直线 和平面垂直判定全课件.ppt

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1、2.3.1直线与平面垂直的直线与平面垂直的 判定判定回顾知识：回顾知识：空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？（1）直线在平面内，）直线在平面内，（2）直线与平面平行，）直线与平面平行，（3）直线与平面相交）直线与平面相交知识探究（一）：知识探究（一）：直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念(垂直垂直)大漠孤烟直大漠孤烟直ABABABABABABABABCC1B1AB内过点内过点B的直线的直线AB所在直线所在直线内不过点内不过点B的直线的直线AB所在直线所在直线内内任意一条任意一条直线直线AB所在直线所在直线一、直线和平面垂直的定义一、直线和平面垂直的定

2、义如果直线如果直线l与平面与平面a a内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们就说我们就说直线直线l与平面与平面a a垂直垂直，其中直线叫做，其中直线叫做平平面的垂线面的垂线，平面叫做，平面叫做直线的垂面直线的垂面.交点叫做交点叫做垂足垂足.A A平面的垂线平面的垂线直线的垂面直线的垂面垂足垂足 LP直线和平面垂直的画法直线和平面垂直的画法:通常把直线画成和表示平面的平通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。行四边形的一边垂直。探索新知：探索新知：做一做一做做想一想一想想ABCD1.1.折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？2.2.如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕

3、ADAD与桌面所在的平面垂直？与桌面所在的平面垂直？请同学们拿出一块三角形纸片，请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的我们一起做一个试验：过三角形的顶点顶点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BDBD、DCDC与桌面接触）与桌面接触）当且仅当折痕当且仅当折痕 AD 是是 BC 边上的高时，边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面所在直线与桌面所在平面 垂直垂直2.2.如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕ADAD与桌面所在的平面垂直？与桌面所在的平面垂直？探索新知：探索新知：探索新知：探索新知：由刚

4、才分析可以知道，直线与平面垂直的由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？判定需要哪几个条件？你能根据刚才的分析归纳出你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂直线与平面垂直判定定理直判定定理吗吗 (1)(1)平面有两条直线平面有两条直线 (2)(2)这两条直线要相交这两条直线要相交(3)(3)平面外的直线要与这两条直线都垂直平面外的直线要与这两条直线都垂直二、二、直线与平面垂直的判定定理：直线与平面垂直的判定定理：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直mnP 一条直线与一个平面内的两条一条直线与一个平面内的两条相交相交直线直线都都垂直垂直，则该直线与此平面垂直。，则该直线与此平面垂直。一

5、相交两垂直一相交两垂直判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直过一点有且只有一条直线和一个平面垂直()(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直()PP例例1.1.在下图的长方体中，请列举与平面在下图的长方体中，请列举与平面ABCDABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？关系？例例2、在正方体、在正方体AC1中，求证：中，求证：(2)D1B平面平面ACB1(1)AC平面平面D1DBC1BD1ACA1DB1C1BD1ACA1DB1例例2、在正方体、在正方体AC1中，

6、求证：中，求证：(2)D1B平面平面ACB1由异成直线所成的角知由异成直线所成的角知D1B平面平面ACB1例例2.2.如图，已知如图，已知abab、aa.求证：求证：bb.例题示范例题示范,巩固新知巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，由直线与平面垂直的定义可知，直线直线a a与这两条相交直线是垂直的，与这两条相交直线是垂直的，又由又由b b平行平行a a，可证，可证b b与这两条相交与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。面垂直。ab例例2.2.如图，已知如图，已知abab、aa.求证：求证：bb.

7、（线面垂直 线线垂直）（线线垂直 线面垂直）我们知道我们知道,当直线和平面垂直时当直线和平面垂直时,该直线叫做平面该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它是不是也该给它取个名字呢取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢关系呢?如图如图,点点Q是是是点是点P到平面的垂线段到平面的垂线段pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做过一点向平面引垂线，垂足叫做这这点在这个平面上的射影；点在这个平面上的射影；这点与垂足间的线段叫做这点与垂足间的线段叫做这点到这这点到这个平面的垂线段个平面的垂线段。一一.斜线在平面内的射影斜线在

