因式分解式讲义精讲中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、学员编号:年 级：初一 课时数：1 教育学科教师辅导讲义 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数 学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取 公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过

2、若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2-a 2-b2=(a+b)(a-b);(2)(a b)2=a2 2ab+b2-a2 2ab+b2=(a b)2；(3)(a+b)(a 2-ab+b2)=a3+b3-a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-a 3-b3=(a-b)(a2+ab+b 2).下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca);(7)(

3、a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(完全立方和公式)(8)(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 十字相乘 例.已知a,b,c是 ABC的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca，则 ABC的形状是()A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：am an bm bn授课类型 复习 授课日期及时段 2016416 12:50 2:50 教学目的 1.熟练掌握因式分解的有关概念和运算法则。2.熟练地、灵活地运用因式分解进行计算。学员姓名:辅导科目：数学 学科教师：教学内容 例 2、分解因式：2

4、ax 10ay 5by bx 练习:分解因式 1、a2 ab ac bc 2、xy 3.ab ac bd cd（二）例 3、分组后能直接运用公式 分解因式：ax ay 例 4、分解因式:a2 2ab b2 c2 练习:分解因式 3、x2 x 9y2 3y 4、2 小 z 2yz 5.x5+x4+x3+x2+x+1 综合练习:2 xy(2)2 ax bx2 bx ax(3)x2 6xy 9y2 16a2 8a(4)a 2 6ab 12b 9b2 4a(5)a4 2a3 a2 2(6)4a x 4a y b2x b2y(7)2xy xz 2 yz y(8)a2 2a b2 2b 2ab 1(9)y

5、(y 2)(m 1)(m 1)(10)(a c)(a c)b(b 2a)(11)a2(b c)b2(a c)c2(a b)2abc(12)a c3 3abc(13)xy-xz-y2+2yz-z2(14)a2-b2-c2-2bc-2a+1 四、十字相乘法 （一）二次项系数为 1 的二次三项式 练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分

6、组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分例 5、分解因式:x2 5x 6 2 例 6、分解因式：x 7x 6 练习 5、分解因式(1)x2 14x 24(2)a 2 2 15a 36(3)x 4x 练习 6、分解因式(1)x2 x 2(2)y 2y 15(3)x 10 x 24(二)二次项系数不为 1(ax+b)(cx+d)=acx2+(a

7、d+bc)x+bd 的二次三项式，既然是二次式，就可以写成，简记口诀：首尾分解，交叉相乘,(ax+b)(cx+d)的形式。求和凑中。2 -ax bx 条件：(1)a(2)(3)分解结果：a?a31-a2 C2 b ax2 C2 bx a?C1 c=(a1X ai c2 a CCi)(a2X C2)例 7、分解因式:分析：3x2 11x 10 1 解：3x2 练习 7、分解因式:(-6)+11x 10=(x(1)5x2(-5)=-11 2)(3x 7x 6(2)3x2 7x(三)二次项系数为 2(3)10 x2 17x 3(4)6y2 11y 10 1 的齐次多项式 直接利用公式-x2(p q)

8、x pq(x p)(x q)进行分解。特点：(1)二次项系数是 1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)次项系数是常数项的两因数的和。口诀：首尾分解，求和凑中，交叉相乘。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 Ov a 5,且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a.解析：练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用

9、公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分例 8、分解因式：a2 分析：将b看成常数,的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。8ab 128b2 把原多项式看成关于 1 8b练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它

10、被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分练习 8、分解因式(1)x2 3xy 2y2(2)m2 2 2 2 6mn 8n(3)a ab 6b 这种多项式属 1-16b 8b+(-16b)=-8b 解

11、：a2 8ab 128b2=a2 8b(16b)a 8b(16b)=(a 8b)(a 16b)（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 综合练习 10、(1)8x6 7x3 1(2)12x2 11xy 15y2（3）(x y)2 3(x y)10 2(4)(a b)4a 4b 3（5）x2y2 5x 2y 6x2 2 2(6)m 4mn 4n 3m 6n 2（7）2 x 4xy 4y2 2x 4y 3(8)5(a b)2 23(a2 b2)10(a b)2（9）4x2 4xy 6x 3y 2 y 10(10)12(x y)2 11(x2 y2)2(x y)2 思考:分解因式：abcx2(a2b2

