同济大学高等数学公式大全研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

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1、高等数学公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxC

2、xaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数 角 A sin cos tg ctg-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos

3、 -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180+-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxar

4、shxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与

5、是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 余弦定理：Cabbaccos2222 反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：)()()(

6、)2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122

7、212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的

8、求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程定积分的近似计算：bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离

9、：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaa ja jaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu 角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公

10、式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302)

11、,(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz

12、，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22 角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点

13、法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000

14、000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向

15、在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx 角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值

16、定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程重积分及其应用：DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyx

17、xIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzz

18、yxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日

19、中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导

20、数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPd

21、yyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL 曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：d

22、sAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面

23、体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k

24、jirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112 级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu 绝对收敛与

25、条件收敛：角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过

26、此点的切平面方程时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于 函数展开成幂

27、级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm 欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或 三角级数：角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦

28、倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。

29、，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn 傅立叶级数：是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12

30、)sincos(2)(00022222222222222210 周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期 微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfd

31、yygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功

32、水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(

33、0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr 的形式，21rr(*)式的通解 两个不相等实根)04(2 qp xrxrececy2121 两个相等实根)04(2 qp xrexccy1)(21 一对共轭复根)04(2 qp 242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx 二阶常系数非齐次线性微分方程

34、型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx 角和差角公式和差化积公式双曲正切双曲余弦双曲正弦倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理当曲线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量在轴上的投影空间意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分隐函数方程组微分法在几何上的应用过此点的切平面方程