2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期末数学试卷.pdf

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1、2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期末数学试卷一、选 择 题（每小题5 分，共 60分）1.（5 分）一 平 面 截 一 球 得 到 直 径 是 的 圆 面，球心到这个平面的距离是4a”，则该球的体 积 是（）A 100 兀 3 R 208 兀 3 r 500 兀 3 N 416A回 兀 3a o cm z cm z cm-三 cm0 0 O O2.（5 分）设有两条直线?，和三个平面a,0,丫，给出下面四个命题：。0 0=机，n/P；a_L0,m=4,则=（）a15A.3 B.A34.（5 分）在ABC 中，A=60,人 等 B多5.（5 分）如图是一个正方体的表面

2、展开图,是（）C.3 或D.-3 或3 3则_ab+c._ 的 值 为（）sinA+sinB+sinC则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的6.（5 分）如图正方体ABC。-AiBiCi。中,C.高D.考M 是正方形ABCO的中心，则直线4。与直线 BiM所成角大小为（）A.30 B.4 5 C.60 D.9 0 7.（5分）在A A B C中，A,B,C所对的边分别为a,h,c,的5 2 c上 且，则 A B C的2 2a形 状 是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形8.（5分）在正方体ABC-4BICIOI中，与棱A 4 1异面的棱有（）A.8条 B.6条

3、 C.4条 D.2条9.（5 分）直三棱柱 A B C-A i B i C i 中，AB=AC=AA,ZBAC=6 0,则 A C i 与面 B C C i B i成角的正弦值为（）A.区 B.返 C.逅 D.返4 4 3 31 0.（5分）表面积为32 4 7 T的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是1 4（）A.5 67 B.5 7 6 C.2 4 0 D.4 9 i r1 1.（5分）等比数列 即 中，句=2,4=2,数列b =-7-2-的前项和为n（a1tH-1）（an-DT,则7 1 0的 值 为（）A 2046 B 4094 c 1022 D _510 2047-409

4、5-1023 5U1 2.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，面积最大的面的面积为（)D.41 3.（5分）如图，正 方 形0/5。的 边 长 为1 c，它是水平放置的一个平面图形的直观1 4.（5分）已知圆锥的表面积为anr,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半 径 为&,nbspm.1 5.（5分）/4 8（7中，/4 =1 35 ,A C=V,且A 8 C 的面积为加.1 6.（5分）在正方体A B C O-A i B C i Q中，点P是侧面8 1 c l e8内（不包含边界）的一个动点，且A P L Q i B,点，在 棱。上运动，则二

5、面 角”-A C-P的余弦值的取值范围三、解 答 题（17题 10分，其余每小题10分，共 70分）1 7.（1 0分）如图，在直四棱柱A 8 C -4 8 1。中，底面A B C O为菱形，E为。0中点.（1）求证：8。|平面4 C E；（2）求证：BD L AC.51 8.(1 2分)如 图，已知在四棱锥P-A B C。中，底面A B C D是正方形，E为P C的中点,M为A B的中点(1)求证：平面N M E平面B 4 O：(2)求异面直线ME与南所成角.1 9.(1 2分)已知数列 斯 的前项和为8,且m=3,2%+3=加1.(1)证明数列 而 为等比数列；(2)设益=l o g 3如

6、，求 数 列 的前项和方.2 0.(1 2分)如 图，边长为2的正方形A C O E所在平面与平面A B C垂直，A D与C E的交点为 M,且 A C=B C,(1)求证：平面E 8 C；(2)求直线E C与平面A 8 E所成线面角的正切值.2 1.（1 2 分）在A B C 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,喘=Q+b,s i n A-s i n C），向量n=（c,s i n A-s i n B）,且力(1)求角B的大小;(2)设8 c的中点为。，且A =F，求a+2 c的最大值.2 2.(1 2分)如 图，在三棱锥A-8 a)中，平面A B。_ L平面B C D,。为B O的中

7、点.(1)证明：OALCD-,(2)若 O C D是边长为1的等边三角形，点E在棱A D上，O E=2 E 4,求三棱锥A -B C D的体积.2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（每小题5分，共60分）1.（5分）一平面截一球得到直径是6c 5的圆面，球心到这个平面的距离是4 c m,则该球的体 积 是（）A 100K 3 R 208 兀 3 r 500 打 3 n 4 1 6V 3K 3人-c m D-c m c m 口-三-c mO O O o【解答】解：一平面截一球得到直径是6。的圆面，就是小圆的直径为6,又球心到这个

