二次函数在闭区间上的最值详解中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 二次函数在闭区间上的最值 一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设fxaxbxca()()20，求f x()在xmn，上的最大值与最小值。分析：将f x()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2 当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上f x()的最值：（1）当 bamn2，时，f x()的最小值是fbaacbaf x 2442，()的最大值是f mf n()()、中的较大者。（2）当 bamn2，时 若bam2，由f x()在 mn，

2、上是增函数则f x()的最小值是f m()，最大值是f n()若nba2，由f x()在 mn，上是减函数则f x()的最大值是f m()，最小值是f n()当a 0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例 1.函数yxx 242在区间0，3上的最大值是_，最小值

3、是_。练习.已知232xx，求函数f xxx()21的最值。2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。学习必备 欢迎下载 例 2.如果函数f xx()()112定义在区间tt，1上，求f x()的最值。例 3.已知2()43f xxx ，当1()xtttR，时，求()f x的最值 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a 0时)(212)()(212)()(21max如图如图，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf 当a 0时)(

4、2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbam nf nbam n()()()()()()()min，如图如图212212910 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例 4.已知x21，且a 20，求函数f xxax()23的最值。区间的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得顶点为对称轴为当时它的图象是开口向上的抛物线数形结合可得在上当时的最小值是的最值的最大值是中的较大者

5、分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形轴定区间定轴定区间轴区间定轴区间轴定区间定二次函数是给定的给出习已知求函数的最值轴定区间变二次函数是确定的但它的定义域区间是随参数而化的我们称这种情况是定函数在动区间上的最值学习必备欢迎下载例如果函数定义在区间上求的最值例已知当时求的最值对二次函数的区间最值结合函学习必备 欢迎下载 例 5.(1)求2f(x)x2ax1在区间-1,2上的最大值。(2)求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。4.轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我

6、们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例 6.已知24()(0),ya xa a，求22(3)uxy的最小值。（二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7.已知函数2()21f xaxax在区间 3,2上的最大值为 4，求实数 a 的值。例 8.已知函数2()2xf xx 在区间,m n上的最小值是 3m最大值是 3n，求m，n的值。例 9.已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为 3，求实数 a的值。二次函数在闭区间上的最值专题演练 1函数y12xx在 1,1上的最小值和最大值分别是 （）)(A1,3 )(B43,3 （

7、C）21,3 （D）41,3 2函数242xxy在区间 4,1 上的最小值是 （）)(A7 )(B4 )(C2 )(D2 3函数5482xxy的最值为 （）区间的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得顶点为对称轴为当时它的图象是开口向上的抛物线数形结合可得在上当时的最小值是的最值的最大值是中的较大者分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形轴定区间定轴定区间轴区间定轴区间轴定区间定二次函数是给定的给出习已知求函数的最值轴定区间变二次函数是确

8、定的但它的定义域区间是随参数而化的我们称这种情况是定函数在动区间上的最值学习必备欢迎下载例如果函数定义在区间上求的最值例已知当时求的最值对二次函数的区间最值结合函学习必备 欢迎下载)(A最大值为 8，最小值为 0 )(B不存在最小值，最大值为 8 （C）最小值为 0,不存在最大值 )(D不存在最小值，也不存在最大值 4若函数 4,0,422xxxy的取值范围是_ 5已知函数f xaxaxa()()()22130322在区间，上的最大值是 1，则实数a 的值为_.6已知函数322xxy在闭区间,0m上有最大值 3，最小值 2，则m的取值范围是 （）(A),1 (B)2,0 (C)2,1 (D)2

9、,(7设),(1,44)(2Rtttxxxxf求函数)(xf的最小值.8.已知函数2()48f xxkx在5,20上具有单调性，求实数 k 的取值范围。9.若函数2()(2)2(2)40f xaxaxxR 对一切恒成立，则 a 的取值范围（）A.(,2 B.2,2 C.(2,2 D.(,2)10.已知函数2()442f xxax在(-,0内单调递减，则 a 取（）A.3a B.3a C.a-3 D.a3 11.已知函数2()f xxkx 在2,4上是单调函数，求 k 的取值范围。12.已知函数2()23f xxx在0,m上有最大值是 3，最小值是 2，求 m 的取值范围。13.已知函数2()3

10、4f xx 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=_.14.已知函数22()44f xxaxa-2a+2在0,2上的最小值为 3，求 a 的值。15.求函数2()2f xxx +3的单调区间。16.已知函数2()26f xxx 在下列定义域上的值域：（1）定义域为xZ03x （2）定义域为-2,1.17.已知函数2()3,f xxaxa 若 2,2x，有()2f x 恒成立，求 a 的取值范围。18.已知函数2()f xx，2,xa 其中2a，求该函数的最大值与最小值。区间的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得顶点为对称轴为当时它

11、的图象是开口向上的抛物线数形结合可得在上当时的最小值是的最值的最大值是中的较大者分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形轴定区间定轴定区间轴区间定轴区间轴定区间定二次函数是给定的给出习已知求函数的最值轴定区间变二次函数是确定的但它的定义域区间是随参数而化的我们称这种情况是定函数在动区间上的最值学习必备欢迎下载例如果函数定义在区间上求的最值例已知当时求的最值对二次函数的区间最值结合函学习必备 欢迎下载 19 已知二次函数2()6f xxxa 的函数值总为负数，求 a 的取值范围。20.已知二次函数

