塑性力学复习纲要高等教育历史学_高等教育-大学课件.pdf

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1、 复习纲要 第一章 绪论 1弹性与弹性变形 物体受到不大的外力作用后产生的变形，在外力除去后可以全部恢复，物体仍保持原有的形 状和尺寸。这种性质称为 材料的弹性，这种可以全部恢复的变形叫 弹性变形。这时称物体处于 弹 性状态。2塑性与塑性变形 当外力超过一定限度后，在物体某些部分，任意点上的应变将不随应力的消失而恢复。这种 变形不可恢复的性质称为 塑性，不随应力消失而恢复的那部分变形称为 塑性变形。3弹性区与塑性区 在加载过程中，物体的一部分产生塑性变形时，称该部分已进入 塑性状态，同时将该部分称 为物体的 塑性区，未进入塑性状态的区域则为 弹性区。4塑性变形的特点 （1）塑性应变和应力之间

2、不再有一一对应的关系。塑性变形 不仅与当前的应力状态有关，还与加载的历史有关。（2）应力与应变（或应变率）之间呈非线性关系。5塑性力学研究的主要容 （1）建立在 塑性状态下应力与应变（或应变率）之间的关系。（2）研究物体受外力作用进入塑性状态后产生的应力和变形，包括研究 在加载过程中的每一时刻，物体各点的应力和变形。以及确定弹性区与塑性区的 界限。（3）有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去 求物体达到极限状态 （塑性变形无限制发展，物体已达到它对外力的最大承载能力）时的荷载，即 极限荷载。这种研 究方法通常称为 极限分析。6塑性力学的基本假设 1、材料的塑性行为与 时间、温

3、度无关（在我们所研究的围，通常不考虑时间因素对变形的影 1 响（如弹性后效、蠕变等），而且只限于考虑在常温下和缓慢变形的情形，所以也 忽略温度和应变速度对材料性质 的影响。）2、材料具有 无限的韧性 3、材料是 均匀的、连续的，并在初始屈服前为 各向同性，且拉伸和压缩的应力-应变曲线一 致；4、任何状态下的 总应变可以分解为弹性和塑性两部分，且材料的弹性性质不因塑性变形而改 变；5、对应于塑性变形部分的体积变化为零，静水压力不产生塑性变形。7简单拉伸与压缩试验 （1）拉伸试验 由拉伸应力应变曲线可知：图 1.1 图 1.2 拉伸开始阶段 和 成正比，变形全是弹性的。P 点的纵坐标 P 称为比例

4、极限。应力超过 P 后，与 不再成正比，但变形仍是弹性的。Q 点的纵坐标 e 称为弹性极限。应力超过 e 后，在 SA 段应力不再增加，而应变继续增长，这种现象称为 屈服现象。对应 于 R 点的应力称为上屈服极限，对应于 SA 的应力称为下屈服极限。一般把下屈服极限称为屈服 极限，以 s 表示。对于没有明显的屈服阶段，常规定以产生某一指定的残余应变（例如 0.2 时的应力作为屈服极限。记为 0.2。常常认为（P=e=s），在 s 阶段，服从虎克定律 =E 。这里 E 是弹性模量，它也 是 曲线初始直线段的斜率。2 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物

5、体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 A 点以后 如欲继续产生变形，则需继续加载，关系如曲线 ABF，这一阶段

6、称为 强化阶 d 段。在这一阶段中，任一点上曲线的斜率 E1 d 称为强化模量，一般 E1 E。在进入塑性阶段（即应力 s）以后，设从任一点 B 处开始卸载，则 曲线为通过 B 点 且与初始直线段 OP 平行的直线 BCD，当全部应力卸完时即达到横坐标轴上的 D 点，原来在 B 点时整个应变 为 OH，卸载后 DH 段消失，故 DH 段即为相应于 B 点的弹性应变 e，而残余应变 OD 段，即为相应于 B 点的塑性应变 p。故有=e+p。同时可以看出，卸载至任意点 C 时，卸 掉的应力 与恢复的应变 之间也应当服从虎克定律，即 E （见图 1.1）由图 1.1 也可以 看出 BD 线上的 C