8、平面的距离是5cm,所以球的半径是：5 C 7 所以球的体积是：IJ T X 53=50兀 c m35 7故选：C.2.（5分）设有两条直线?，和三个平面a,p,丫，给出下面四个命题：a n p=/M,n/P：a _ L B，今,”a；a 0；a _ L B，a _ L y=0 Y其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解：对于，若 u a或 u 0,故错误；对于，设a C p=a,则 _ L 0,又加_ L 0,所以?，故正确；对于，：a 例.%与。没有公共点，故正确；对于，若 则 平 面B与平面丫可能平行，故错误.故选：B.3.（5分）若 斯 为等比数列,。5*。11

9、=3,“3+03=4,则 _ 旦=（）a15A.3 B.A C.3 或4 D.-3或-工3 3 3【解答】解：”“为等比数列。5。11=3,13-3 a3+a3-4 -, ,由得。3=3,413=5 或。3=1，413=4 =或7,3q名-=或3,a15 5故选：C.4.（5 分）在a A B C 中，A =60 ,6=1、回，则1 _a+b+c_ _ _的 值 为（）s i n A+s i n B+s i n C【解答】解：*.*SABC=-fecs i n A=yf22 2 5A c=4根据余弦定理有：a=b1+c1-7/?cco s A=l+16-2 X 2 X

10、 4 X A=1 35所以，ci713根据正弦定理f=b =，则：s i n A s i n B s i n C_ _ _ _ _ a+b+c_ _ _ _ _ _ a _ 2 39s i n A+s i n B+s i n C s i n A 3故 选:A.5.（5 分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）【解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体.故选：c.6.（5分）如图正方体ABC。-A iB iC iA中，M是正方形ABC。的中心，则直线4。与直线81M所成角大小为（）C.60D.90【解答】解：如图，将4。平移到B iC,连接MC7c是

11、直线4。与直线B iM所成角设棱长为 5,则 BIC=2、/7，MC=,BIM=MCOSNMBIC=四,27.：.ZM BC=30,形 状 是（)C所对的边分别为a,b,c,c o s 2 c上 也，则ABC的C 0 S 2 2aA.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解答】解：.co s2 c _ a+b=l+cos+,2 6a2 可 得 a+=a+co s C,可得：co s C=,a5 2 2,由余弦定理可得：co s C=+b -整理可得：2=必+/,4a b a.A 8C为直角三角形.故选：A.8.（5分）在正方体A BC-A i 8Ci i中，与棱A 41异面

12、的棱有（）A.8条【解答】解:D.2条正方体 A BCD-AiBiCsDi 中,与棱A4异面的棱有：BC,CD,CiD,B1C5.故选：C.9.（5 分）直三棱柱 A BC-481 Ci 中，A B=A C=A 4i,ZBA C=60,则 A Ci 与面 BCC1B1成角的正弦值为（）A.逅 B.返4 4。乎。亨【解答】解：直三棱柱A BC-A 1B1C3中，：.B B L A D,又：A B=A C；：.ADBC,B C C B B 2=B；.A C_ L平面 BCC1B1；连接 C7。，由（1）A O J_平面 8CG 81；则A A C i D即为直线ACi与面BCCiBi所成角；设A

13、B=A C=A A =,在直角A C5。中，4。=返7=圾，s i n ZA Ci D=-_=2ZE；2A C8 4即直线AC8与面B C B C 1所成角的正弦值为通.4故选：A.10.（5 分）表面积为3247r的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14（）A.567 B.576 C.240 D.49n【解答】解：设球的半径为r,则 4m2=324TT,解得r=4,设正四棱柱的底面边长为，则 正 四 棱 柱 的 体 对 角 线 为 序 次，解得4=2,，正四棱柱的表面积为S=2X 86+4X8X 14=576,故 选:B.11.（5 分）等比数列 ”中，ai=2,q=2,数列b

14、=-；-三-J 的 前”项和为n （an-l）T”，则 710的 值 为（）B 4094 c 1022 口4095 1023 亩由 题 意,可 知 如=22-3=2,6N*,A.2047【解答】解:n （at t l.1-3）（an-l）2n（4n+1-l）（4n-l）=1.17n-l 泗-1.*710=85+62+60=_1 _-_3 _+_J _-J+.+2.J41-1 22-6 24-l 23-l 210-l 211-13121-6 2U-6=20462047,故 选:A.12.（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，面积最大的面的面积为（）D.4【解