12、 c2)x abc 五、换元法。例 13、分解因式(1)2005x2(20052 1)x 2005 2(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6)x 解：(1)设 2005=a，则原式=ax2(a2 1)x a=(ax 1)(x a)=（2005x 1）（x 2005）（2）型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=（x2 7x 6）（x2 5x 6）x2 设x2 5x 6 A,则x2 7x 6 A 2x 原式:=(A 2x)A x2=A 2 2Ax x2 =(A x)2=(x 2 6x 6)2 练习 13、分解因 式（1)(x2 xy y2)2 4xy(x2 y

13、 2)(2)(x2 3x 2)(4x2 8x 3)90 (3)(a2 1)2(a2 5)2 4(a2 3)例 14、分解因式（1）2x4 x3 6x2 x 2 观察：此多项式的特点一一是关于 x的降幕排列，每一项的次数依次少 1,并且系数成“轴对称”于“等距离多项式”。例 9、2x2 7xy 6y2-2y-3y(-3y)+(-4y)=-7y 解：原式=(x 2y)(2x 3y)2 练习 9、分解因式：（1）15x 例 10、x2 y2 3xy 2 把xy看作一个整体 1-1 1-2(-1)+(-2)=-3 解：原式=(xy 1)(xy 2)2 2 2 7xy 4y(2)a x 6ax 8 练掌

14、握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例

15、分方法:提中间项1 的字母和 它的次数，保留系数，然后再用换 元法。解：原式=2/=x(2x 2 x 1 6-1 2)=x2 2(x2 1 2)(x 1-)6 x x x x 设 殳X-t,则x2 1 2 t2 2 x x 原式=x2 2(t 2 2)t 6 2=x 2t2 t 10 -2-2 1 2 =x2 2t 5 t 2=x 2x 5 x x x =x-2x 2 5 x-x 1 2=:2x2 5x 2 x2 2x 1 x x =(x 1)2(2x 1)(x 2)(2)x4 4x3 x2 4x 1 解：原式=2=x(x 4x 1-)2=x 2 x-1 2 4 x 1 1 x x x x 设

16、x 1-y，则x 2 1 2 2 y 2 x x 原式=2/2=x(y 4y 3)=x2(y 1)(y 3)2“1 1 3)：2 x 1 2 3x 1 =x(x-1)(x-=x x x x 练习 14、(1)6x4 7x3 36x2 7x 6 (2)x4 2x3 x2 1 2(x x2)用配方法把 2-2分解因式分解因式 2x 8x 6例 15、分解因式(1)x3 3x 2 4 解法 1 拆项。解法 2 添项。原式=x3 1 3x2 3 原式=x3 3x2 4x 4x 4=(x 1)(x2 x 1)3(x 1)(x 1)=x(x2 3x 4)=(x 1)(x2 x 1 3x 3)=x(x 1)

17、(x 4)4(x 1)=(x 1)(x2=(x 1)(x2 4x 4)=(x 1)(x 2)2 =(x 1)(x 2)2 (2)x9 x6 x3 3 解：原式=(x9 1)(x6 1)(x3 1)3=(x 1)(x 6 x 3 3 1)(x 1)(x3 1)(x3 1)3=(x 1)(x 6 x 3 1 x3 1 1)2=(x 1)(x x 1)(x6 2x3 3)六、添项、拆项、配方法。配方法：因式分解 a2b2+4a+2b+3 原式=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)=(a+2)2-(b-1)2=(a+b+1)(a-b+3)(4x 4)4x 4)练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目

18、的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分 练习(1)(3)15、x3 4

19、x 分解因式 9x 7x2 4 2 2 4(2)(x 1)(x 1)(x 1)(4)x x 2ax 1 a xA4+xA2+2ax+1-aA2=xA4+2xA2+1-xA2+2ax-aA2=(xA2+1F2-(x-a)A2=(xA2+1+x-a)(xA2+1-x+a)(5)(x y)4(6)2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4 b4 c4-但人2七人2)人2-2。人2但人2七人2)+。人4=但人2七人2-。人2)人2(7)x4+4 原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)4 2 2 4 2 2(8)x-23x y+y(9)(m-1)(