8、平面内的射影.垂线、斜线、射影垂线、斜线、射影()垂线垂线点点P在平面在平面 内的射影内的射影线段线段PQ（2 2）斜线）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的的斜线斜线斜线和平面的交点斜线和平面的交点叫做叫做斜足斜足。从平面外一点向平从平面外一点向平面引斜线，这点与斜面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点足间的线段叫做这点到这个平面的到这个平面的斜线段斜线段PR如图：是斜线如图：是斜线AC在内的射影，线段在内的射影，线段BC是是ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线

9、，过垂足和斜足的直线叫做垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在斜线在这个平面上的射影这个平面上的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的面的斜线段在这个平面上的射影斜线段在这个平面上的射影()射影射影直线直线BC斜线段斜线段AC在内的射影在内的射影ACBFE说明：说明：斜线上斜线上任意一点在平面任意一点在平面上的射影，一定上的射影，一定在斜线的射影上。在斜线的射影上。思考：思考：斜线上的一个点在平面上的射斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢影会在哪呢？思考思考：从平面外一点从平面外一点向这个平面引的垂线段向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间和斜线段，

10、它们的射影和线段本身之间有什么关系？有什么关系？从平面外一点从平面外一点向这个平面所引的垂线向这个平面所引的垂线段和斜线段段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那中，那一条最短？一条最短？ACBDE 垂线段比任何垂线段比任何一条斜线段都短一条斜线段都短外外中中垂垂巩固练习：巩固练习：中中外外垂垂重心重心:三条中线的交点三条中线的交点垂心垂心:三条高的交点三条高的交点外心外心:三条垂直平分线的交点三条垂直平分线的交点(到到三个顶点的距离相等三个顶点的距离相等)内心内心:三角平分线的交点三角平分线的交点中心中心:正正的重心、垂心、内心、外心重合的点的重心、垂心、内心、外心重合的点已知三棱锥已知三棱锥

11、P-ABCP-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PCPA=PB=PC试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条的三条侧棱侧棱PA,PB,PCPA,PB,PC两两垂直两两垂直,试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的射影的位置？的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的垂心垂心DO已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的的顶点顶点P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三条边的距离相等的三条边的距离相等,试判断点试判断点P

12、 P在在底面底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的内心内心OEF典型：典型：四面体四面体P-ABC的顶点的顶点P在平面上的射影为在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等到三顶点距离相等(3)P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等(2)侧棱两两垂直侧棱两两垂直PABCO外外垂垂内内 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 如图，直四棱柱如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱（侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时，满足什么条件时，？(只能添加一个合适的条

13、件只能添加一个合适的条件)解解:底面底面ABCD可以是菱形可以是菱形,正方形正方形,或者是对角线相互或者是对角线相互垂直的任意四边形垂直的任意四边形比比谁最棒!A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例1 1、如图，正方体、如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角。所成的角。（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。O例题示范例题示范,巩固新知巩固新知分析分析:找出

14、直线找出直线A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD内的射内的射影影,就可以求出就可以求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的所成的角。角。阅读教科书阅读教科书P67上的解答过程上的解答过程对棱两两垂直对棱两两垂直OPABC例：例：四面体四面体P-ABC中，中，若三棱锥有两组对边互相垂直，则若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直另一组对边必然垂直O O是垂心是垂心垂垂 O是是 ABC的的心心例例3、三棱锥、三棱锥V-ABC中，中，VA=VC,AB=

15、BC,K是是AC的中点。的中点。（1）求证：）求证：AC 平面平面VKB（2）求证：求证：VB ACABCVK(1)(1)连接连接VK,KBVK,KB，由，由VA=VC,KVA=VC,K为为ACAC中中点，由三线合一可知点，由三线合一可知VK VK AC,AC,同理可得同理可得KB ACKB AC，且，且VKKB=KVKKB=K 所以所以AC AC 平面平面VKB VKB (判定定理判定定理)(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，AC AC 平面平面VKBVKB又因为又因为VB VB 平面平面VKBVKB 所以所以VB VB AC (定义定义)变式：变式：1、在例、在例3中若中若E、F分别为

16、分别为AB、BC 的中的中点，试判断点，试判断EF与平面与平面VKB的位置关系的位置关系 AVBCE EF FK例例3、三棱锥、三棱锥V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K是是AC的中点。的中点。（1）求证：）求证：AC 平面平面VKB（2）求证：求证：VB AC2、在、在1的条件下，有人说的条件下，有人说“VBAC，VBEF，VB平面平面ABC”，对吗？，对吗？BCDAFE 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么如果两条直线同时垂直于一个平面，那么 这两条直线平行。这两条直线平行。3.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 例例 2 2、如如 图图，已已 知知 AC、AB分分

