 分解因式 2 2 评析：不要急于展开(x 3x 1)，通过观察前两项，发现它们有 公共的X2+3X,此时把它看成一个整体将使运算简化。解：(X2 3x 1)-2(x2 3x)-10 2 2 2 2=(x 3x)2(x 3x)1-2(x 3x)-10 2 2 2 2=(x 3x)-9=(x

24、 3x 3)(x 3x-3)2(26)把分解因式(a b-c-d)4(a b)(c d)评析：我们可以观察到+前后的两项都有(a+b)和(c+d)。据 此可把它们看作为一个整体。解.(a b-c-d)2 4(a b)(c d)=(a b)-(c d)2 4(a b)(c d)=(a b)2-2(a b)(c d)(c d)2 4(a b)(cd)是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形

25、式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应=(a b)2 2(a b)(c d)(c d)2=(a b)(c d)(a b c d)2 2 3(27)把1 a a(a 1)a(a 1)-a(a 1)分解因式 评析：把(1+a)看成一个整体，第一项 1 与第二项 a 也合成 一个整体(1+

26、a)2 3 解：1a a(a 1)a(a 1)a(a 1)=(1 a)1 a a(1 a)a(1 a)=(1 a)(1 a)1 a a(1 a)4=(1 a)(1 a)(1 a)(1 a)=(1 a)2 2(28)把 2x xy6y 2x 114 分解因式 评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到 2 2 2x xy _6y=(2x-3y)(x 2y)2 2 此时可设(2x-3y m)(x 2y n)=2x xy 6y 2x 11y 一4 再用待定系数法求出m 和 n 2 2 解：设 2x xy-6y 2x 11y-4 2 2 _(2x-3y+m)(x+2y+n)=2x+xy_6y+(

27、m+2n)x+(-3n+2m)y+mn 比较两边对应系数得到 m+2n=2 -3n+2m=11 mn=-4 由和 得到 m=4 n=-1 代入也成立 2 2 2x xy-6y 2x 11y-4=(2x-3y+4)(x+2y-1)2 2(29)把x 2沁-小-410y 3分解因式 2 2 解:x 2xy8y4x-10y 3=(x 4y)(x _2y)_4x-10y 3=(x+4y+m)(x-2y+n)2 2=x 2xy8y(m n)x(4n-2m)y mn r 有 m+n=-4 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评

28、析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应4nk2m=-10 mn=3 由和 得到 m=-3,n=-1 代入也成立 2 2.x 2xy-8y-4x-10y

29、 3=(x+4y-3)(x-2y-1)3 3(30)当 x+y=2 时，求 x 6xy y 的值 3 3 评析：T x+y=2 这是唯一的条件。.要从x+6xy+y中找到 x+y 或有关(x+y)的表达式 匚 3丄丄 3 2 丄 2 解：X 6xy y 二(x+y)(x-xy y)+6xy/x+y=2.原式=2x2-2xy 2y2 6xy=2x2 4xy 2y2 二 2(x2 2xy y2)=2(x y)2=2 2=8 x 1 x3 丄(31)己知 x=2 求 x3的值是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式

30、的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应1 X+x=2 原式=2(2)2-3=2 1 2 2 2(x y-ax ay(32)己知 x-y=2，求 a 1(x y

31、-ax ay-2xy-6a)解：a A(x=a(x=a(x=a 2-2xy y2)_(ax-ay)-6a2 _y)2 _a(x _y)-6a2-y _3a)(x _ y 2a)2 2xy6a)的值-3a(x-y)+2a 3 1 1 2 1 1 1 2 解：x 7=(x x)(x-H(x x)(x-)-3.x-y=a 1 1 2 2(-2a)(3a)-6a)=6 丿原=a a 初中因式分解的常用方法(例题详解)一、提公因式法.如多项式 am bm cm=m(a b e),其中 m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.二、运用公式法.运用公式法，即用 2 2 a