20、n-1)+4 mn 证明：设伉二次方程 肢+加+c=O(tJ玉0)的两根是中x2 Ed b+b Aac b b 则X|-，勲-la b c X-|+X=?Hl Jfr=a a 就是一=(Xj+x,X XjXj ax1+bx+c=a(y:+-v 十)a a 二(込+也)州xj j&r-.qX斗-隔)结论：在分解二次三项式 必+丘+的因式分解时.可先用 公式求岀方稈A+加M=0的两根无心然后写成 当4=62-4负:仝0时，ax1+&r+c?在实数范围内可以分薛因式;当A=-4ac0时T ax2+bx+c在实数范围内不能分解因式 七、待定系数法。首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，

21、求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 16、分解因式x2 xy 6y2 x 13y 6 分析：原式的前 3 项x xy 6y可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2 2 解：设 x xy 6y x 13y 6=(x 3y m)(x 2y n)/(x 3y m)(x 2y n)=x xy 6y(m n)x(3n 2m)y mn 二 x2 xy 6y2 x 13y 6=x2 xy 6y2(m n)x(3n 2m)y mn 2y n)练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式

22、分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分 原式=(x 3y 2)(x 2y 3)分解因式 x4-x3-5x2-6x-4 如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能

23、分解为两个二次因式。解：设 x4-x3-5x2-6x-4=(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(ac+b+d)x 2+(ad+bc)x+bd 从*而 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4 所以 解得 贝 U x4-3-5x2-6x-4=(x 2+x+1)(x 2-2x-4)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式 必为形如 x c的一次二项式。解:设 x3 ax2 bx 8=(x 1)(x 2)(x c)则 x3 ax2 bx 8=x3(3 c)x2(2 3c)x 2c a 3 c a

24、7 -b 2 3c 解得 b 14,2c 8 c 4 a b=21 练习 17、(1)分解因式x2 3xy 10y 2 x 9y 2 (2)分解因式x2 3xy 2y2 5x 7y 6 (3)已知：x2 2xy 3y2 6x 14y p能分解成两个一次因式之积，求常数 p并且分解因式。(4)k为何值时，x2 2xy ky2 3x 5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。8、求根法 对比左右两边相同项的系数可得 3n 2m 13，解得 mn 6(1)分析:前两项可以分解为(x y)(x y)，故此多项式分解的形式必为(x y a)(x y b)解：设x2 2 y mx 5y 6=(x

25、 y a)(x y b)则x2 2 y mx 5y 6 2=x 2 y(a b)x(b a)y ab a b m a 2 a 2 比较对应的系数可得：b a 5,解得：b 3或 b 3 ab 6 m 1 m 1 当 m 1时，原多项式可以分解；当m 1时，原式=(x y 2)(x y 3);当m 1时，原式=(x y 2)(x y 3)例 17、(1)当m为何值时，多项式 x2 y2(2)如果x3 ax2 bx 8有两个因式为 mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。x 1和x 2，求a b的值。练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用

26、方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分令多项式 f(X)=O,求出其根为 X1,X2,X3,Xn,则多项式可因式分解为 f(x)

27、=(x-x 1)(x-x 2)(X-X3)(X-Xn)(况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3 这些数是不是方程的根)例 8、分解因式 2x4+7x3-2x2-13x+6 解：令 f(x)=2x 4+7x3-2x2-13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=O 根为，-3,-2,1，2 则 2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9:主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式 a2(b-c)+b 2(c-a)+c 2(a-b)分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列 解:

28、a2(b-c)+b 2(c-a)+c 2(a-b)=a 2(b-c)-a(b 2-c 2)+bc(b-c)=(b-c)a 2-a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)10 双十字相乘法 十字相乘法是利用x2(a b)x ab(x a)(x b)这个公式，写成两排形式，把二次项系数的 约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因 式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。运用双十字乘法对Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F型的多项式分解因式的步骤：1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为

