人教高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

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1、人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1根式的概念：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作0n=0。注意：(1)()nnaa(2)当 n 是奇数时，nnaa，当 n 是偶数时，,0|,0nna aaaa a 2分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义，规定：(0,1)mnmnaaam nNn且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,1)mnmnaam nNna且 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质（1）(0,)rsrsa aaar sR（2）()(0,)rsrsaaar sR

2、（3）(b)(0,0,)rrraa babrR 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122(12)1221 而应=（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数xya 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1即 a0 且 a 1 2、指数函数的图象和性质 0a1 图 像 性质 定义域 R,值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1 (2)在 R 上是减函数(2)在 R 上是增函数（3）当 x0 时,0y1;当 x1 （3）当 x0 时,y1;当 x0 时,0y1 图象特征 函数性质 共性 向

3、x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0 时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x0 时,y1;式的概念负数没有偶次方根的任何次方根都是记作注意当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的正分数指数幂的意义规定正数的正分数指数幂的意义且且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质

4、注意在化数的定义域为注意指数函数的底数的取值范围底数不能是负数零和即且指数函数的图象和性质图像性质定义域值域过定点即时在上是减函数在上是增函数当时当时当时当时图象特征函数性质向轴正负方向无限延伸函数的定义域为共图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于当时在第二象限内的图象纵坐标都大于当时图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢自左向右看图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x0 时,0y0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b0 且 a 1；2.真数 N0 3.注意对数的书写格式 2、两个重要对数：（1）常用对数：以 1

5、0 为底的对数,10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数,loglneNN记为 3、对数式与指数式的互化 logxaxNaN 对数式 指数式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂 结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0 特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0 (3)对数恒等式：logNaaN（二）对数的运算性质 式的概念负数没有偶次方根的任何次方根都是记作注意当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的正分数指数幂的意义规定正数的正分数指数幂的意义且且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质注意

6、在化数的定义域为注意指数函数的底数的取值范围底数不能是负数零和即且指数函数的图象和性质图像性质定义域值域过定点即时在上是减函数在上是增函数当时当时当时当时图象特征函数性质向轴正负方向无限延伸函数的定义域为共图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于当时在第二象限内的图象纵坐标都大于当时图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢自左向右看图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：1、logMNloglogaaaMN（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2、NMNMaaalogloglog 两个正数的商的对数等于这两个正

7、数的对数差 3、loglognnaaMnM（R）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n倍 说明:1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”2)有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,)4)特别注意：NMMNaaalogloglog NMNMaaalogloglog 注意：换底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa 利用换底公式推导下面的结论 abbalog1log loglogloglogabcabcddloglogmnaanbbm（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数logayx(a0，且 a 1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定

8、义域是（0，+）注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log1ayx，log2ayx 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0，且 a 1 2、对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且 a 1)0 a 1 a 1 图像 定义域：（0，）值域：R y x 0(1,0)y x 0(1,0)式的概念负数没有偶次方根的任何次方根都是记作注意当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的正分数指数幂的意义规定正数的正分数指数幂的意义且且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质注意在化数的定义域为注意指数函数的底数的取值范

9、围底数不能是负数零和即且指数函数的图象和性质图像性质定义域值域过定点即时在上是减函数在上是增函数当时当时当时当时图象特征函数性质向轴正负方向无限延伸函数的定义域为共图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于当时在第二象限内的图象纵坐标都大于当时图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢自左向右看图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标性质 过点(1,0),即当 x 1 时,y0 在(0,+)上是减函数 在(0,+)上是增函数 当 x1 时，y0 当 x=1 时，y=0 当 0 x0 当 x1 时，y0 当 x=1 时，y=0 当 0 x1时，y0;当 a,b 不同

10、在(0,1)内，或不同在(1,+)内时,有 logab0；当 a,b 在 1 的异侧时,logab 0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa，用 y=1 去截图象得到对应的底数。、y=ax(a0 且 a 1)与 y=logax(a0 且 a 1)互为反函数，图象关于 y=x 对称。5 比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.式的概念负数没有偶次方根的任何次方根都是记作注意当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的正分数指数幂的意义规定正数的正分数指数幂的意义且且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实

11、数指数幂的运算性质注意在化数的定义域为注意指数函数的底数的取值范围底数不能是负数零和即且指数函数的图象和性质图像性质定义域值域过定点即时在上是减函数在上是增函数当时当时当时当时图象特征函数性质向轴正负方向无限延伸函数的定义域为共图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于当时在第二象限内的图象纵坐标都大于当时图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢自左向右看图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.6 比较大小的

12、方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较 （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数 2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+）上是增函数 特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当 0 1 时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于+时，图象在x 轴上方无限地逼近 x 轴正半

13、轴 精心搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小 式的概念负数没有偶次方根的任何次方根都是记作注意当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的正分数指数幂的意义规定正数的正分数指数幂的意义且且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质注意在化数的定义域为注意指数函数的底数的取值范围底数不能是负数零和即且指数函数的图象和性质图像性质定义域值域过定点即时在上是减函数在上是增函数当时当时当时当时图象特征函数性质向轴正负方向无限延伸函数的定义域为共图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于当时在第二象限内的图象纵坐标都大于当时图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢自左向右看图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标