32、-b(a b)(a-b),a2 _2ab b2=(a _b)2,a3 zb3=(a 二 b)(a2 _ab b2)写出结果.三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：am+a n+bm+b n 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局 部”看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am a n)(bm bn)=a(m n)b(m n)*每组之间还有公因式！=(m n)(a b)思考：此题还可以怎样分组？)是否都有字母各项都有时再确定的最

33、低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应此类型分组的关键：分组后，

34、每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式 可以提。是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式

35、就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x _5y)(2a _b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2axbx)(10ay 5by)=x(2a _b)_5y(2a _b)=(2a _b)(x _5y)练习：分解因式 1、a2_ab ac_bc 2、xyX-y 1(3)x2 6xy 9y2-16a2 8a _1(5)a4-2a3 a2-9 2 2(7)x-2xy-xz yz y(9)y(y-2)-(m-1)(m 1)2 2(4

36、)a-6ab 12b 9b-4a (6)4a x-4a y-b x b y 例 2、分解因式：2ax _10ay-5by _bx (二)分组后能直接运用公式 2 2 例 3、分解因式：x-y ax ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能 继续分解，所以只能另外分组。2 9 解：原式=(x-y)(ax ay)=(x y)(x-y)a(x y)=(x y)(x-y a)2 2 2 例 4、分解因式：a-2ab-b-c 2 2 2 解：原式=(a-2ab b)-c=(ab)_c=(abc)(ab c)注意这两个例题的区别！练习：分解因式 3、x2-x-

37、9y2-3y 4、x2-y2-z2-2yz 综合练习：(1)x3 x2y-xy2-y3(2)ax2-bx2 bx-ax a-b (11)a2(b c)b2(a c)c2(a b)2abc(12)a3 b3 c3-3abc 四、十字相乘法.(一)二次项系数为 1 的二次三项式 2 直接利用公式-x(p q)x p(x p)(x q)进行分解。是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把

38、分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应2(2)3x-7x 2 2(4)-6y 11y 10 2 2 例 10、x y-3xy 2 特点：(1)二次项系数是 1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)次项系数是常数项的两因数的和。2 例 5、分解因式：x+5x+6 分析：将 6 分成两个数相乘，

39、且这两个数的和要等于 5。由于 6=2X 3=(-2)X(-3)=1 X 6=(-1)X(-6)，从中可以发现只有 2X 3 的分解适合，即 2+3=5。1 2.解：x2 5x 6=x2(2 3)x 2 3 1 _ _ 3=(x 2)(x 3)1 X 2+1 X 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一 次项的系数。例 6、分解因式：x2 7x 6 解：原式=x2(-1)(-6)x(-1)(-6)1.-1=(x _1)(x-6)1-6(-1)+(-6)=-7 练习 5、分解因式(1)x2 14 x 24(2)a2-15a 36(3)x2 4x-5

40、 练习 6、分解因式(1)x2 x-2 y2-2y-15 x2-10 x-24 2(二)二次项系数不为 1 的二次三项式-ax bx c 条件：(1)(2)(3)分解结果：a aa2 a c=sc?a C2 b=a a2G b=ac a2G ax bx c=(a1x c1)(a2x c2)例 7、分析：分解因式：3x2-11x 10 1-2 3-5(-6)+(-5)=-11 解：3x2-11x 10=(x-2)(3x-5)练习 7、分解因式：(1)5x2 7x-6 2(3)10 x-17x 3(三)二次项系数为 1 的齐次多项式 例&分解因式：a2 8ab 128b2 分析：将b看成常数，把原

41、多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1=8b 1-16b 8b+(-16b)=-8b 2 2 2 解：a2-8ab-128b2=a2 8b(-16b)a 8b(-16b)=(a 8b)(a-16b)练习&分解因式(1)x2-3xy 2y2(2)m2-6mn 8n2(3)a2-ab-6b2(四)二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、2x2 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具

42、备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应_7xy+6y2 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先

43、提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应综合练习 10、(1)8x6 _7x3-1(3)(x y)*2-3(x y)-10 2 2(2)12x-11xy-15y 2(4)(a b)-4a-4b 3(5)x2y2-5x2y-6x2 2 2(6)m-