7、点与 OP 线上的 C 点具有同样的纵坐标，也就是说受有同样大小的应力，而 其横坐标，也就是产生的应变却完全不同。这也 说明在塑性力学中应力和应变没有一一对应的关 系。所产生的应变，不仅和所受的应力有关，而且和加载历史有关。设从 D 点再重新加载。曲线几乎完全沿原来的卸载直线 DCB 上升，直至非常接近 B 点 处才略有弯曲最后到达 BF 段上的一点 S，（非常接近 B 点，也可以近似地认为与 B 点重合）。这 样可以看到，经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了（图中 S 点或 B 点高于 S 点），屈服极限提高了（可以认为 S点或 B 点的纵坐标为重新加载时的屈服极限）。这种现

8、象称为强化现象，相当于 S点或 B 点的应力称为后继屈服极限。自 S 点以后再继续加载时将仍沿原来未经卸载的 曲线 SF 前进。图 1.1 中 曲线至 F 点后开始下降，这意味着应力降低而应变仍可继续增长，直至 C 点 试件破坏。实际上这是由于在 F 点处试件已开始 出现颈缩现象，试件截面积 A 与原始截面积 A 0 相差甚大，仍以 A 0 除 P 得到的已不是试件的真实应力。以瞬时截面积 A 去除 P 才可较真实地反 映试件中的应力，这时 P 称为真应力。图 1.1 中的虚线 FG 即表示在这一阶段真应力与应变 A 之间的关系。（2）压缩试验 Buschinger 效应 试验表明，对大多数金

9、属在小变形阶段，压缩 曲线与拉伸 曲线基本一致。可认为两 者的弹性模量，屈服极限是相同的，如图（a）所示。3 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定

10、弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 （a）（b）具有强化性质的材料 在正向加载并且在塑性发展到一定的程度之后卸载，然后再反向加载。如果材料是单晶体，反向屈服应力比正向初始屈服应力大，即正向强化时反向也得到强化；如果材料 是非单晶体，反向屈服应力比正向初始屈服应力小，这种现象称为 Bauschinger 效应。（如图（b）所示）（3）静水压力试验 （a）静水压力与材料 体积改变近似地服从 线弹性规律。对于一般应力状态下的金属材 料，当发生较大的塑性变形时，可以忽略弹性的体积改变，而认为材料在塑性状态时体积是 不可压

11、缩的;（b）材料的塑性变形与静水压力无关。即对一般金属，体积应变完全是线性弹性的，并且静水压力不产生塑性变形，它对屈服极限的影响完全可以忽略不计。8应力-应变曲线的理想化模型 4 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产

12、生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 （1）理想塑性材料 理想弹塑性模型 对有相当长屈服阶段的材料可以假设这段水平线一直延伸直至破坏，而忽略后面的强化，这种模型叫做理想弹塑性模型。如图（a）所示。这种模型的材料应力应变关系为 （a）E 当 s sgn 当 （b）s s 式中 sgn 为符号函数 1 当，sgn =1 当。0 理想刚塑性模型。如果所研究的问题具有较大的塑性变形，因而弹性变形可以忽略时，可以假设无弹性变形，只有塑性变形。这种模型叫做理

13、想刚塑性模型。如图（b）所示。这种模型的材料的应力应变关系 为 5 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过

14、加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 s sgn （2）强化材料 对没有明显屈服阶段的材料，不能将进入塑性状态以后的应力应变关系用一条水平线来描述，根据曲线的形状可以采用以下几种模型：（a）（b）（c）线性强化弹塑性模型 图（a）所示为线性强化弹塑性模型，它的应力应变关系为：E 当 s E1(s)sgn 当 s s 线性强化刚塑性模型 如果可以 忽略弹性变形，即成为图（b）所示的线性强化刚塑性模型，其应力应变关系为：s E1(s)sgn 幂强化模型 曲线如图（c）所示，其应力应变关系为：B n sgn 其中 0n 1，当 n=1 时，成为直线方程 B，服从

15、虎克定律（此时=）。B E 当 n=0 时，成为B sgn，成为理想刚塑性模型（此时 B=s）。9强化模型 10.工程应变与工程应力 习题：1.名词解释：6 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究