29、两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含 y 的一次项的系数 E,同是还必须与第一 个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含 x的一次项的系数 D。一、用双十字相乘法分解多项式 我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：计算(2x 3y 5)(3x y 1)。2x 3y 5)3x y 1 2 6 x 9xy 15x 2 2xy 3y 5y 2x 3y 5 2 2 6x 7xy 3y 13x 8y 5 2 2(2x 3y 5)(3x y 1)6x 7xy 3y 13x 8y 5 从计算过程可以发现，乘积中的二次项6x2 7xy 3y2只

30、和乘式中的一次项有关，而与常数项无 关；乘积中的一次项13x 8y，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中 的常数项有关练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边

31、且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分系。练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已

32、知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分2x 3y 3x、y 9xy 2xy 7 xy 1、先用十字相乘法分解6x2 7xy 3y2。乂-5y 3y 8 y 2)(5x 6y 7)评注：在使用双十字相乘法时，不必标出 x,y,只需写出x,y的系数就可以了。即第 1 列是x的 系数的两个因数；第 2 列是 y 的系数的两个因数；第 3 列是常数项的两个因数。2 20z(2x 3y 4z)(3x 2y 5z)。根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式 6x2 7xy

33、 3y2 13x 8y 5的分解因式的方法是：2、再将常数项一 5 的两个因数写在第二个十字的右边 3、由于第 2 列与第 3 列交叉相乘之积的和等于 8y。再看第 1 列与第 3 列交叉相乘之积的和等 于 13x，那么原式就可以分解成(2x 3y 5)(3x y 1)。综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有 试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。例 1、分解因式 20 x2 9xy 18y2 18x 33y 14。匚 4X 6-15=9,3X(-7)+2 X 6=33,-28+10=-18,.20 x2 9xy 18y2 18x 33y

34、 14(4x 3y 例 2、分解因式15x2 20 xy x 8y 2 2X 5+3X(-4)=10-12=-2,.6x2 5xy 6y2 2xz 23yz 评注：注意本题中的第 3 列是 20z2的两个因式,不要丢掉 z。例 5、分解因式 6x2 13xy 2y2 16x y 6。-3 X(2)+5 X 1=6+5=1,.15x2 20 xy x 8y 2=(3X 4y 1)(5x 2)。例 3、分解因式9x2 16y2 18x 40 y 16。/3X(-2)+3 X 8=6+24=18,.9x2 16y2 18x 40y 16=(3x 4y 8)(3x 4y 2)。例 4、分解因式6x2

35、5xy 6y2 2 2xz 23yz 20z。8-2 3-2 练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直

36、接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分2 将原多项式化成关于x的二次三项式分解(1)6x2 7xy 3y2 13x 8y 5 2 2 x 2xy 8y 2x 14y 3 x2 8xy 15y2 2x 4y 3 2 2 x 2xy 3y 3x y 2 4x2 12xy 9y2 2x 3y 6 2x2 7xy 22y2 5x 35y 3 解法 1:6x2 13xy 2y2 16x y 6(x 2y 3)(6x y 2)解法 2:6x2 13xy 2y2 16x y 6 6x2(13y 16)x(2y2 y 6)6x2(13y 16)x(y 2)(2y 3)(x 2y

37、3)(6 x y 2)o 1 2 2-3 解法 3:6x2 13xy 2y2 16x y 6 4-3=1(x 2y)(6x y)(16x y)6(x 2y m)(6x y n)(2y 3)(y 2)=6x2 13xy 2y2(6m n)x(m 2n)y mn 12y 18 y 2 16 13y 6m n 16 m 2n 1解之，得 m 3,n 2 o mn 6 6x2 13xy 2y2 16x y 6(x 2y 3)(6x y 2)o 评注：解法 1 是使用双十字相乘法分解因式；解法 因式；解法 3 则使用了待定系数法。练一练：用多种方法分解下式：2x2 xy y2 3y 答案：(x y 1)

38、(2x y 2)知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三

39、角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法;分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x5 x4 x3和 x2 x 1 分别看成一组，此时六项 式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解;也可把 x5 1 分别看成一组，此时的六项式变 地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能

40、再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直 接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用 公式法继续分解;F面我们一起来回顾本章所学的内容。1.通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1.分解因式 x5 x4 x3 x2 x 1 成三项式，提取公因式后再进行分解。2.通过变形达到分解的目的 解一：原式（X5 x4