17、别别 是是 平平 面面 的的 垂垂 线线 和和 斜斜 线，线，C、B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，a ，aBC。求证：求证：aABA Aa aC CB B线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直三垂线定理三垂线定理:在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直射影垂直,那么它就和这条斜线垂直那么它就和这条斜线垂直.A Aa aC CB B变变:如图，已知如图，已知AC、AB分别是平面分别是平面的垂线和斜线的垂线和斜线,C、B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，a ，。aAB三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平

18、面的一条如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.求证求证:aBC练习练习3.3.如果两直线垂直于同一个平面如果两直线垂直于同一个平面,那么这那么这两条直线平行两条直线平行练习练习2.2.过一点只有一个平面和一条直线垂直过一点只有一个平面和一条直线垂直练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直结论1.结论2.结论3.常用结论发散常用结论发散结论结论1：过一点有且只有一个平过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。面和已知直线垂直。结论结论2：如果两条平行直线中的如果两条平行直线中的一条垂直于一个

19、平面，那么另一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。一条直线也垂直于这个平面。结论结论3：如果两条直线同垂直于如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定 例例例例 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。已知：，。求证：。证明：方法1设是 内 的任意一条直线。小试牛刀小试牛刀线面垂直的性质定理：线面垂直的性质定理：符号语言：符号语言：图形语言：图形语言：垂直于同一平面的两直线互相平行垂直于同一平面的两直线互相平行.ab 例例2.2.如图，已知如图，已知abab、aa.求证

20、：求证：bb.（线面垂直 线线垂直）（线线垂直 线面垂直）例例2 2、如图，已知、如图，已知abab，aa。求证：求证：bb。例题示范例题示范,巩固新知巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，由直线与平面垂直的定义可知，直线直线a a与这两条相交直线是垂直的，与这两条相交直线是垂直的，又由又由b b平行平行a a，可证，可证b b与这两条相交与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。面垂直。ab阅读阅读P66P66页的证明过程页的证明过程.、判断下列命题的正误。、判断下列命题的正误。（2 2）垂直垂直于同

21、一于同一直线直线的两条直线互相平行（的两条直线互相平行（）（3 3）平行平行于同一于同一平面平面的两条直线互相平行（的两条直线互相平行（）（4 4）垂直垂直于同一于同一平面平面的两条直线互相平行（的两条直线互相平行（）（1 1）平行平行于同一于同一直线直线的两条直线互相平行（的两条直线互相平行（）五、过程设计五、过程设计(三三)线面垂直性质定理的应用线面垂直性质定理的应用(1)若若PA=PB=PC，则，则O是是ABC的的 .PABC O外心外心例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题 设设O为三棱锥为三棱锥PABC的顶点的顶点P在底面上的射影在底面上的射影.综合练习：综合练习：(2

22、)若若PA=PB=PC,C=900,则则O是是AB的的_点点.中中PABC O例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题综合练习：综合练习：垂心垂心EFPABC O (3)若三条側棱两两互相垂直若三条側棱两两互相垂直,则则O是是ABC的的 .例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题综合练习：综合练习：EFPABC O (5)若三条側棱与底面成相等的角，则若三条側棱与底面成相等的角，则O是是ABC的的_.外心外心例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题综合练习：综合练习：例例1、已知直角、已知直角ABC所在平面外有一点所在平面外有一点P，且，且PA=PB=PC，

23、D是斜边是斜边AB的中点，的中点，求证：求证：PD 平面平面ABC.ABCPD 证明：证明：PA=PB，D为为AB中点中点 PD AB，连接，连接CD，D为为Rt ABC斜边的中点斜边的中点 CD=AD,又又PAPC,PD=PD PADPCD 而而PD AB PD CD,CDAB=D PD 平面平面ABC例例2、如图、如图 平面平面、相交于相交于PQ，线段线段OA、OB分别垂直平面分别垂直平面、，求证：求证：PQ ABPQOAB证明：证明：OA PQ OA PQ OB,PQ OB PQ 又又OAOB=0 PQ 平面平面OAB 而而AB平面平面OAB PQ ABSABCHSABCH1.如图,已知