15、答】解：由三视图可得在长方体中，多面体为三棱锥，A C=2,则可得 B C=2娓,AB=2y/7,SAXBC=SC A C=2V.2=2SABCD=DB CD=1 4 7=4SAACD=ACCD=y-4 2 =1,SAIBD=/BD AD=+4 2泥=4 近，由以上可得，三角形A BZ）的面积最大，故选：B.二、填 空 题（每小题5 分，共 20分）13.（5 分）如图，正 方 形 0 4 5。的 边 长 为 la”，它是水平放置的一个平面图形的直观图2A/2-.【解答】解：由于原几何图形的面积：直观图的面积=2&：8又 二 正方形O ABC的边长为：S04ABC5 i原图形的面积S=2A/7

16、故答案为：2&14.（5分）已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 J a m.【解答】解：设圆锥的底面半径为r,母线为/,即/=2r,S我 面 积=冗/+冗”=7U，2=。,3号故答案为：15.（5 分）ABC 中，ZBAC=135,AC=V3（且4的。的 面 积 为 /打 尊 _.【解答】解：AABC 中，NBAC=135,ACf/,可得名48乂。$皿/&4。=工 返=加，2 3 7解得A B=4f设A B边上的图为h,则2 X 4/?=7 7，2可 得 人=逅，2故答案为：YG.216.（5分）在正方体ABC。-481cl。中，点P是侧面8

17、1cle8内（不包含边界）的一个动点，且APLQiB,点 在棱上运动，则二面 角”-A C-P的余弦值的取值范围是 昱,3-3c,连接AC ABi，BC,BD,DjDYAC,又 D D i C B D=D,D D B,得 A CJ_ B）6，同理可证 A Bi _ L BDi，而 AB 5 c Ae=A,_ L 平面 A BC,:点 P 是侧面为C 1 C B 内（不包含边界）的一个动点，且 A PL O 1B,；.产在线段88c上（不含端点），则 平 面%C 与平面Bi A C重合，点”在棱上运动，设 A C C B D=0 3。，H O,由4CJ_ 平面可得Bi O J_ A C,H 0J

18、_ A C3为二面角H-AC-P 的平面角.当“与 1 重合时，/。历最小，此时8 5/。1。8|=8 5 3/0 8 1 8=2 8$5/。8|8-1,设正方体的棱长为 4,则 COSNIOBI=7COS2/O BIB-6=2 X（/产 _=_|；当“与。重合时，此时/O O B i 最大，cos/O O B8=-cos/8O 8i=&=八 巨.M 3二二面角H-AC-P的余弦值的取值范围是-返，.1 .3 2故答案为：-返，Z.3 3三、解 答 题（17题 10分，其余每小题10分，共 70分）1 7.（1 0分）如图，在直四棱柱A 8 C D-A 1 8 1 C 1 Q 中，底面A 8C

19、。为菱形，E 为 D D i 中点、.（1）求证：BD i 平面A C E；（2）求证：BDilAC.5【解答】证明：(1)设 AC与 8。交于点。，接 0E,底面A B C D是菱形，.0为。B 中点，又因为E 是。的中点，：.O E/DBB,OEu面 AEC,8。5c平面 AEC平面 ACE.(2).底面ABCD是菱形,：.AC-L BD,底面 A8CD,.DD4 L AC,S.D B Q D D i=D,平面 BDBiDe.,BQ u 平面 BDBiDg,：.ACV BD.18.(12分)如 图，已知在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是正方形，E 为 PC的中点,M 为 A 8 的中点

20、(1)求证：平面N M E 平面P AD-,(2)求异面直线ME与以所成角.p【解答】解：（1）证明：连 A C 交 B D 于 N,则 N为 AC的中点,因为E为尸C的中点，所以NE为 的 中 位 线，又因为N E u 面E B D且 弘0 面E B D,所以 雨面EBD,因为B4 u 平 面%）,N E C 平面雨 ,又 由 为 AB 的中点，可得N M/A。，因为4 u 平面以。，M N C 平面以。，又因为 MM N E u 平面NM E,所以平面N E M/平面P AD,（2）取 PD的中点G,连 AG,可得EG/CD,且E G 卷 C D，由 A M/C O,且 A M=C D，所

21、以 A M/E G 且 A M=E G,所以四边形AMEG为平行四边形，所以A G M E,则/B I G 为异面直线雨与ME所成的角，又由以。为等边三角形，所以NPAG4/PAD=30 01 9.（1 2 分）已知数列 斯 的前“项和为S”且 a i=3,2 s +3=4+1.（1）证明数列 斯 为等比数列；（2）设bn=log3a,i,求 数 列 -）的前项和Tn.nn4-l【解答】（1）证明：由i=3,4 S+3=a+i，得 6 s 72-1+3=。（2 2）,两式相减可得2斯=八+1 -(2 5),得斯+1=3 (2 3),又2=2 7+3=9,满足4 7=3 0,所以 念 是首项为4

22、,公比为3 的等比数列.(2)由知 an=3L.%=1。86211=1。83311=以令.=则 小MnMn4-l1 1 4 1bQ d 7 n(n+l)n n+1所以 刀尸C7+C2+Cn=1 -+A-_1+旦-=_U2 2 3n n+1 n+1 n+120.(1 2 分)如 图，边长为2 的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，4。与 C E的交点为 M,且 AC=BC,(1)求证：AMJ_平面EBC；(2)求直线EC 与平面ABE所成线面角的正切值.【解答】(1)证明：.ACOE是正方形，.,正方形ACCE所在平面与平面ABC垂直，ACLBC,平面 ACDE,：AMu平面 ACOE,：.

