二次函数解析式中的系数问题高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 二次函数解析式中的系数问题 在二次函数002acbxaxy中，要确定其系数的值，一般有以下几种情形：（1）通过开口方向，确定二次项系数 a 的正负，进一步确定 a 的值；（2）通过对称轴的位置，确定一次项 b 的值；（3）通过图象与 y 交点的位置，确定常数项 c 的值.例 1.填空：（1）如图是二次函数122axaxy的图象，则 a 的值是 .（2）如图是二次函数nmxxy2的图象，则 m、n 的值分别是 m=，n=.（3）已知函数mmxmxy3622的图象如图所示，则 m=.函数关系式的确定问题 要确定函数关系式02acbxaxy，关键是要确定关系式中的三个系数 a、b

2、、c，本章中多数采用待定系数法，即先设出待定的函数关系式，再将已知条件代入，求出待定的系数.在设待定的函数关系式时，一般有以下三种形式：（1）一般式：02acbxaxy（2）顶点式：khxay2，顶点坐标（h，k）（3）两点式（或交点式）：21xxxxay，其中 x1，x2分别为抛物线与 x 轴两交点的横坐标.例 2.已知二次函数图象与 x 轴交于（-1，0），（3，0），且经过点（1，-5），求其解析式.例 3.已知抛物线经过两点 A（1,0）,B（0,-3）,且对称轴是直线 x=2，求这条抛物线的解析式.（1）题（2）题（3）题 学习必备 欢迎下载 3.二次函数图象的平移问题 将二次函数图

3、象平移，形状和开口方向、大小没有改变，改变的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点式，再按照“左加右减，上加下减”（左右指横坐标，上下指纵坐标）的法则，即可得出所求函数解析式.规律如下：例 4.将抛物线322xxy向左平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，求所得到的抛物线的解析式.5.已知抛物线862xxy，怎样平移才能得到抛物线18102xxy？向确定二次项系数的正负进一步确定的值通过对称轴的位置确定一次项的值通过图象与交点的位置确定常数项的值例填空如图是二次函数的图象则的值是如图是二次函数的图象则的值分别是已知函数的图象如图所示则题题题函数关函数关系式再将已知条件代入求出待定的系数在

4、设待定的函数关系式时一般有以下三种形式一般式顶点式顶点坐标两点式或交点式其中分别为抛物线与轴两交点的横坐标例已知二次函数图象与轴交于且经过点求其解析式例已知抛物移形状和开口方向大小没有改变改变的是顶点坐标故可先将原函数解析式化成顶点式再按照左加右减上加下减左右指横坐标上下指纵坐标的法则即可得出所求函数解析式规律如下例将抛物线向左平移个单位再向下平移个单位求所得学习必备 欢迎下载 二次函数图象与性质的应用问题 填写下表：函数 二次函数cbxaxy2（a、b、c 为常数，a0）a0 a0 图象 性质（1）当 a0 时，抛物线开口 .（2）对称轴是 ，顶点是 .（3）在对称轴左侧，即当 x-b2a

5、时，y 随 x 增大而 ；在对称轴右侧，即当 x-b2a 时，y随 x 增大而 .（4）抛物线有最低点，当 x=时，y 有最小值.（1）当 a0 时，抛物线开口 .（2）对称轴是 ，顶点是 .（3）在对称轴左侧，即当 x-b2a 时，y 随 x 增大而 ；在对称轴右侧，即当 x-b2a 时，y随 x 增大而 .（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最大值.例 5.如图，二次函数cbxaxy2的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与 y轴相交于负半轴.（1）给出四个结论：a0；b0；c0；a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .（2）给出四个结论：abc0；2a+b0；a+c=

6、1；a1.其中正确结论的序号是 .例 6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数02acaxy的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A、B、C，则 ac 的值是 .A B C E F O y x 向确定二次项系数的正负进一步确定的值通过对称轴的位置确定一次项的值通过图象与交点的位置确定常数项的值例填空如图是二次函数的图象则的值是如图是二次函数的图象则的值分别是已知函数的图象如图所示则题题题函数关函数关系式再将已知条件代入求出待定的系数在设待定的函数关系式时一般有以下三种形式一般式顶点式顶点坐标两点式或交点式其中分别为抛物线与轴两交点的横坐标例已知二次函数图象与轴交于且经过点求其解析式例已知抛物移形

7、状和开口方向大小没有改变改变的是顶点坐标故可先将原函数解析式化成顶点式再按照左加右减上加下减左右指横坐标上下指纵坐标的法则即可得出所求函数解析式规律如下例将抛物线向左平移个单位再向下平移个单位求所得学习必备 欢迎下载 二次函数与方程、不等式的关系问题 对于二次函数cbxaxy2，其图象为抛物线，当 y 取某一确定的值时，函数变为方程.当 y=0时，02cbxax，这时二次方程与抛物线之间存在着一些联系，即：当=b2-4ac0 时，抛物线cbxaxy2与 x 轴有两个交点；当=b2-4ac0 时，抛物线cbxaxy2与 x 轴无交点；当=b2-4ac=0 时，抛物线cbxaxy2与 x 轴只有一

8、个交点（即相切）.例 7.已知函数222xxy的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使 y1 成立的 x 的取值范围是（）A.-1x3 B.-3x1 C.x-3 D.x-1 或 x3 例 8.如图，已知直线 AB经过 x 轴上的点 A（2，0），且与抛物线 y=ax2相交于 B、C两点，已知 B点坐标为（1，1）.（1）求直线和抛物线的解析式；（2）如果 D为抛物线上一点，使得AOD 与OBC的面积相等，求 D点坐标.例 9.已知抛物线mmxxy223212交 x 轴于 A（x1，0），B（x2，0），交 y 轴于 C点，且 x10 x2，（AO+OB）2=12CO+1.（1）求抛物线的解

