《复合函数的导数》参考教案中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

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1、课 题：复合函数的导数(1)教学目的：1.理解，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0C；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos 2.法则 1 )()()()(xvxuxvxu 法则 2 (

2、)()()()()()u x v xu x v xu x v x,()()Cu xCu x 法则 3 2(0)uu vuvvvv 二、讲解新课：1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数)(ufy 与)(xu复合而成的函数一般形式是)(xfy，其中 u 称为中间变量 2.求函数2(32)yx的导数的两种方法与思路：方法一：22(32)(9124)1812xyxxxx；方法二：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux 两个导数相乘，得 232(32)31812uxy uuxx，从而有 xuxuyy 对

3、于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求 yx时，就可以转化为求 yu和 ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数 u=(x)在点 x 处有导数 ux=(x)，函数 y=f(u)在点x 的对应点 u 处有导数 yu=f(u)，则复合函数 y=f(x)在点 x 处也有导数，且xuxuyy 或 fx(x)=f(u)(x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设 x 有增量 x，则对应的 u，y 分别有增量 u，y，因为 u=(x)在点 x 可导，所以 u=(x)在点 x 处连续.因此当 x 0 时，u 0.当 u 0时，由xuuyxy.且xyuyux0

4、0limlim.xuuyxuuyxuuyxyxuxxxx000000limlimlimlimlimlim 即xuxuyy (当 u 0 时，也成立)4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 三、讲解范例：例 1试说明下列函数是怎样复合而成的？32)2(xy；2sin xy；)4cos(xy；)13sin(lnxy 与应用教学难点复合函数的求导法则的导入与理解授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪内容分析复合函数的导数是导数的重点也是导数的难点要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个

5、变量的求导求导时对哪个变量求导则法则二讲解新课复合函数由几个函数复合而成的函数叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是其中称为中间变量求函数的导数的两种方法与思路方法一方法二将函数看作是函数和函数复合函数并分别求对应变量的导数如下随着中间变量的不同难易程度不同复合函数的导数设函数在点处有导数函数在点的对应点处有导数则复合函数在点处也有导数且或证明教师参考不需要给学生讲设有增量则对应的分别有增量因为在点可导所以在点处连续因此当时当解：函数32)2(xy由函数3uy 和22xu复合而成；函数2sin xy 由函数uysin和2xu 复合而成；函数)4cos(xy由函数uycos和xu4复合而成；

6、函数)13sin(lnxy由函数uyln、vusin和13 xv复合而成 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等 例 2写出由下列函数复合而成的函数：uycos，21xu；uyln，xuln 解：)1cos(2xy；)ln(ln xy 例 3求5)12(xy的导数 解：设5uy，12 xu，则 xuxuyy)12()(5xux 2)12(52534xu4)12(10 x 注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要

7、弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例 4求 f(x)=sinx2的导数.解：令 y=f(x)=sinu;u=x2 xuxuyy=(sinu)u(x2)x=cos u 2x=cosx2 2x=2xcosx2 f(x)=2xcosx2 例 5求 y=sin2(2x+3)的导数.分析:设 u=sin(2x+3)时，求 ux，但此时 u 仍是复合函数，所以可再设 v=2x+3.与应用教学难点复合函数的求导法则的导入与理解授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪内容分析复合函数的导数是导数的重点也是导数的难点要弄清每一步

8、的求导是哪个变量对哪个变量的求导求导时对哪个变量求导则法则二讲解新课复合函数由几个函数复合而成的函数叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是其中称为中间变量求函数的导数的两种方法与思路方法一方法二将函数看作是函数和函数复合函数并分别求对应变量的导数如下随着中间变量的不同难易程度不同复合函数的导数设函数在点处有导数函数在点的对应点处有导数则复合函数在点处也有导数且或证明教师参考不需要给学生讲设有增量则对应的分别有增量因为在点可导所以在点处连续因此当时当解：令 y=u2，u=sin(2x+3)，再令 u=sinv，v=2x+3 xuxuyy=yu(uv vx)yx=yu uv vx=(u2)u(

9、sinv)v(2x+3)x=2u cosv 2=2sin(2x+3)cos(2x+3)2=4sin(2x+3)cos(2x+3)=2sin(4x+32)即 yx=2sin(4x+32)例 6求32cbxaxy的导数.解：令 y=3u，u=ax2+bx+c xuxuyy=(3u)u(ax2+bx+c)x=3231u(2ax+b)=31(ax2+bx+c)32(2ax+b)=322)(32cbxaxbax 即 yx=322)(32cbxaxbax 例 7求 y=51xx的导数.解：令xxuuy1,5 xuxuyy=(5u)u(xx1)x 4455221(1)(1)1 1(1)()55x xx xx