23、AMBC,:E C C B C=C,平面 EBC.(2)解：由题意，以 CA为 x 轴，CO为 z 轴，建立空间直角坐标系，.边长为2 的正方形A C D E所在平面与平面A B C垂直,AO与 CE的交点为例，AC1BC,：.A(2,7,0),2,5),E(2,0,8),0,0),A B=(-2,2,0),AE.3,2),设平面ABE的法向量三=(x,二百=-2 x+5 y=0,取e,得i i,8),n*A E=2 z=2C E=(2,0,6),设直线E C与平面ABE所成线面角为。,s i n 0=|cos|=|晟 曷,.*.0=30 ,；.t a n e=返.3直线E C与平面ABE所成

24、线面角的正切值为返.72 1.(1 2 分)在 回1中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c=Q+b,s i n A-s i n C 向量n=(c,s i n A-s i n B),且力(1)求角B的大小；(2)设B C的中点为O,且求a+2 c的最大值.【解答】解：(1)因为昌力 7，所 以(a+b)(s i n A -s i n B)-c(s i n A -s i n C)=0.由正弦定理可得(+)(a -b)-c(a-c)=0,即-臣=讹.Q 2 2由余弦定理可知c0s B=a+c=a c8a c 2 a c 5TT因为 3E (0,n)D 3(2)设N BA =。，则在BA。中，由

25、B=8 (0,得-)由正弦定理及ADR i有综-=聋-s i n B.,2兀 a、.兀s i n k -y)s i r r y所以BD=4 s i n B,A B=2 s i n C -0)=cos 8+s i n 8，5所以a YBD E s i n B,c=A B=s/3cos 0+s i n 8,兀从而a+2 c=3j cos 0+6 s i n 0=5 /3s i n（8由8 c（7,可），可知（三，笠），3 4 6 6所以当8 二工，即8 工 时，”+2。取得最大值6 2 32 2.（1 2分）如图，在三棱锥4-8 8 中，平面A 8O _ L平面8C ,。为8 0的中点.（1）证明

26、：OAJ_C。；（2）若0C 是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，D E=2 E A,求三棱锥A-B C D的体积.【解答】解：（1）证明：因为A B=A。，。为8。的中点,又平面A BD _ L平面B C D,平面A 8O C平面BCD=BD,所以A 0J _平面B C D,又C O u平面BCD,所以 A 01.C Z)；（2）方法一:取0。的中点凡 因为0C。为正三角形,过。作O M H C F与B C交于点M,则所 以。例，0D,以点0为坐标原点，分别以0M,04为x轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,则 8（0,-1,C（返，,0），。（。，8，2 8设A （0,0,t）,贝帕（

27、2,3 3因为0 4,平面B C D,故平面BCD的一个法向量为丞=(0,7,t设平面BCE的法向量为】=6,y,z)，又 玩=(率f0),B E=(8,亲-y-)所以由,n BC =0得n BE =2令 =,则 y=-6,z=-,故-3,)因为二面角E-B C-。的大小为45,所以|cos hI n *Q A|n|O A|V 72解得/=1，所以0 A=6,又SOCDX/X i x亨(，所以SBCD岑 故 VA-BCD，SABCD0 A=f*喙 X 1=冬方法二:过 E 作 E/_LB),交 8。于点F,连结EG,由题意可知，EF/AO所以EF_L平面B C Q,又 BCu平面BCQ,所以 EF_LBC,又 B C L F G所以8CJ_平面E F G,又 EFu平面EFG,所以BCLEG,则NEGF为二面角E-B C-。的平面角，即NEGF=45,又 C D=D O=O B=O C=,所以/B O C=120,则NOC8=/OBC=30,故/BC)=90,所以FGCD,因 为 班 上 旦 上，AD OD A0 3则 AO与F,O F=4，DF=4-6 3 3所 以 黑 嗡 则所以 E尸=GF=2,则8 2所以 VA-BCD 卷 SABCD，A 0=f XI