9、析式；（2）在 x 轴的下方是否存在着抛物线上的点 P，使APB为锐角？若存在，求出 P点横坐标的范围；若不存在请说明理由.向确定二次项系数的正负进一步确定的值通过对称轴的位置确定一次项的值通过图象与交点的位置确定常数项的值例填空如图是二次函数的图象则的值是如图是二次函数的图象则的值分别是已知函数的图象如图所示则题题题函数关函数关系式再将已知条件代入求出待定的系数在设待定的函数关系式时一般有以下三种形式一般式顶点式顶点坐标两点式或交点式其中分别为抛物线与轴两交点的横坐标例已知二次函数图象与轴交于且经过点求其解析式例已知抛物移形状和开口方向大小没有改变改变的是顶点坐标故可先将原函数解析式化成顶点

10、式再按照左加右减上加下减左右指横坐标上下指纵坐标的法则即可得出所求函数解析式规律如下例将抛物线向左平移个单位再向下平移个单位求所得学习必备 欢迎下载 例 10.已知抛物线cbxaxy2，与 y 轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM的解析式为 y=-x+2，并且线段 CM的长为 22.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（x1，0），B（x2，0），且点 A在 B的左侧，求线段 AB的长.11.如图，二次函数cbxaxy2的图象经过点 M（1,2）,N（-1，6）.（1）求二次函数cbxaxy2的关系式；（2）把 RtABC放在坐标系内，其中CAB=900，点 A、B

11、的坐标分别 为（1，0）、（4，0），BC=5，将ABC沿 x 轴向右平移，当点 C落在抛物 线上时，求ABC平移的距离.12.如图，已知二次函数22aaxxy.（1）证明：不论 a 取何值，抛物线22aaxxy的顶点 Q总在 x 轴下方；（2）设抛物线22aaxxy与 y 轴交于点 C，如果过点 C且平行与 x 轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为 D，问：QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式，若不能，请说明理由；（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与 x 轴的交点之一为 A点，则能使ACD的面积等于14 的抛物线有几条？请证明你的结论.向确定二次项

12、系数的正负进一步确定的值通过对称轴的位置确定一次项的值通过图象与交点的位置确定常数项的值例填空如图是二次函数的图象则的值是如图是二次函数的图象则的值分别是已知函数的图象如图所示则题题题函数关函数关系式再将已知条件代入求出待定的系数在设待定的函数关系式时一般有以下三种形式一般式顶点式顶点坐标两点式或交点式其中分别为抛物线与轴两交点的横坐标例已知二次函数图象与轴交于且经过点求其解析式例已知抛物移形状和开口方向大小没有改变改变的是顶点坐标故可先将原函数解析式化成顶点式再按照左加右减上加下减左右指横坐标上下指纵坐标的法则即可得出所求函数解析式规律如下例将抛物线向左平移个单位再向下平移个单位求所得学习必

13、备 欢迎下载 综合性问题 13.某跳水运动员进行了 10m跳台跳水训练时，身体（看成一个点）在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点 O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面 1023 m，入水处距池边的距离为 4m，同时，运动员在距水面高度为 5m时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 335 m，问此次跳水会不会失误？14.如图，校园要建苗圃，形状为直角梯

14、形，借用夹角为 1350的两面墙，另外两边是总长为 30m的铁栅栏.（1）求梯形的面积 y 与高 x 的关系式；（2）求 x 的取值范围.向确定二次项系数的正负进一步确定的值通过对称轴的位置确定一次项的值通过图象与交点的位置确定常数项的值例填空如图是二次函数的图象则的值是如图是二次函数的图象则的值分别是已知函数的图象如图所示则题题题函数关函数关系式再将已知条件代入求出待定的系数在设待定的函数关系式时一般有以下三种形式一般式顶点式顶点坐标两点式或交点式其中分别为抛物线与轴两交点的横坐标例已知二次函数图象与轴交于且经过点求其解析式例已知抛物移形状和开口方向大小没有改变改变的是顶点坐标故可先将原函数

15、解析式化成顶点式再按照左加右减上加下减左右指横坐标上下指纵坐标的法则即可得出所求函数解析式规律如下例将抛物线向左平移个单位再向下平移个单位求所得学习必备 欢迎下载 15.某幢建筑物，如图，从 10m高度窗口 A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线形状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点 M离墙 1m，离地面403 m，求水流所喷的最远的距离 OB.16.如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点 M、N分别从 O、B同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动.其中，点 M沿 OA向终点 A运动，点 N沿 BC想终点 C运动，过点

16、M作 MP OA,交 AC于 P，连接 NP，已知动点运动了 x 秒.（1）P点的坐标为（，）（用含 x 的代数式表示）；（2）试求NPC面积 S 的表达式，并求出面积 S 的最大值及相应的 x 值；（3）当 x 为何值是，NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.向确定二次项系数的正负进一步确定的值通过对称轴的位置确定一次项的值通过图象与交点的位置确定常数项的值例填空如图是二次函数的图象则的值是如图是二次函数的图象则的值分别是已知函数的图象如图所示则题题题函数关函数关系式再将已知条件代入求出待定的系数在设待定的函数关系式时一般有以下三种形式一般式顶点式顶点坐标两点式或交点式其中分别为抛物线与轴两交点的横坐标例已知二次函数图象与轴交于且经过点求其解析式例已知抛物移形状和开口方向大小没有改变改变的是顶点坐标故可先将原函数解析式化成顶点式再按照左加右减上加下减左右指横坐标上下指纵坐标的法则即可得出所求函数解析式规律如下例将抛物线向左平移个单位再向下平移个单位求所得