12、2()(6)2(1)1f xmxmxm 的图像与 x 轴总有交点，求 m 的取值范围。21.已知二次函数2()(1)3f xxmxm 顶点在 y 轴上，求 m 的值。22.已知函数22()()2f xmxmm x的图像关于 y 轴对称，求 m 的值。23.已知函数2()(2)2(2)40f xaxax 对一切 x 恒成立，求 m 的取值范围。24.已知函数2()4,(13)f xxaxx 是单调增函数，求实数 a 的取值范围。25.已知函数2()1f xxax有负值，求 a 的取值范围。26.已知函数2()(2)32f xmxm 的图像在 x 轴下方，求 m 的值。27.已知函数2()10f

13、xxax 对于一切1(0,2x成立，求 a 的取值范围。28.已知函数2()23f xxmx，当(,1x 时是减函数，求 m 的取值范围。29 已知函数2()2f xxaxa的定义域是 R，求 a 的取值范围。30.已知函数2()426()f xxaxaxR的值域为0,，求 a 的值。31.已知函数2()4f xxxm对于(0,1x恒成立，求 m 的取值范围。32.已知函数2()f xxbxc在0,)上是单调函数，则 b 的取值范围。33.已知函数2()2(2)2(2)f xxa xa a，求在0,2上的最小值。34.已知函数2()2(2)2f xxa xa，在0,2上是单调函数，求 a 的取

14、值范围。35.已知函数2()2(2)2f xxa xa，在,2t t 上是偶函数，求 a 的取值范围。36.当 a=-2时，求.函数2()2(2)2f xxa xa 在,2t t 上的最小值。37.已知函数2()2(2)2f xxa xa 的定义域为 R，求 a 的取值范围。38.已知函数2()21f xxax，求 2,1x上的最值。39.已知函数2()21f xxx，求,1xm m上的最值。区间的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得顶点为对称轴为当时它的图象是开口向上的抛物线数形结合可得在上当时的最小值是的最值的最大值是中的较大者分

15、析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形轴定区间定轴定区间轴区间定轴区间轴定区间定二次函数是给定的给出习已知求函数的最值轴定区间变二次函数是确定的但它的定义域区间是随参数而化的我们称这种情况是定函数在动区间上的最值学习必备欢迎下载例如果函数定义在区间上求的最值例已知当时求的最值对二次函数的区间最值结合函学习必备 欢迎下载 40.已知函数2()21f xxaxa ，0,1x上的最值为 2，求 a 的值。41.已知函数2()22f xxx：（1）若xR，求 f(x)的最小值。（2）若1,3x，求 f(

16、x)的最小值。（3）若,2,xa aaR，求 f(x)的最小值。42.已知函数2()23f xxkx ，求 1,2x上的最大值。43.已知函数2()21f xkxkx，求 3,2x上的最值。44.已知函数221()334f xxxb ，求,(0)xb bb上的最值。45.已知函数()()1f xx xt ，求 1,1x上的最值。46.已知函数2()(21)3f xaxax，求3,22x上的最大值。47.已知函数2()3f xxax，求0,1x上的最值。48.已知函数()()f xx xa，求 1,xa上的最大值。49.已知函数2()21f xxax，在 1,2x上的最大值为 4，求 a 的值。

17、50.若不等式2296260 xaxaa 在1133x 内恒成立，求 a 的取值范围。51.已知函数2()23f xxx，求,1xt t上的最值。52.已知函数2()25f xaxax，求0,3x上的最值。53.已知函数2()23f xxax，求 3,1x上的最值。54.已知函数2()38f xaxx，求 2,x 上的最值。55.已知函数2()(43)2f xa xxa，求0,1x上的最值。56.已知函数22()(21)1f xxtxt，当 t 取何值时，函数的最小值为 0.57.已知函数2()21f xxtx，求 1,1x上的最大值。58.已知函数2()4f xxxa，在0,6x上的最大值为

18、 13，求 a 的值。区间的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得顶点为对称轴为当时它的图象是开口向上的抛物线数形结合可得在上当时的最小值是的最值的最大值是中的较大者分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形轴定区间定轴定区间轴区间定轴区间轴定区间定二次函数是给定的给出习已知求函数的最值轴定区间变二次函数是确定的但它的定义域区间是随参数而化的我们称这种情况是定函数在动区间上的最值学习必备欢迎下载例如果函数定义在区间上求的最值例已知当时求的最

19、值对二次函数的区间最值结合函学习必备 欢迎下载 59.已知函数2()24f xxax，在0,3x上的最小值为 1，求 a 的值。60.已知函数2()24f xxax，在1,3x上的最大值为 13，求 a 的值。61.已知函数2()24f xxax，在1,3x上的值域。62.已知函数2()1030f xxx，在,3xa a上的最小值为 6，求 a 的值。63.已知函数2()1030f xxx，求在,3xa a上的最小值。64已知)(xf22aaxx，在区间 1,0上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。区间的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得顶点为对称轴为当时它的图象是开口向上的抛物线数形结合可得在上当时的最小值是的最值的最大值是中的较大者分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形轴定区间定轴定区间轴区间定轴区间轴定区间定二次函数是给定的给出习已知求函数的最值轴定区间变二次函数是确定的但它的定义域区间是随参数而化的我们称这种情况是定函数在动区间上的最值学习必备欢迎下载例如果函数定义在区间上求的最值例已知当时求的最值对二次函数的区间最值结合函