抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、年 级 九 科 目 数 学 班 型 一对一 学生姓名 第次课 课题名称 抛物线中的直角三角形存在性问题 授课老师 授课时间 2018年 3月 20日 8:0010:00 教学目标 经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。教学重点.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题 2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养 教学难点 能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题 教学过程：一、课前小测：1.直角三角形的两边长分别是 3 和 4，则第三边的长是 2.已知 RtABC中，C=90,AC=8,B

2、C=6,动点 P、Q分别同时从 A、B出发，其中点 P在线段 AB上向点 B移动，速度是 2 单位每秒；点 Q在线段 BC上向点 C运动，速度是 1 单位每秒。设运动时间为 t（秒），当 t=秒时，BPQ是直角三角形。二、新课学习：（一）经典模型 模型再现：已知：定点 A(2,1)、B(6,4)和动点 M（m,0）,存在直角三角形 ABM,求点 M的坐标。两线一圆找直角模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点 A、点 B、点 M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。具体有以下三种情况：比如：（1）当以点 A为直角顶

3、点时，过点 A作 AB的垂线交 x 轴的点即为所求；（2）当以点 B为直角顶点时，过点 B作 AB的垂线交 x 轴的点即为所求；（3）当以点 M为直角顶点时，只需要以 AB为直径作辅助圆与 x 轴的交点（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点）即为所求。（二）解法：1.“K型相似”（一线三直角）提示：竖直型，上减下；水平型，右减左。遇直角，构矩形，得相似，求结果。2.勾股定理（暴力法-两点间距离公式）利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。其基本解题思路是列点.列线.列式。第一步，列出构建所求直角三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标；第二步，采用分类讨论思想，列

4、出构建所求直角三角形的三个边，并分类讨论两两垂直的三种可能性；第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，利用勾股定理的逆定理列出等式求解。注意：解出点的坐标应结合已知进行检验，若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去。（请学生完成做题过程）注意：有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单，在一些综合题中一般要结合“K型相似”去做更简单一些。2222222222,HMBNGHBGHMBMBHGHBGBH 22222222222222,ABBDMDCMACABBMAMBMBDMDAMCMAC又 3.解析法：两直线互相垂直，两直线的解析式为11bxky与22bxky 121 k

5、k，通过求垂线的解析式再求其与 x 轴的交点即可。KABKAM=-1 KABKBM=-1（三）典例讲解 例 1.如图，直线与抛物线212yxbxc交于点 A（0，1），B（4，3）两点。与x轴交于点 D。求直线和抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当PAB 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P yxDOBA 例 2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(3,0),B(1,0),C(0,3)，顶点为 D.(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；(2)在y轴上找一点P(点P与点C不重合),使得APD=90，求点P坐标；(3)在(2)的条件下，将APD沿

6、直线AD翻折，得到AQD，求点Q坐标。教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程熟练掌握解题技巧体会分类讨论的数学思想体验解决问题方法的多样性教学重点能够正确的分析问题转化问题合理利用条件解决问题确定动点位置的方法及数形结合分类讨论思想和方边长分别是和则第三边的长是已知中动点分别同时从出发其中点在线段上向点移动速度是单位每秒点在线段上向点运动速度是单位每秒设运动时间为秒当秒时是直角三角形二新课学习一经典模型模型再现已知定点和动点存在直角三类标准如下分别以点点点为直角定点来构造直角三角形然后根据相关条件来进行求解即可具体有以下三种情况比如当以点为直角顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直角

7、顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直 例 3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线。垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标。三、课堂练习：1.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(1,0),C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第三象限内抛物线上

8、的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。2.如图,直角梯形OABC中,OCAB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E,D两点(D点在E点右方).(1)求点E，D的坐标；(2)求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；(3)过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程熟练掌握解题技巧体会分类讨论的数学思

9、想体验解决问题方法的多样性教学重点能够正确的分析问题转化问题合理利用条件解决问题确定动点位置的方法及数形结合分类讨论思想和方边长分别是和则第三边的长是已知中动点分别同时从出发其中点在线段上向点移动速度是单位每秒点在线段上向点运动速度是单位每秒设运动时间为秒当秒时是直角三角形二新课学习一经典模型模型再现已知定点和动点存在直角三类标准如下分别以点点点为直角定点来构造直角三角形然后根据相关条件来进行求解即可具体有以下三种情况比如当以点为直角顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直角顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直 检查人：日期：3.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-3，

10、0)、C(0，4)，点 B 在抛物线上，CBx 轴，且 AB 平分CAO（1）求抛物线的解析式；（2）线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由 4.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点 C 为(1，0)如图所示，B 点在抛物线 y12x212x2 图象上，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，且 B 点横坐标为3（1）求证：BDCCOA；（2）求 BC 所

11、在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 四、小结：（1）几何法三部曲：先分类；再画图，构造相似；列比例式求解。（2）勾股定理三部曲：线罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验。（3）解析法三部曲：分类画图；K1K2=-1；求直线解析式、交点坐标。五、作业布置（另附）：课后 反思 教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程熟练掌握解题技巧体会分类讨论的数学思想体验解决问题方法的多样性教学重点能够正确的分析问题转化问题合理利用条件解决问题确定动点位置的方法及数形结合分类讨论思想和方边长

12、分别是和则第三边的长是已知中动点分别同时从出发其中点在线段上向点移动速度是单位每秒点在线段上向点运动速度是单位每秒设运动时间为秒当秒时是直角三角形二新课学习一经典模型模型再现已知定点和动点存在直角三类标准如下分别以点点点为直角定点来构造直角三角形然后根据相关条件来进行求解即可具体有以下三种情况比如当以点为直角顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直角顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直家庭作业（要求：字迹清楚、过程规范）学生姓名 1.如图，抛物线322xxy经过点 A（3，0）B（1，0）C（0，3）.设抛物线的顶点为 D，在 y轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三角形？若存在

13、，满足条件在 M点有几个？2.如图，抛物线2yxbx5与 x 轴交于 AB 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 C 与点 F 关于抛物线的对称轴对称，直线 AF 交 y 轴于点 E，|OC|：|OA|=5：1（1）求抛物线的解析式；（2）求直线 AF 的解析式；（3）在直线 AF 上是否存在点 P，使CFP 是直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由 2.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B两点,与y轴交于C(0,3)，顶点为D，点M是抛物线上任意一点。(1)求抛物线解析式；(2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使AMC=MCD?若

14、存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以 B.N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标。教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程熟练掌握解题技巧体会分类讨论的数学思想体验解决问题方法的多样性教学重点能够正确的分析问题转化问题合理利用条件解决问题确定动点位置的方法及数形结合分类讨论思想和方边长分别是和则第三边的长是已知中动点分别同时从出发其中点在线段上向点移动速度是单位每秒点在线段上向点运动速度是单位每秒设运动时间为秒当秒时是直角三角形二新课学习一经典模型模型再现已知定点和动点存在直角三类标准如下分别以点点点为直角定点来构造直角三角形然后根据相关条件来进行求解即可具体有以下三种情况比如当以点为直角顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直角顶点时过点作的垂线交轴的点即为所求当以点为直