16、在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 塑性变形：韧性与脆性：应变强化：等向强化：随动强化：包辛格效应 2.Bridgeman 静水压试验有什么结论 3.写出工程应变和自然应变的关系，并分别用工程应变和自然应变表示体积不可压缩条件.（提示:体积单 元 x y z）7 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称

17、该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 第三章 应力状态和应变状态 1应力量及其分解 图 2.1 图 2.2 取直角坐标系 x，y，z，则物体任意点处的应力状态可以表示为：x xy xz 11 12 13 yx y yz 或 ij =21

18、 22 23 zx zy z 31 32 33 由剪应力互等定理知 xy yx,zx xz,zy yz。2主应力及主平面及其求法 物体每一点都存在三个互相正交的平面，在其上只有正应力而没有剪应力，称为 主平面，其 上的正应力称为 主应力。设通过一点的某截面的 法线 n 的方向余弦为 lx，ly，lz，或者简记为 li（i=1，2，3）。则有 斜截面上的正应力：n=i j=xl 2 yl 2 z l 2 2 xyl 1l 22 yzl 2l3 2 zxl3 l1 ij l l 1 2 3 斜截面上的剪应力：2 p 2 2 2 2 2 2 n n px py pz n 其中 p 是斜截面上的总应力

19、。主应力方程：3 2 J2 J3=0 J1 其中，8 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力

20、与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 J1 x y z 2 2 2 J2(x y z x)y z xy yz zx J3 x xy xz 2 xy 2 2 2 yx y yz x y z yz zxz yz y zx z xy zx zy z J1，J2，J3 与坐标轴的选择无关。分别称为 应力量的第一、第二、第三不变量 。当 x，y，z 轴和三个主轴方向一致时：J1 1 2 3 J2(1 2 2 3 3 1)J3 1 2 3 由主应力方程可以求出三个主应力。以求得的任一个 主应力 j（j=1，2，3）代入 ijlilj=0 都可以得到关于 J1，J2，J3 的三个方程

21、，其中只有两个是独立的，与 l12 l 22 l32 l i l i=1 联立可解出主应力 j（j=1，2，3）所在的主平面方位。3平均应力、应力球量及应力偏量 1 1 1 m 3 J1 3 1 2 3 3 x yz 叫做平均应力。在各方向同时作用有大小为 m 的应力时，相当于静水压力（或反向的静水压力），它不产生 塑性变形，所以从应力量中将各向相同的 m 分离出来，对于研究塑性变形更为方便，即 x xy xz m 0 0 x m xy xz yx y yz 0 m 0 yx y m yz*zx zy z 0 0 m zx zy z m 如果令 m 0 0 sx sxy sxz x m xy

22、xz m ij=0 m 0，sij syx sy syz yx y m yz 0 0 m szx szy sz zx zy zm 则*式可写为：ij m ij sij 9 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力

23、和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 1,当 i j ij 当 i j 0 m ij 称为应力球量，不引起塑性变形；sij 称为应力偏量，简称应力偏量，引起塑性变形。应力偏量的第一、第二、第三不变量 分别为：J1 sx sy sz x y z 3 m 0 J2(sxsy sy sz szsx)2 2 2 xy yz zx 1(y)2(y z)2(x)2 6(2 2 2 x z xy yz zx)J 6 s 2 s 2 s 2 3 s s s 2 xy y

24、z zx x y z z yz y zx z xy 当 x，y，z 轴方向和主轴重合时：J1 0 J2 1(1 2)2(2 3)2(3 1)2 J3 6 s1s2s3 还可写为：1 2 2 2 2 2 2 1 1 J2 2 sx sy sz 2(xy yz zx)2 sij sji 2 sij sij J 1 s3 s3 s3 6 3 2(s s)3 2(s s)3 2(s s)1 s s s 3 3 x y z xy yz zx xy x y yz y z zx z x 3 ij jk kj 4几种特定截面上的应力 图 2.3 图 2.4 在图 2.4 中，主平面用表示，表示与三个主轴成相等