24、点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC平面BDMMABCDOABCD证明：E 2.在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线求证：对角线AC BD。CEAEEBD,连接的中点取ACBDACEAC,平面Q=ACEBDECEAE,平面又QBDCEDCBC=,QBDAEADAB=,QPABCO3.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 在圆周上在圆周上,且且PA AC,PA AB,求证：（求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC典例 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，

25、PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，因为O是ABC的外心，所以ODAB，OEBC，又因为PDDOD，OEPEE，所以AB平面PDO，BC平面PEO，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，从而推得PO平面ABC.中中外外垂垂重心重心:三条中线的交点三条中线的交点垂心垂心:三条高的交点三条高的交点外心外心:三条垂直平分线的交点三条垂直平分线的交点(到到三个顶点的距离相等三个顶点的距离相等)内心内心:三角平分线的交点三角平分线的交点中心中心:正正的重

26、心、垂心、内心、外心重合的点的重心、垂心、内心、外心重合的点巩固练习巩固练习VABC直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质 解题分析解题分析:解题小结解题小结:例例1 1 如图如图,在在RtABCRtABC中中,已知已知C=90C=90,AC=BC=1,PA AC=BC=1,PA面面ABC,ABC,且且PA=,PA=,求求(1)PB(1)PB与面与面ABCABC所成的角所成的角 (2)PB(2)PB与面与面PACPAC所成的角所成的角.B BC CA AP P巩固练习巩固练习1.1.平行四边形平行四边形ABCDABCD所在平面所

27、在平面 外有一点外有一点P P，且，且PAPA=PBPB=PCPC=PDPD，求证：点，求证：点P P与平行四边形对角线交与平行四边形对角线交点点O O的连线的连线POPO垂直于垂直于ABAB、AD.AD.CABDOP2023/8/26例例2：如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体中的正方体中 (1)求求B1D 与平面与平面ABCD所成的角的正切；所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求求A1C1 与平面与平面ABC1D1所成的角；所成的角；(3)求求BB1 与平面与平面A1BC1所成的角的正切所成的角的正切MH2023/8/26例例5：ABC的定点在平面的定点在平面内，点内，点A、

28、C在平面在平面 的同侧，的同侧，AB、BC与与所成角分别是所成角分别是300和和 450若若AB3，BC42，AC5，求，求AC 与平面与平面所成的角所成的角 ABCA1C1E2023/8/26例例6：如图，如图，P是正方形是正方形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点，PA平面平面ABCD，AE PD，PA3AB求求 直线直线AC与平面与平面ABE所成角的正弦值所成角的正弦值 PABCDE 【5】如图如图,AB为平面为平面的一条斜线的一条斜线,B为斜为斜足足,AO平面平面,垂足为垂足为O,直线直线BC在平面在平面内内,已已知知ABC=60,OBC=45,则斜线则斜线AB和平面和平面所成的角是

29、所成的角是_.ACODB45设设OB=2,引课引课我们知道我们知道,当直线和平面垂直时当直线和平面垂直时,该直线叫做平面该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它是不是也该给它取个名字呢取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢关系呢?如图如图,若一条直线若一条直线PAPA和一个和一个平面平面相交相交,但不垂直但不垂直,那么那么这条直线就叫做这个平面的这条直线就叫做这个平面的斜线斜线,斜线和平面的交点斜线和平面的交点A A叫叫做斜足。做斜足。PA斜足斜足斜线斜线A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A

30、 AB BC CD D例例1 1、如图，正方体、如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角。所成的角。（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。O例题示范例题示范,巩固新知巩固新知分析分析:找出直线找出直线A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD内的射内的射影影,就可以求出就可以求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1

31、 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的所成的角。角。阅读教科书阅读教科书P67上的解答过程上的解答过程AGFEDCBHHC与平面与平面ABCD 所成的角是？所成的角是？BG和和EA与平面与平面ABCD所成的角所成的角 分别是？分别是？GBC与与EABHCDEC和和EG与平面与平面ABCD所成的角分别是？所成的角分别是？ACE练习练习:正方体正方体ABCDEFGH中中2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1

32、D1C1B1ADCB巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBO线段线段B1O巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBE线段线段B1E巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体

33、ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB线段线段C1D巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1

34、中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90o巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB45o巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCBE30o巩固练习巩固练习线线垂直线线垂直相交垂直（共面垂直）相交垂直（共面垂直）异面垂直异面垂直