10、xxuxxx 与应用教学难点复合函数的求导法则的导入与理解授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪内容分析复合函数的导数是导数的重点也是导数的难点要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导求导时对哪个变量求导则法则二讲解新课复合函数由几个函数复合而成的函数叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是其中称为中间变量求函数的导数的两种方法与思路方法一方法二将函数看作是函数和函数复合函数并分别求对应变量的导数如下随着中间变量的不同难易程度不同复合函数的导数设函数在点处有导数函数在点的对应点处有导数则复合函数在点处也有导数且或证明教师参考不需要给学生讲设有增量则对应的分别有增量因为在点可导所以

11、在点处连续因此当时当24654511115(1)5()xxxxx 24515()xxx 即 yx=542)(51xxx 例 8 求 y=sin2x1的导数.解：令 y=u2，u=sinx1，再令 u=sinv，v=x1 xuxuyy vx=(u2)u(sinv)v(x1)x=2u cosv210 x=2sinx1 cosx121x=21x sinx2 yx=21xsinx2 例 9 求函数 y=(2x23)21x的导数.分析:y 可看成两个函数的乘积，2x23 可求导，21x是复合函数，可以先算出21x对 x 的导数.解：令 y=uv，u=2x23，v=21x,令 v=，=1+x2 xxvv

12、=()(1+x2)x=22211122)2(21xxxxx yx=(uv)x=uxv+uvx=(2x23)x21x+(2x23)21xx=4x23232161321xxxxxxx 与应用教学难点复合函数的求导法则的导入与理解授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪内容分析复合函数的导数是导数的重点也是导数的难点要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导求导时对哪个变量求导则法则二讲解新课复合函数由几个函数复合而成的函数叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是其中称为中间变量求函数的导数的两种方法与思路方法一方法二将函数看作是函数和函数复合函数并分别求对应变量的导数如下随着中间变量的不

13、同难易程度不同复合函数的导数设函数在点处有导数函数在点的对应点处有导数则复合函数在点处也有导数且或证明教师参考不需要给学生讲设有增量则对应的分别有增量因为在点可导所以在点处连续因此当时当即 yx=2316xxx 四、课堂练习：1求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)2 解：(1)令 y=u4，u=5x3 xuxuyy=(u4)u(5x3)x=4u3 5=4(5x3)3 5=20(5x3)3(2)令 y=u5，u=2+3x xuxuyy=(u5)u(2+3x)x=5u4 3=5(2+3x)4 3

14、=15(2+3x)4(3)令 y=u3，u=2x2 xuxuyy=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2x2)2(2x)=6x(2x2)2(4)令 y=u2，u=2x3+x xuxuyy=(u2)u(2x3+x)x=2u(2 3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x 2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(nN*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx 解：(1)令 y=sinu，u=nx xuxuyy=(sinu)u(nx)x=cosu n=ncosnx(2)令 y=cosu，u=nx xuxuyy=

15、(cosu)u(nx)x=sinu n=nsinnx(3)令 y=tanu，u=nx xuxuyy=(tanu)u(nx)x=(uucossin)u n=2)(cos)sin(sincoscosuuuuu n=nxnnu22coscos1=n sec2nx(4)令 y=cotu，u=nx 与应用教学难点复合函数的求导法则的导入与理解授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪内容分析复合函数的导数是导数的重点也是导数的难点要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导求导时对哪个变量求导则法则二讲解新课复合函数由几个函数复合而成的函数叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是其中称为中间变量求

16、函数的导数的两种方法与思路方法一方法二将函数看作是函数和函数复合函数并分别求对应变量的导数如下随着中间变量的不同难易程度不同复合函数的导数设函数在点处有导数函数在点的对应点处有导数则复合函数在点处也有导数且或证明教师参考不需要给学生讲设有增量则对应的分别有增量因为在点可导所以在点处连续因此当时当xuxuyy=(cotu)u(nx)x=(uusincos)u n=2)(sincoscossinsinuuuuu n=u2sin1 n=nxn2sin=ncsc2nx 五、小结：复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；复合

17、函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：与应用教学难点复合函数的求导法则的导入与理解授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪内容分析复合函数的导数是导数的重点也是导数的难点要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导求导时对哪个变量求导则法则二讲解新课复合函数由几个函数复合而成的函数叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是其中称为中间变量求函数的导数的两种方法与思路方法一方法二将函数看作是函数和函数复合函数并分别求对应变量的导数如下随着中间变量的不同难易程度不同复合函数的导数设函数在点处有导数函数在点的对应点处有导数则复合函数在点处也有导数且或证明教师参考不需要给学生讲设有增量则对应的分别有增量因为在点可导所以在点处连续因此当时当