41、 x3）(x2 1)3/2 x(x x 1)3 2(x 1)(x(x 1)(x2 解二：原式=（x5 x4）(x3(x2 1)1)(x2 x2)（X 1)1)1)x4(x 1)(x 1)(x4 4(x 1)(x(x 1)(x2 x2(x 1)x 1)2x2 1)x 1)(x2(x x2 1)x 1)练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用

42、公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分例 1.分解因式 x3 3x2 练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初

43、中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分 解一：将 3x2拆成 2x2 x2，则有 原式 3 c 2 z 2 x 2x(x 4)x2(x 2)(x 2)(x 2)2(x 2)(x x 2)(x 1)(x 2)2 解二:将常数 4 拆成 1 3,则有 原式 x3 1(3x2 3)(x 1)(x2

44、x 1)(x 1)(3x 3)(x 1)(x2 4x 4)(x 1)(x 2)2 3.在证明题中的应用 例：求证：多项式(x2 4)(x2 10 x 21)100 的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平万数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要 变形成完全平方数。证明：2 2(x2 4)(x2 10 x 21)100 (x 2)(x 2)(x 3)(x 7)100 (x 2)(x 7)(x 2)(x 3)100 (x2 5x 14)(x 2 5x 6)100 设 y x2 5x，则 原式(y i4)(y 6)100 y2 8y 16(y 4)2 无论 y 取何值

45、都有(y 4)2 0 (x2 4)(x2 10 x 21)100 的值一定是非负数 4.因式分解中的转化思想 例：分解因式：(a 2b c)3(a b)3(b c)3 分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂，观察 a+b,b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B 原式(A B)3 A 3 B3 3 2 A 3A B 3AB2 3 3 3 B A B 2 2 3A2B 3AB2 3AB(A B)3(a b)(b c)(a 2b c)练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常

46、用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分100，即要求它们的差小于零，把它们 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换

47、”是很重要的。中考点拨 例 1.在 ABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 16b2 c2 6ab I0bc 0 求证：a c 2b 证明：a2 16b2 c2 6ab I0bc 0 a2 6ab 9 b2 c2 10bc 25b2 0 即(a 3b)2(c 5b)2 0(a 8b c)(a 2b c)0 a b c a 8b c，即 a 8b c 0 于是有 a 2b c 0 即 a c 2b 说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2.已知：x 1 2，则 x 3 1 x 3 x 解:x3 13(x-)(x2 1!)x x x 1 r/1 2 (x)(x)

48、2 1 x x 2 1 2 说明：利用 x2 亠(x 丄)2 2 等式化繁为易。x x 题型展示 1.若 x 为任意整数，求证：(7 x)(3 x)(4 x)的值不大于 100。解：(7 x)(3 x)(4 x2)100(x 7)(x 2)(x 3)(x 2)100 2 2(x 5x 14)(x 5x 6)100 2 2(x2 5x)8(x2 5x)16 2 2(x2 5x 4)2 0 (7 x)(3 x)(4 x 2 2)100 说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将 a2但 1)2但2 a)2分解因式，

49、并用分解结果计算 62 72 422。练掌握因式分解的有关概念和运算法则教学目的熟练地灵活地运用因式分解进行计算教学内容因式分解的常用方法第一部分方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许于培养学生的解题技能发展学生的思维能力都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法运用公式法分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上对因式分解的方法技巧和应用作进一步的介绍提公补充两个常用的公式完全立方和公式十字相乘例已知是的三边且则的形状是直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形三分组分解法一分组后能直接提公因式例分解因式例分

50、解因式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分解：a2(a 1)2 但2 a)2 a2 a2 2a 1(a2 a)2 2(a2 a)1(a2 a)2(a2 a 1)2 62 72 422(36 6 1)2 432 1849 说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟 1.分解因式：(1)3x5 10 x 4 3 8x 3x2 10 x 8(2)(a2 3a 3)(a2 3a 1)5(3)2 x 2xy 3y2 3x 5y 2(4)3 x 7x 6 2.已知：x y 6,xy 1,求:x3 y3的值。3.矩形的周长是 28cm,两边 x,y 使 x3 x2y xy2 y3 0，求矩形的面积。4.