25、倾斜角的斜截面，称为八面体面（或 等倾面）。其方向余弦为：10 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载

26、过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 l 1 1 3 l 1 2 3 l 1 3 3 八面体面上的正应力：8 1(1 2 3)m 3 八面体面上的剪应力：1(2)2 (2 3)2 (3 1)2 2J 2 8 1 =3 3 等效应力（或应力强度）i 3 8 3J 2 1(1 2)2(2 3)2(3 2)2 2 2 1(xy)2(y z)2(x)2 6(2 2 2 2 z xy yz zx)也就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为 i 的单向应力状态来 代替。等效剪应力（或剪应力强度）T 3 8 1(12)2(23)2(3 2)2 2 6 也

27、就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为 T 的纯剪切应力状态 来代替。图 2 4 中斜面上的剪应力：2 3 1 2 1 3 2 2 1 2 3 2 它们分别是平行于某一主应力轴的所有截面中剪应力最大的截面。如果 ，则 1 2 3 1 3 max 2 5三维应力圆 表示应力状态特征的参数 2 11 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹

28、性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 在图 2.5 中的 轴上取 OP 1、OP 2、OP 3 之长分别等于三个主应力 1、2、3，以 P2 P3，P1P3 ，P1 P2 为直径作三个圆，命名为圆 A，圆 B 及圆 C，则圆 A 即代表平行于 1 的所有截面上的正应力 和剪应力，圆 B 和 C 分别代表平行于

29、 2 和平行于 3 所有截面上的正应力和剪应力。阴影区则表示 不与任何主应力平行的斜截面上的正应力和剪应力。在 轴上取 OM=m，并将 轴移至过 M 点处，则在以 M 为原点的、轴上，此三维应力 圆即为应力偏量的应力圆。此时有 图 2.5 MP1=1 m s1 MP2=2 m s2 MP3=3 m s3 三维应力圆以及应力偏量是由 P1、P2，P3 三点的相对位置来确定的。表示应力状态的 Lode 参数：O1 P2 OP2 OO1 2 1(13)2 2(1 3)1 2 O1 P1 OP1 3)1 3 (1 2 （1）单向拉伸：1 0,2 3 0，有：=1。（2）纯剪切：2 0,1 3，有：=0

30、。（3）单向压缩：1 2 0,3 0，有=1 6应变量及其分解、应变不变量 在小变形情况下，应变分量与位移分量的关系为：持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和

31、变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 12 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物

32、体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 x u,x y v,y z w,z 因为xyyx,yzzy,zx 一个对称的应变量：x ij yx zx u v xy yx y x v w yz zy z y w u zx xz x z xz，所以，决定应变状态的独立应变分量有六个。它们形成 xy xz x 1 xy 1 xz 2 2 y yz 1 yx y 1 yz 2 2 1 zx 1 zy z zy z 2 2 如果用 u 1、u 2、u 3 表示位移分量 u、v、w，则应变分量的各个分量与各位

33、移分量的关系可 以用量形式表示：ij 1(ui,j u j,i)2 下标中的“，”表示求导。与应力量类似，可以把 应变量分解为球量及偏量，即 x 1 xy 1 2 2 1 yx y 1 2 2 1 zx 1 zy 2 2 xz m 0 0 x m 1 xy 1 xz 2 2 yz 0 m 0 1 yx y m 1 yz*2 2 z 0 0 1 zx 1 zy z m m 2 2 如果令 ex exy exz x m 1 xy 2 eij eyx ey eyz 1 yx y m 2 ezx ezy ez 1 1 2 zx 2 zy z 则*式可写为：1 2 1 2 xz yz m 13 持原有的

34、形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体

35、ij m ij eij 在变形过程中，如体积不变，则 m=0，应变偏量与应变量相等：ij eij 分别以 I1，I2，I3 表示应变偏量的第一、第二、第三不变量，则有：I 1 ex ey ez xy z 3 m I 2(exey eyez ezex)1(2 2 2 4 xy yz zx)1 3 y)2(y z)2(z x)2(2 2 2 (x 2 xy yz zx)6 II23 exeyez 1 xy yz zx 1 ex yz2 1 ey zx2 1 ez xy2 4 4 4 4 当 x，y，z 轴方向和主轴重合时：I 1 0 I 2 1(1 2)2(2 3)2(3 1)2 I 3 6 e1