44、4mn 4n-3m 6n 2(7)2 2 2 2 2 2 x 4xy 4y-2x_4y_3(8)5(a b)23(a-b)-10(a-b)(9)2 2 2 2 2 2 4x 4xy 6x 3y y-10(10)12(x y)11(x-y)2(x-y)思考：五、主元法.例 11、分解因式：x23xy10y2 分解因式：abcx2(a2b2 c2)x abc 5”.-2 2-1(-5)+(-4)=-9 1.-(5y-2)血 1(2y-1)-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)2-_(x-1)5-(x+2)5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)(2)x2 xy_2y2 _x 7y_6 a2

45、2 a1 f2 a2 f D 1-_-2y 把xy看作一个整体 1-_-1 2 x-3v 1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3 解:原式=(x _2y)(2x-3y)解：原式=(xy _1)(xy-2)练习 9、分解因式：(1)15x2 7xy _4y2(2)a2x2 _6ax-8 C2/r 心 aQ2：2&=B,ci f2 C2 fi=E,ai 2 2 则 Ax Bxy Cy Dx Ey F=(a/yy fj(a2x c2 f2)例 12、分解因式(1)x2 _3xy-10y2 x 92 2 2(2)x xy-6y x 13y-6 解：(1)x2 _3xy _10y2

46、 x 9y_2 应用双十字相乘法：x-5y 2 x 一 1 2xy-5xy-3xy,5y 4y=9y,-x 2x=x 原式=(x-5y 2)(x 2y 1)2 2(2)x xy-6y x 13y-6-1+2=1 是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比

47、较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应应用双十字相乘法:K汽 3-2 3xy _ 2xy 二 xy，4 y 9 y=13y，-2x 3x=x 原式=(x_2y 3)(x 3y _2)练习 12、分解因式(1)X2 xy 2y2x 7y6 2 2 2(2)6x-7xy-3y-xz 7yz-2z 七、换元法。例 13、分解因式(1)2005x2-(20052-1)x-2005(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6)

48、x2 解：(1)设 2005=a，则原式=ax2-(a2-1)x-a=(ax 1)(x-a)=(2005x 1)(x-2005)(2)型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x2 7x 6)(x2 5x 6)x2 设 x2 5x 6=A，则 x2 7x 6 二 A 2x 原式=(A 2x)A x2=A2 2 Ax x2=(A x)2=(x2 6x 6)2 练习 13、分解因式(1)(x2 xy y2)2-4xy(x2 y2)(2)(x2 3x 2)(4x2 8x 3)90(3)(a2 1)2(a2 5)2-4(a2 3)2 例 14、分解因式（1）2x4x3 6

49、x2x 2 观察：此多项式的特点一一是关于 x的降幕排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴 对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。是否都有字母各项都有时再确定的最低次幕是几至此确认提取同法确定提丫最后确定提公因式乂丫提取公因式后再算出括号内各项解评析多项式的第一项系数为负数应先提出负号各项系数的最大公因数为且相同字母最低次的项是解公因式应先提取公因式剩余的多项式具备平方差公式的形式解把分解因式评析首先提取公因式剩下的多项式可以看作用平方差公式分解最后再运用立方和立方差公式分解对于也可以变成先运用立方差公式分解但比较麻烦解亠把分解项式切不可用乘法公式展开后再分解而要注意观察分析善于把代换

50、完全平方公式中的换公式中的解小分解因式把评析把和看作两个整体那么这个多项式就是关于和的二次三项式但首末两项不是有理数范围内的完全平方项不能直接应解法 2添项。3 2 原式=x-3x-4x 4X 4 2=X(X _3x _ 4)(4X 4)=X(X 1)(x _4)4(X 1)2=(X 1)(X-4X 4)2=(X 1)(x-2)方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=X2(2X2-x-6-1)=x22(x2 丄)_(x 丄)_6丨 XX X X 1 1 设 x =t，则 x2 2=t2-2 X X 原式=X2 2(t2 _2)_t _6 1=X2 2t2 _t-10