36、e2e3 I 2、I 3 还可以写成：J2 1 eij eji 2 J3 1 eij ejk ekj 3 7几种特定截面上的应变 （1）八面体面上的正应变：1(3)8 3 1 2 m （2）八面体面上的剪应变：8 2 (1 2)2(2 3)2(3 1)2 2 2I2 3 3 （3）等效应变（应变强度）：i 1 82I2 2(1 2)2(2 3)2 (3 1)2 2 3 3 2(x 2(y z)2 2 3(2 2 2 3 y)(z x)2 xy yz zx)其物理意义是：对于应变状态（x，yz，zx），用上式算出的应变强度，和体 y z xy i 14 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这

37、种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 积不变（即泊松比 1）的情况下单向

38、拉伸时（1 i，2 3 1 1）的应变强度相等，或者说，=2 2 从应变强度的角度看，应变状态（x，yz，zx）和应变状态（1 i，23 1 1）是 y z xy =2 相当的。（4）等效剪应变（剪应变强度）：3 2(1 2)2(2 3)2(3 1)2 =2 8 3 其物理意义是：对于应变状态（x，zx），用上式算出的剪应变强度，和 yz xy yz 纯剪切情况下 （x y zyz zx 0,xy）时的剪应变强度相等，或者说，从剪应变强度 的角度看，应变状态（x，y，z，xy，yz，zx）和应变状态 x yz yz zx0,xy 是 相当的。8各斜截面上的剪应变及最大剪应变：1 2 3 2 1

39、 3 3 1 2 如果规定 12 3，则 2 为最大剪应变：max 1 3 9表示应变状态的 Lode 参数。22 (1 3)1 3 （1）单向拉伸：1 0,2 3，有 =1。（2）纯剪切：2 0,1 3，有 =0。（3）单向压缩：1 2 0,3 0，有 =1。习题：1.某一点的应力状态为：x 80MPa，x 120MPa，x 100MPa，xy 45MPa，yz 30MPa，zx 15MPa；试写出该点应力的 15 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复

40、这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体（1）应力量；（2）应力球量；（3）应力偏量；（4）写出该点处应力量分解的量符号表达式。（提示：即写出 ij ，m 和 sij 的关系表达式）2.已知某点的主应力为 1 8

41、0MPa，2 120MPa，3 100MPa，求该点处八面体面上的正应力和剪应 力以及该点处的等效应力。第四章、第五章 塑性本构关系 1塑性力学研究的主要容 塑性力学主要研究在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料），以 及塑性应力应变关系的规律。2屈服条件的一般形式 屈服条件 应该和所有应力分量有关，因而可以写成：f1（x,y,z,xy,yz,zx）=C 式中，f1 称为屈服函数，C 是与材料性质有关的常数。若材料各向同性，则：f（1,2,3）=C（f 是 1,2,3 的对称函数）或 f2（I 1,I 2,I 3）=C 因为应力球量不影响屈服，且 J1=0，故屈服条件还可

42、以写为：f3（J 2,J 3）=C 因为 J3 是应力偏量各分量的三次函数，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J3 也 变号。但由实验结果可知，对一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量 均改变符号时，屈服函数的值应当不变。故可断定：屈服函数应当是应力偏量第二，第三不变量 J2 和 J3 的函数，同时又必须是 J3 的偶函数。3应力空间 以 1,2,3 为坐标的三维空间，叫做应力空间（如图 3.1 所示）。，应力空间中的点 P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是 1,2,3。16 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于

43、弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 图 3.1 图 3.2 4屈服曲面 屈服条件表达式表示应力空间中的一个曲面，称

44、为屈服曲面。5等倾线与 平面 等倾线：应力空间过原点与 1,2,3 轴向成相同夹角的直线，称为等倾线。方向余弦为（1，1，1）。3 3 3 方程式为：1 2 3 等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球量，其偏量为零。平面：经过原点 O 以等倾线为法线的平面称为 平面（见图 3.2），方程式为：1230 平面上的任意点所代表的应力状态，其球量为零，这个应力状态本身就是一个偏量。设应力空间中任一点 P 表示应力状态（1,2,3），矢量 OP 分解成沿等倾线和在 平面上 的两个分量 OQ 和 OS，则 OQ 和 OS分别表示这一应力状态的球量和偏量。5屈服曲面和屈服轨迹 在应力空间中，靠近坐标原点且

45、包括原点在，有一个弹性区（在这个区的点所表示的应力状 态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界面就是 屈服曲面，也就是屈服条件方程在应力空间中所代表的曲面，是一个柱面，其母线平行于等倾线。屈服曲面与 平面的交线叫做 屈服轨迹。6.平面上的点所代表的应力状态 图 3.5（a）示出在应力空间中一点 P（或矢量 OP）表示一个应力状态（1、2、3），现在 17 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不

46、可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 将矢量 OP 分解为与三个坐标轴平行且首尾相接的三个矢量 OA、AB、BP，即 OA 1 轴，长为 1，AB 2 轴，长为 2，BP 平行于 3 轴，长为 3。（a）（b）图 3.

47、5 矢量 OS 沿 x 轴及 y 轴的分量为 ()x=cos30 cos30 =2 2)=1 1 2)OS OA B S 3 2 (OS)y=OA sin30+sin30=2(1 1 3)1(2 2 13)AB BS 3 2 1 2 2 6 OS 的长度：OS(OS)2x (OS)2y 1(1 2)2 (2 3)2(3 1)2 2 i 3 8 2 J 2 3 3 (OS)OS 在 平面上的方位角：arctg(OS)y 1 2 arctg x 3 2 1 3 arctg 1 3 3 式中，为应力状态的 Lode 参数。有了上面的两个公式，对一个已知应力状态（1，2，3）就可以得到 平面上代表它的

48、偏量 的点 S 的位置。如果规定 1 2 3，则有 1 1，因而 30 30，也就是说，如果 1，2，3 按大小顺序排列，则在 平面上代表应力偏量的点 S 将坐落在 O O 1 轴向与 3 轴 负方向之间。对单向拉伸，=1，=30，S 点位于 O 1 轴向。对单向压缩，=+1，=30，S 点位于 O 3 轴负方向上。对纯剪切，=0，=0，S 点位于 O 1 轴向与 O 3 轴负方向的分角线上。如果主应力顺序不按 1 2 3 的规定排列，则 S 点可位于 平面的任何点，而没有 30 18 持原有的形状和尺寸这种性质称为材料的弹性这种可以全部恢复的变形叫弹性变形这时称物体处于弹性状态塑性与塑性变形

49、当外力超过一定限度后在物体某些部分任意点上的应变将不随应力的消失而恢复这种变形不可恢复的性质称时称该部分已进入塑性状态同时将该部分称为物体的塑性区未进入塑性状态的区域则为弹性区塑性变形的特点塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系塑性变形不仅与当前的应力状态有关还与加载的历史有关应力与应变或应变率进入塑性状态后产生的应力和变形包括研究在加载过程中的每一时刻物体各点的应力和变形以及定弹性区与塑性区的界限有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态塑性变形无限制发展物体 30的限制。反之，如果已知 平面上一点，就不可能唯一地确定它所代表的原始应力状态，因为可以加 S 上

50、任意大小的球量而不改变 平面上 S 点的位置。不过可以根据 S 点的位置唯一地确定它所代表的 应力偏量的大小。7Tresca 屈服条件 （1）各主应力按大小顺序排列时的屈服条件：13=s 在 Tresca 屈服条件下 s 和 s的关系为：s s=2 （2）各主应力不按大小顺序排列：2 2 2 2 2 2 0 1 2 s 2 3 s 3 1 s 或 3 2 2 2 4 6 4 J 2 27 3 9 s J 2 6 s J 2 s0 J 上式左端 是 J3 的偶函数。Tresca 屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上。（3）在应力空间中表示 Tresca 屈服条件的屈服曲面是一个以等倾线为轴